十九世紀末和二十世紀初, 德國數(shù)學家康托爾(Cantor , 1845 -1918)創(chuàng)立了集合論, 初衷是為整個數(shù)學大廈奠定牢實的基礎(chǔ)。盡管最初的時候集合論遭到了一些排斥和爭議，但經(jīng)過十幾年的考驗，集合論作為一種數(shù)學語言得到了數(shù)學界的公認。正當人們?yōu)榧险摰恼Q生而欣然自慰時, 一串串數(shù)學悖論卻冒了出來, 又攪得數(shù)學家心里忐忑不安。

1897 年意大利數(shù)學家布拉里﹒福爾蒂（Burali Forti）揭示了集合論的第一個悖論——最大序數(shù)悖論。兩年后康托爾本人發(fā)現(xiàn)了一個類似的悖論——最大基數(shù)悖論。這兩個悖論只涉及到集合論中的結(jié)果，沒有引起當時數(shù)學家們和邏輯學家的足夠重視。但羅素于 1901 年 5 月發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不需要別的概念。

伯特蘭·羅素（Bertrand Russell，1872年—1970年），英國哲學家、數(shù)學家、邏輯學家、歷史學家、文學家，分析哲學的主要創(chuàng)始人，世界和平運動的倡導者和組織者。羅素不僅在哲學、邏輯和數(shù)學上成就顯著，而且在教育學、社會學、政治學和文學等許多領(lǐng)域都有建樹，是一名難得的“文理通才”。他于1908年當選為皇家學會會員，1950年獲諾貝爾文學獎， 并被授予英國嘉行勛章。他提出的以他名字命名的“羅素悖論”曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是他本人于 1919 年提出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。

一位塞爾維亞的理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村子里這樣的人刮臉。當人們試圖答復下列疑問時，就認識到了這種情況的變化性質(zhì)：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉？”。如果他自己給自己刮臉，那么就不符合他的原則，就不應給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么他就符合自己的原則，就該按他的原則為自己刮臉。無論選擇哪種情況，總會引發(fā)矛盾！太奇怪了！

真奇怪:無論哪種情況,都使我們陷于自相矛盾、進退兩難的尷尬境地!

羅素悖論的出現(xiàn), 震撼了整個數(shù)學界。本應作為全部數(shù)學之基礎(chǔ)的集合論, 居然出現(xiàn)了內(nèi)耗！怎么辦？數(shù)學家們立即投入到消除悖論的工作中.慶幸的是:產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了！原來是,康托爾提出集合論時對“集合”的概念沒有作必要的限制,以致于可以構(gòu)成“一切集合的集體” 這種過大的集合，使得其中的元素能包含該集合自身，讓羅素這樣的“好事者”“鉆了空子” 。

怎么樣從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論呢？

德國數(shù)學家策梅羅(Zermelo)認為:適當?shù)墓眢w系可以限制集合的概念,

從邏輯上保證集合的純粹性。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來?！苯鉀Q這一悖論主要有兩種選擇，ZF公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng)。

1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后

來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統(tǒng)在通過弗蘭克爾（Fraenkel）的改進后被稱為ZF公理系統(tǒng)。在該公理系統(tǒng)中，{x∣x是一個集合}并不能在該系統(tǒng)中寫成一個集合，由于它并不是任何已知集合的子集，因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。

除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann

等人提出的NBG系統(tǒng)等。在該公理系統(tǒng)中，所有包含集合的'collection'都能被稱為類(class)，凡是集合也能被稱為類，但是某些 collection太大了（比如一個collection包含所有集合）以至于不能是一個集合，因此只能是個類。這同樣也避免了羅素悖論。

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使得諸如“自我指涉”“數(shù)學語言的局限性”這類數(shù)學基礎(chǔ)問題，第一次以最迫切需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學。如圍繞著數(shù)學基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學史上著名的三大數(shù)學流派，即邏輯主義流派、形式主義流派和直覺主義流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學的大發(fā)展。

縱觀三次數(shù)學危機，都與人們對“無窮”的認識過程中所產(chǎn)生的困惑息息相關(guān)。第一次數(shù)學危機是“無窮可分”，第二次數(shù)學危機是“無窮小量”，第三次數(shù)學危機是“無窮集合”。逐步澄清概念和解決悖論的過程，一方面大大提高了對于“無窮”這一神秘難解概念的認識，并使得數(shù)學越來越公理化、概念符號運用也更加明確；另一方面也使數(shù)學的確定性一步步喪失。而如今在數(shù)學界圍繞“無窮”的爭論還依舊存在（比如“潛無窮”與“實無窮”之爭），也可能醞釀著下一次數(shù)學危機。

那么該如何來評價數(shù)學史上的這三次危機呢？我國當代著名數(shù)學家徐利治教授說了一段很有見地的話,他說：“由于人的認識在各個歷史階段中的局限性和相對性，在人類認識的各個歷史階段所形成的各個理論系統(tǒng)中，本來就具有產(chǎn)生悖論的可能性，但在人類認識世界的深化過程中同樣具備排除悖論的可能性和現(xiàn)實性，人類認識世界的深化沒有終結(jié)，悖論的產(chǎn)生和排除也沒有終結(jié)。”