最終還是下定決心寫關(guān)于集合的相關(guān)問題，這個問題關(guān)聯(lián)的數(shù)學知識太多、太難，看似與我們的日常生活關(guān)系很大，卻又不知從何入手……還是從基本概念入手吧！

數(shù)學也是一種語言，從它的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容來看，這是一種比任何國家的語言都要完善的語言?！ㄟ^數(shù)學，自然界在論述；通過數(shù)學，世界的創(chuàng)造者在表達；通過數(shù)學，世界的保護者在講演。

狄爾曼

1.集合的概念

1.1概念

集合，簡稱集，是數(shù)學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。

在蘇教版集合被定義為：一般地，一定的范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合（set）。集合中每一個對象稱為該集合的元素（element）,簡稱元。

1.1.1對引言的解讀

實際上在此定義之前的引言部分還有一位名人的名言（也是本文的引言），估計許多老師對此名人名言視而不見，可能對為什么在此處寫此名言更是一知半解。真要說出所以然來的話，原因大概有以下幾點吧！

第一，在教材的處理特色中說：“引言說明數(shù)學的來歷，提出本章的核心問題或者研究方法?！?/p>

第二，斯托利亞爾說：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學”，學習數(shù)學就是學習數(shù)學語言，學習數(shù)學的過程就是數(shù)學語言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運用、不斷創(chuàng)新的過程。這個理由好像有點大、好像是個數(shù)學問題都會有這個問題，真的嗎？

第三，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言。靈活的使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數(shù)學的一些內(nèi)容。高中數(shù)學只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學對象，發(fā)展運用語言進行交流的能力.?

第四，要求學生能針對具體問題，恰當?shù)厥褂米匀徽Z言、圖形語言、集合語言（數(shù)學符號語言）來表述相應(yīng)的數(shù)學內(nèi)容,在以后內(nèi)容的學習中，應(yīng)盡量使用集合語言.

第五，注意與小學、初中所學知識的聯(lián)系（初高中銜接自然）.?與“集合”有聯(lián)系的學生已學內(nèi)容如下（僅舉例，還有更多）：

日常生活中一類物體；

?數(shù)——自然數(shù)、整數(shù)、正分數(shù)及其部分；?

? 點集，如：數(shù)軸、平面直角坐標系中的點集、圓、角平分線、中垂線；?

?量的范圍，如函數(shù)的自變量的取值范圍；?

方程的根；?

不等式的解集……

1.1.2對概念描述文字的提問（僅舉例，實際上還可以提出一些）

第一，為什么要用“一般地”的三個字？這是概念中最難理解的三個字。不知你看完全文之后能否給出自己的合理解釋。

第二，“一定范圍內(nèi)”說明了集合應(yīng)該具有怎樣的特征？這個特征說明了什么？

第三，為什么出現(xiàn)了“某些”，概念在此想表達什么？

第四，“確定的”說明集合的元素具有怎樣的特征？具體問題中要注意什么？同理，“不同的”也應(yīng)當作出同樣的討論與理解！

第五，“一定范圍內(nèi)”與后面的“全體”指的是同一個整體嗎？

第六，這些“確定的、不同的”對象之間存在著先后（即“權(quán)力”大小、互相包含）的關(guān)系嗎？

第七，“對象”與全體之間的關(guān)系怎樣？是如何表示的？你會用數(shù)學的三種語言形式來表述這個問題嗎？（當然也包括上面的問題）

……

康托爾

其實集合論的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾（1845.3.3～1918.1.6，德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始人）在1897年最初給出集合的定義是：“一個集合就是指我們覺察到的或在我們思維中的一些確定的、不同事物的總體；這些事物稱為該集合的元素?！保ㄏ柌貙@個近代數(shù)學基石的集合論稱贊說：“康托爾的集合論為我們創(chuàng)立了數(shù)學上最廣泛、最有力的一個分支，一個沒有人能把我們趕出去的天堂。”）

如果仔細推敲上述關(guān)于集合的描述，我們很容易發(fā)現(xiàn)它不像一個嚴格的數(shù)學定義；事實上每個數(shù)學概念都要依賴先于它而定義好的一些概念來定義，如果以此遞推，追根溯源，必然有一批最簡明最原始的概念，已經(jīng)沒有比它更原始的概念來定義它們，集合概念就是這種原始概念之一。這種樸素原始的集合概念，是邏輯上惹是生非的根源之一（如拙文“打碎思維局限的枷鎖”中提到的歐式幾何與非歐幾何，簡述就是古希臘數(shù)學家歐幾里得把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。在其公理體系中，最重要的是平行公理，由于對這一公理的不同認識，導致非歐幾何的產(chǎn)生）。

1.1.3皮囊悖論

按照康托爾集合的概念，考慮26個英文字母組成的集合Ω，由于集合Ω不是一個英文字母，所以Ω?Ω，即有的集合不是自己的元素，這是比較容易理解與接受的。若考慮由含25個以上的元素組成的集合為元素組成的集合Λ，例如Ω∈Λ；因為含25個以上元素的集合不止25個，所以Λ的元素個數(shù)也超過了25個，于是Λ∈Λ。即按照康托爾的觀點，允許談集合是自己的元素，即存在A∈A的現(xiàn)象，也有B?B的現(xiàn)象，其中A,B是某些集合。由此可得到如下的悖論：

皮囊悖論：一個透明封閉的不可穿透的皮囊，里面裝了一些元素，于是構(gòu)成了一個集合A，按康托爾的觀點，如果A∈A，則表明了這個裝了固定的一些元素的皮囊又裝在自己里面。

1.1.4羅素悖論與第三次數(shù)學危機

1.1.4.1羅素悖論: 設(shè)性質(zhì)P(x)表示“x?x”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定了一個類A也就是說'A={x|x?A}'。那么問題是:A∈A是否成立?首先，若A∈A，則A是A的元素，那么A具有性質(zhì)P，由性質(zhì)P知A?A;其次，若A? A，也就是說A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的，所以A∈A。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理發(fā)師悖論、書目悖論。

理發(fā)師悖論：

在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的:'本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!'來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于'不給自己刮臉的人'，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于'給自己刮臉的人'，他就不該給自己刮臉。

理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價的:如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己?這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

1.1.4.2第三次數(shù)學危機

從羅素悖論的表述中可以看出，字字句句都未違反康托爾樸素集合論的觀點，為什么會出現(xiàn)自相矛盾的事呢？要害就是允許寫A∈A，即談某些集合自己是自己的元素，亦即是前面提出的“皮囊悖論”的存在。于是，第三次數(shù)學危機爆發(fā)了，從此打破了數(shù)學界一派歌舞升平的氣氛。

羅素悖論猶如晴天霹靂，使數(shù)學界一片嘩然，希爾伯特驚呼：“在數(shù)學這個號稱可靠性與真理性的模范里，每個人所學、所教、所用的概念及結(jié)構(gòu)和推理方法，竟導致不合理的結(jié)果；如果數(shù)學思考也失靈的話，那么我們到哪里去找可靠性和真理性呢？”不過好在經(jīng)過某些數(shù)學家的努力，他們拋出了一套所謂公理集合論的公理系統(tǒng)，按他們的公理規(guī)定，禁談A∈A，從而解除了第三次數(shù)學危機。

可笑的是，在一些教師的課堂上、課件、甚至所謂名師的教案中居然出現(xiàn)了判斷Φ∈{Φ}是否正確之類的判斷題，真是讓人笑掉了大牙！

1.1.5關(guān)于集合概念教學的小故事

一位魚民非常喜歡數(shù)學，但他怎么也想不明白集合的意義。于是他請教數(shù)學家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”集合是不定義的概念，數(shù)學家很難回答那位漁民。

有一天，他來到漁民的船上，看到漁民灑下漁網(wǎng)一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動。數(shù)學家非常激動并告訴漁民：“這就是集合！”

這個故事對我的觸動很大，故事的科學性與嚴謹性不是重點，重點是從中看到數(shù)學教師的責任是多么重要，你的精彩、有趣、易接受的講解將是孩子理解的關(guān)鍵，這也是教師值得付出一生的重要課題。

2.數(shù)學家康托爾

康托爾

集合論的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生于俄國圣彼得堡（前蘇聯(lián)列寧格勒）一個商人家庭。他在中學時期就對數(shù)學感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學，1863年轉(zhuǎn)入柏林大學。

當時柏林大學正在形成一個數(shù)學教學與研究的中心，他在1867年的博土論文中就已經(jīng)反映出“離經(jīng)叛道”的觀點，他認為在數(shù)學中提問的藝術(shù)比起解法來更為重要。的確，他原來的成就并不總是在于解決間題，他對數(shù)學的獨特貢獻在于他以特殊提問的方式開辟了廣闊的研究領(lǐng)域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部分被他的后繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發(fā)展，例如著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不久就升為副教授，并在1879年升為教授，他一直到去世都在哈勒大學工作。哈勒是一個小地方，而且薪金微薄?？低袪栐瓉硐Ｍ诎亓终业揭粋€薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克處處（康托爾的老師）跟他為難，阻塞了他所有的道路，罵他是瘋子。原因是克洛耐克對于他的集合論，特別是他的“超窮數(shù)”觀點持根本否定的態(tài)度。由于用腦過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑郁癥，常常住在療養(yǎng)院里。1918年1月6日他在哈勒大學附近的精神病院中去世。

因為康托爾的工作是偉大的、是先進的，自然也受到了很多有識之士的鼎力支持，聲援康托爾的數(shù)學理論。如希爾伯特說：“康托爾的工作對我來說是最值得欽佩的數(shù)學理論之花”，羅素則高呼：“康托爾破譯了圍繞著無限的諸多難題，這可能是我們這個時代值得夸耀的最偉大的的工作?！?/p>

集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信中提出了一個問題，這個問題使他從以前關(guān)于數(shù)學分析的研究轉(zhuǎn)到一個新方向。他認為，有理數(shù)的集合是可以“數(shù)”的，也就是可以和自然數(shù)的集合成一對一的對應(yīng)。但是他不知道，對于實數(shù)集合這種一對一的對應(yīng)是否能辦到。他相信不能有一對一的對應(yīng)，但是他“講不出什么理由”。

不久之后，他承認他“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什么價值”。接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全贊同”?？墒牵低袪栍挚紤]起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金說：“我看到了這些事實，且嚴格證明它是真的，但連我自己也不敢相信他”?？低袪栆砸粋€有創(chuàng)新精神的大數(shù)學家的個性堅持了自己的觀念，雄辯地證明無窮集合不再遵守有窮集合的很多規(guī)則嗎，不能僅憑常規(guī)的直覺和經(jīng)驗來對待無窮集合，要靠嚴格的推理來行事。

有限和無窮的這個特點可以從下面的小故事反映出來，這個故事?lián)f是希爾伯特說的。

希爾伯特旅館

某一個市鎮(zhèn)只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數(shù)不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個旅館的房間可排成一列的無窮集合（1，2，3，4，…），稱為可數(shù)無窮集。

有一天開大會，所有房間都住滿了。后來來了一位客人，堅持要住房間。旅館老板于是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起！”。正好這時候，聰明的旅館老板的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到相鄰的下一間”。于是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間……依此類推。最后1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。

第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數(shù)無窮多位代表一定要住，這又把旅館經(jīng)理難住了。老板的女兒再一次來解圍，她說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”

過一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數(shù)無窮多間房來安排他們的親戚朋友，這回不僅把老板難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終于也想出了辦法。（因為比較繁瑣，這里不詳細介紹了）

希爾伯特旅館越來越繁榮，來多少客人都難不倒聰明的老板女兒。后來女兒進了大學數(shù)學系。有一天，康托爾教授來上課，他問：“要是區(qū)間[0，1]上每一點都占一個房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終于失敗了?？低袪柦淌诟嬖V她，用對角線方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。（關(guān)注后續(xù)文章為您解讀對角線方法）

康托爾是數(shù)學史上的奇才，他對數(shù)學的新奇思路和獨特創(chuàng)造，豐富的想象力以及耿直的人品，是后世每一個人的榜樣；康托爾的經(jīng)歷證明，科學之路是崎嶇的，新舊思想總是同路相斗。歷史證明，勝利往往屬于那些敢于堅持真理敢于破舊立新的當時被圍攻甚至是被辱為“瘋子”的革新者?？低袪柕拿钟肋h鐫刻在人類科學的豐碑之上。

注：明天繼續(xù)講述集合的表示與康托爾的——對應(yīng)理論等問題，至于集合的交并補運算中因為牽扯到具體的知識、方法、策略、技巧等問題會在最后一講專文刊出，也算是對高一新生一次免費輔導吧！歡迎到時批評指正。