整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史一共誕生了三次數(shù)學(xué)史，可謂是環(huán)環(huán)相扣，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，直接對(duì)一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比的思想觀念造成了沖擊，在長(zhǎng)達(dá) 2000 年的時(shí)間里，數(shù)學(xué)家都刻意回避無(wú)理數(shù)存在的事實(shí)。

而牛頓在創(chuàng)造微積分的時(shí)候，則引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，牛頓對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義并不太嚴(yán)密，比如說(shuō) x2 的導(dǎo)數(shù),先將 x 取一個(gè)不為0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得導(dǎo)數(shù)為 2x 。我們知道這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過(guò)程確實(shí)存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一部分假設(shè)Δx是不為0的，而在論證的后一部分又被取為0。那么到底是不是0呢？

除此之外，牛頓微積分把“無(wú)窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時(shí)卻又令無(wú)窮小量為零而忽略不計(jì)”的漏洞引發(fā)了一個(gè)這樣的問(wèn)題：就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。牛頓后來(lái)也未能自圓其說(shuō)。

兩大數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)其實(shí)都是因?yàn)閷?shí)數(shù)體系的不完善所導(dǎo)致的。所以魏爾斯特拉斯等人發(fā)起了“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)。

魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)是全部分析的本源。要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化。為此最可靠的辦法是按照嚴(yán)密的推理將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)(有理數(shù))。這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補(bǔ)。這就是所謂“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。

在魏爾斯特拉斯“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)的引領(lǐng)下，戴德金、康托爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實(shí)數(shù)理論。

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，他將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個(gè)非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個(gè)元素小于集合A'中的每一個(gè)元素。集合A稱(chēng)為劃分的下組，集合A'稱(chēng)為劃分的上組，并將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個(gè)劃分定義為有理數(shù)的一個(gè)分割，在這里面，戴德金從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)，建立起無(wú)理數(shù)理論及連續(xù)性的純算術(shù)的定義。

康托爾也通過(guò)有理數(shù)序列理論完成了同一目標(biāo)，康托爾和戴德金都是將實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的某些類(lèi)型的“集合”。戴德金方法可以稱(chēng)為序完備化方法，康托爾方法可以稱(chēng)為度量完備化方法。這些方法在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都已成為典型的構(gòu)造方法，被后人不斷推廣發(fā)展成為數(shù)學(xué)理論中的有力工具。

維爾斯特拉斯發(fā)表了有界單調(diào)序列理論，有理數(shù)基本列是先假定實(shí)數(shù)的完備性，再根據(jù)有理數(shù)列的極限來(lái)定義有理數(shù)無(wú)理數(shù)。有很多有理數(shù)列，他們自己是基本列，但在有理數(shù)系內(nèi)沒(méi)有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數(shù)時(shí)，則稱(chēng)它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數(shù)或者收斂空了時(shí)，則稱(chēng)它為無(wú)理基本列。有理基本列定義的是有理數(shù)，無(wú)理基本列定義的是無(wú)理數(shù)。

實(shí)數(shù)的這三大派理論證明了實(shí)數(shù)系的完備性。實(shí)數(shù)的定義及其完備性的確立標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成。這樣長(zhǎng)期以來(lái)圍繞著實(shí)數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除，實(shí)數(shù)體系的建立也標(biāo)志著代數(shù)徹底擺脫幾何的陰霾。

因?yàn)閷?shí)數(shù)體系的建立，數(shù)學(xué)界甚至整個(gè)科學(xué)界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學(xué)家們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性已經(jīng)達(dá)到，科學(xué)大廈已經(jīng)基本建成，然而這話卻卻最終慘遭打臉。

魏爾斯特拉斯“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)雖然一次性地解決了數(shù)學(xué)史兩大危機(jī)，但是卻也引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)持續(xù)至今，讓整個(gè)數(shù)學(xué)大廈岌岌可危。

在此次運(yùn)動(dòng)中，1873年11月29日康托爾在給戴德金的一封信中表示，終于把導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問(wèn)題明確地提了出來(lái)：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否把它們一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。同年12月7日，康托爾寫(xiě)信給戴德金，說(shuō)他已能成功地證明實(shí)數(shù)的“集體”是不可數(shù)的，也就是不能同正整數(shù)的“集體”一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。這一天應(yīng)該看成是集合論的誕生日。

康托爾創(chuàng)立的集合論可以說(shuō)是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的分支學(xué)科，研究對(duì)象是一般集合。集合論在數(shù)學(xué)中占有一個(gè)獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合論或集論是研究集合 （由一堆抽象物件構(gòu)成的整體）的數(shù)學(xué)理論，包含了集合、元素和成員關(guān)系等最基本的數(shù)學(xué)概念。簡(jiǎn)單的集合知識(shí)我們?cè)诟咧械臅r(shí)候就已經(jīng)接觸，大家可以簡(jiǎn)單回憶一下。

集合論是從一個(gè)物件o和集合A之間的二元關(guān)系開(kāi)始：若o是A的元素，可表示為o ∈ A。由于集合也是一個(gè)物件，因此上述關(guān)系也可以用在集合和集合的關(guān)系。另外一種二個(gè)集合之間的關(guān)系，稱(chēng)為包含關(guān)系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，則稱(chēng)集合A為B的子集，符號(hào)為A ? B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定義，任一個(gè)集合也是本身的子集，不考慮本身的子集稱(chēng)為真子集。集合A為集合B的真子集當(dāng)且僅當(dāng)集合A為集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。

數(shù)的算術(shù)中有許多一元及二元運(yùn)算，集合論也有許多針對(duì)集合的一元及二元運(yùn)算。

而集合論中元素也有三大特性：確定性、互異性、無(wú)序性。首先集合中的元素必須是確定的，例如{我們公司帥的男生}這就不是一個(gè)集合,因?yàn)閹浀亩x不同,有些人認(rèn)為威猛是帥，有些人認(rèn)為柔弱是帥，所以元素不確定；集合中的元素必須是互不相同的 ，例如{5,6}是一個(gè)集合,但是不能表示為{5,6,5}，這就是互異性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一個(gè)集合，這就是集合的無(wú)序性，因?yàn)榧现械脑厥遣淮嬖陧樞虻摹?/p>

數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。

1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱(chēng)：“……借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……”。這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?/p>

可惜才過(guò)了 3 年，也就是 1903 年的時(shí)候，羅素卻發(fā)現(xiàn)了集合論存在的問(wèn)題，羅素是西方罕見(jiàn)的文理兼修的全才，是著名的 英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、文學(xué)家。他曾和哥廷根學(xué)派的領(lǐng)袖希爾伯特圍繞數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題引發(fā)了一場(chǎng)“數(shù)學(xué)是什么”的論戰(zhàn)。

羅素認(rèn)為 “數(shù)學(xué)即邏輯”，而希爾伯特則提出了形式主義的主張，主張數(shù)學(xué)思維的對(duì)象就是數(shù)學(xué)符號(hào)本身。兩個(gè)人涉及的論戰(zhàn)就包含了集合論。

羅素從集合元素的三大特性中發(fā)現(xiàn)了康托爾集合論中的一個(gè)BUG。集合S是由一切不屬于自身的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果s屬于S，根據(jù)S的定義，s就不屬于S；反之，如果s不屬于S，同樣根據(jù)定義，s就屬于S。無(wú)論如何都是矛盾的。

而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理發(fā)師悖論：在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫(xiě)的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿(mǎn)全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎！”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

這就是數(shù)學(xué)史赫赫有名的“一個(gè)理發(fā)師沖進(jìn)了大廈，把整個(gè)大廈搞了個(gè)天翻地覆，甚至直接動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的地基。而至今為止，也依然沒(méi)有人把這個(gè)理發(fā)師請(qǐng)出去”事件。

如果是第一次、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)僅僅影響的是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的建造問(wèn)題，那么第三次數(shù)學(xué)大廈直接動(dòng)搖的是整個(gè)地基，因?yàn)樯婕暗氖菙?shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。

因?yàn)榱_素悖論只涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬于和概括原則，它的構(gòu)成十分清楚明白。這個(gè)悖論的出現(xiàn)說(shuō)明以往的 樸素集合論 中包含矛盾，因而以集合論為基礎(chǔ)的整個(gè)數(shù)學(xué)就不能沒(méi)有矛盾。這個(gè)悖論也同時(shí)說(shuō)明數(shù)學(xué)中采用的邏輯也不是沒(méi)有問(wèn)題的。數(shù)學(xué)上的第三次危機(jī)使數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界都感到問(wèn)題的嚴(yán)重性。

羅素悖論表明不能無(wú)條件承認(rèn)概括原則，然而概括原則的改變將使集合論大為改觀，因此對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的影響是巨大的。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，看起來(lái)悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。這就是問(wèn)題的矛盾所在。

羅素的問(wèn)題直接讓許多的數(shù)學(xué)家的一輩子工作都?xì)в谝坏?，德?guó)的著名邏輯學(xué)家弗雷格在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿付印時(shí)，收到了羅素關(guān)于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn)，自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟。他只能在自己著作的末尾寫(xiě)道：“一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事，莫過(guò)于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了”。這的確讓人倍感無(wú)奈，即使我們對(duì)于邏輯的數(shù)學(xué)化建設(shè)耗費(fèi)了如此巨大的精力，我們得出的很多結(jié)論仍然不是嚴(yán)密的，可能會(huì)有漏洞。

當(dāng)然了，修補(bǔ)工作也在轟轟烈烈地進(jìn)行，如果要解決這次危機(jī)就必須要建立一個(gè)一套更加嚴(yán)密的解決辦法才能將這些矛盾統(tǒng)一在一起。

最有名的就是策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)。 在1908 年，恩斯特·策梅洛提議了第一個(gè)公理化集合論——策梅洛集合論。這個(gè)公理化理論不允許構(gòu)造序數(shù)；而多數(shù)“普通數(shù)學(xué)”不使用序數(shù)就被不能被開(kāi)發(fā)，序數(shù)在多數(shù)集合論研究中是根本工具。此外，策梅洛的一個(gè)公理涉及“明確性”性質(zhì)的概念，它的操作性意義是有歧義的。

所以后來(lái)通過(guò)弗蘭克爾的改進(jìn)后被稱(chēng)為策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)。在該公理系統(tǒng)中，由于分類(lèi)公理：P(x)是x的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)任意已知集合A，存在一個(gè)集合B使得對(duì)所有元素x∈B當(dāng)且僅當(dāng)x∈A且P(x)；因此{(lán)x∣x是一個(gè)集合}并不能在該系統(tǒng)中寫(xiě)成一個(gè)集合，由于它并不是任何已知集合的子集 ；并且通過(guò)該公理，存在集合A={x∣x是一個(gè)集合}在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的。

總而言之，就是策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)嚴(yán)格規(guī)定了一個(gè)集合存在的條件（簡(jiǎn)單地說(shuō)，存在一個(gè)空集【空集公理】；每個(gè)集合存在冪集【冪集公理】；每個(gè)集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每個(gè)集合的滿(mǎn)足某條件的元素構(gòu)成子集【子集公理】；一個(gè)”定義域“為A的”函數(shù)“存在“值域”【替換公理】等），這樣無(wú)法定義出悖論中的集合。因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。

但是它并沒(méi)有從數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性問(wèn)題上解決問(wèn)題，從而從數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性上對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)大廈進(jìn)行修補(bǔ)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決，所以還存在一定的缺陷，100多年過(guò)去了，危機(jī)還在持續(xù)，數(shù)學(xué)大廈的地基什么時(shí)候才能被夯實(shí)，如今看來(lái)，還有很遠(yuǎn)的路要走。

不過(guò)，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)界的發(fā)展無(wú)疑是起到了巨大的推動(dòng)作用的，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的研究，促進(jìn)了哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼恼Q生，也推動(dòng)了數(shù)理邏輯的發(fā)展，可以說(shuō)每次危機(jī)的產(chǎn)生就像是一個(gè)聚寶盆的誕生，為數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革。