賈明子：題外話、自然數(shù)的正確打開方式?zhuanlan.zhihu.com

這里就不再細(xì)說了。

康托爾的一個顯著不同的貢獻(xiàn)在于，他在史上第一次，開始認(rèn)真地討論實(shí)無窮的概念。例如說，他直接使用“全體自然數(shù)”、“全體實(shí)數(shù)”類似的概念，而這在絕大多數(shù)前人數(shù)學(xué)家看來是不被允許的：實(shí)無窮不可能被當(dāng)作一種已經(jīng)完成的數(shù)來看（參見上一章）。在康托爾看來，無窮不但是一個真實(shí)的數(shù)，而且還存在著不同的“大小”：有些無窮比另一些無窮更大。而對于無窮集合而言，集合的一部分不見得比整體的數(shù)目少。這是非常違反常識的，比如說，全體自然數(shù)的自然數(shù)的數(shù)目多，還是全體正偶數(shù)的數(shù)目多？我們一般認(rèn)為，自然數(shù)有一半是奇數(shù)，另一半是偶數(shù)，那么毫無疑問自然數(shù)的數(shù)目當(dāng)然要比偶數(shù)的數(shù)目多。但是，根據(jù)康托爾的定義，如果兩個集合的元素之間可以形成一一對應(yīng)關(guān)系，那么它們的數(shù)目是一樣多的。很明顯自然數(shù)和偶數(shù)之間就存在著這樣的一一對應(yīng)關(guān)系：每個自然數(shù)乘以2就對應(yīng)著一個偶數(shù)，而每個偶數(shù)除以2就對應(yīng)著一個自然數(shù)。既然自然數(shù)和偶數(shù)之間一一對應(yīng)，那么我們就應(yīng)該認(rèn)為自然數(shù)和偶數(shù)一樣多。

類似地，我們還可以認(rèn)為，“所有的自然數(shù)”和“所有大于100的自然數(shù)”的數(shù)目也是一樣多的，而絕非后者比前者多100個。這就產(chǎn)生了一個非常有意思的悖論，叫做“希爾伯特旅館悖論”。一個無窮多房間的旅館，里面住滿了客人。這是來了一個新的客人，他還有房間可住嗎？答案是有的！因?yàn)槁灭^的管理員只需要讓每個房間的客人向著“上一個房間號碼”搬一下家，自然就把1號客房騰出來給新客人住了！此外更加違反直覺的是另一個悖論，“巴那赫-塔斯基悖論”。這個悖論中，一個圓球可以用某種特殊的分割方式分成四份，然后我們再把它重新組合“拼”回去，然而拼回去的，卻變成了兩個與原來一模一樣的圓球！實(shí)無窮就是這么奇妙。

除此之外，康托爾還指出，所有自然數(shù)的個數(shù)和所有有理數(shù)的個數(shù)也是一樣多的。因?yàn)榭梢宰C明存在著某種排列方式，可以把所有的有理數(shù)從頭到尾排成一條無限長的隊(duì)伍，然后我們可以從頭到尾地把這些有理數(shù)來編號或者數(shù)一數(shù)。（證明過程并不難，但是這里就不多說了。）像這種可以把所有的元素按照某種排列方式從頭到尾“排成長隊(duì)”然后數(shù)一數(shù)的集合，被稱作“可數(shù)集”。顧名思義，可數(shù)集必然可以與自然數(shù)集形成一一對應(yīng)的關(guān)系，因而所有的可數(shù)集的數(shù)目都與自然數(shù)集是一樣多的。這個數(shù)目不是我們所知的任何有限數(shù)，而是一個真正的無窮大，康托爾把它稱作所謂的“阿列夫零”。

任意一個集合，我們難道不是都可以把它的所有元素進(jìn)行排隊(duì)嗎？事實(shí)上不是的，有的集合就沒有任何辦法對其排隊(duì)。例如實(shí)數(shù)集。比如說我們把0當(dāng)做“排頭”，那么第二個是誰呢？如果我們按大小排列，那么不論我們怎么選，總是存在著一個更接近0的實(shí)數(shù) – 我們沒有辦法找到“第二個”元素！事實(shí)上康托爾證明，不可能存在任何方式對實(shí)數(shù)集進(jìn)行這種排隊(duì)。這就叫做“不可數(shù)集”，也就是說，自然數(shù)與實(shí)數(shù)就無法形成一一對應(yīng)的關(guān)系，自然數(shù)集總是只能對應(yīng)實(shí)數(shù)集的一部分。也就是說，實(shí)數(shù)的數(shù)目要比自然數(shù)多。這是一個比無窮大的阿列夫零 還要大的無窮大 。- 當(dāng)然，康托爾證明還存在著更多的更大的無窮大。

關(guān)于康托爾的無窮大，引起了軒然大波，有人盛贊其為杰出的發(fā)現(xiàn)，而有人斥之為毫無意義的文字游戲。但是細(xì)節(jié)我這里不多說了，有興趣的話推薦你去看看Courant寫的《數(shù)學(xué)是什么》。

與皮亞諾和康托爾同時(shí)代的弗雷格，完成了這場關(guān)于數(shù)學(xué)嚴(yán)密化行動的最后一擊，也是引起數(shù)學(xué)和哲學(xué)大地震的一擊。鑒于弗雷格理論中抽象復(fù)雜的邏輯運(yùn)算和各種專業(yè)的數(shù)學(xué)術(shù)語，我這里不打算歷數(shù)他的具體理論，而是從哲學(xué)層面上介紹他的思想以及他的思想所產(chǎn)生的后果。

應(yīng)該說，弗雷格是一個傳統(tǒng)的柏拉圖主義者。而如前所述，在當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了若干與柏拉圖主義分庭抗禮的數(shù)學(xué)思想，例如：

1、 一些物理主義者斷言，數(shù)學(xué)本身是具體事物的體現(xiàn)，例如我們不能談?wù)摮橄蟮臄?shù)字 “3”，這個數(shù)字只能依附于具體的事物出現(xiàn)，是3個什么東西？3個蘋果？還是3只狗？如此等等。也就是說，數(shù)學(xué)是“歸納”的，它是我們對具體事物的總結(jié)、整理、以及推廣。因而，嚴(yán)格講，所有的數(shù)學(xué)理論都是“錯誤的”，因?yàn)樗鼈兌寄撤N理想化的產(chǎn)物，它們只能是對物理世界的近似，因而這些理想化的數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)中似乎不存在的。

2、 如康德主義所斷言，數(shù)學(xué)是先驗(yàn)綜合判斷。首先，數(shù)學(xué)是先驗(yàn)的，它不依賴于任何經(jīng)驗(yàn)和觀察；而同時(shí)，它又是綜合的，它斷言了不同事物之間的聯(lián)系，而不是事物本身蘊(yùn)含的、邏輯自明的性質(zhì)。這與分析判斷不同，因?yàn)榉治雠袛嗍窃趯κ挛锉旧硭N(yùn)含的性質(zhì)進(jìn)行闡釋（例如“紅蘋果是紅的”。）因此數(shù)學(xué)不依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)和觀察，但是也不能從純粹理性中加以徹底證明，它只能來自人們的先天的數(shù)學(xué)直覺。

3、 而一些比較極端的經(jīng)驗(yàn)主義者和唯心主義者（如洛克）則認(rèn)為，數(shù)學(xué)只是人們心智的產(chǎn)物：它是心理學(xué)概念，而不具備客觀性。相應(yīng)地，整個數(shù)學(xué)體系就是人們心靈的產(chǎn)物，是人為創(chuàng)造的，是一個發(fā)明，而不是一個發(fā)現(xiàn)。

弗雷格對上述的思想是懷有鄙視的。他反對數(shù)學(xué)的物理主義觀點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)字并非具體事物的性質(zhì)，而是概念的性質(zhì)。如果我們堅(jiān)持認(rèn)為數(shù)字只能表達(dá)具體事物，那么零是何意義？負(fù)數(shù)又是何意義？我們說數(shù)字3，完全不必指定3個具體何物，它完全可以是3個抽象的集合元素。而且我們完全可以討論3本身的、不依賴任何外物的性質(zhì)，例如它的奇偶性、素?cái)?shù)性等等。同時(shí)他也反對數(shù)學(xué)的心理學(xué)主張：如果數(shù)學(xué)只是心理學(xué)概念，那么數(shù)學(xué)命題的真假就毫無客觀性，而是因人而異的，這無疑完全破壞了數(shù)學(xué)的根基。

而他對康德主義的批判，則是他影響最大的工作。在這方面，他開辟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的第一個主要流派，邏輯主義。

在弗雷格看來，先驗(yàn)綜合判斷是一個很奇怪的東西。從這里出發(fā)，而把數(shù)學(xué)最終歸結(jié)為先驗(yàn)直覺，更加難以立住腳。直覺是一個說不清道不明的東西，把整個數(shù)學(xué)建立在這種迷迷糊糊的基礎(chǔ)上未免太不可靠。而且我們經(jīng)歷過太多的貌似違反直覺而實(shí)際上是正確的判斷，因而我們根本就不能真正地把直覺當(dāng)做一種嚴(yán)肅的東西來對待。他于是回到了前康德時(shí)代的觀念：所有先驗(yàn)的，必定是分析的；而所有綜合的，必定不是先驗(yàn)的。因此他完全同意數(shù)學(xué)是一種先驗(yàn)知識，但是他反對數(shù)學(xué)是綜合知識這種說法。他說，數(shù)學(xué)它是一種被巧妙包裝的分析判斷，從表面上看貌似綜合判斷，如此而已。例如，我們打一個不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋确?，說如下命題：

“旺財(cái)是一只狗?！?/p>

這個命題，看似是綜合的，因?yàn)樗枋隽恕巴?cái)”和“狗”兩個不相互蘊(yùn)含的事物之間的關(guān)系。但是，弗雷格說，這種說法是不對的。問題出在“旺財(cái)”這個主語上。在數(shù)學(xué)中我們所說的每一個概念都是由明確定義的，這個定義就包含了它的全部邏輯蘊(yùn)含。在這里我們說“旺財(cái)”，并非指一個獨(dú)立的事物，而旺財(cái)本身是一個定義，是對這樣一只40斤的、饞嘴的、喜歡搖著尾巴隨時(shí)向我們賣萌撒嬌的、黑白色的、汪汪叫的動物的命名 – 這種動物叫做狗。那么上述命題說的其實(shí)是：

“這只被命名為旺財(cái)?shù)墓肥枪贰！?/p>

這當(dāng)然是一個分析命題。因?yàn)樽鳛槎x的“旺財(cái)”本身就蘊(yùn)含了“是一只狗”的性質(zhì)。類似地，康德說，2+3從這兩個數(shù)字本身并不蘊(yùn)含任何關(guān)于5的性質(zhì)，因而2+3=5是一個綜合判斷。但是實(shí)際上，從2、3、以及“+”的定義中，我們應(yīng)該可以找到一種必然的蘊(yùn)含關(guān)系：2+3本身就蘊(yùn)含了所有的5的性質(zhì)，因而它應(yīng)該是一個分析判斷。我們所要做的，就是要對2、3、“+”做出合理的定義來使得這種判斷是分析的 – 因而也就是必然的和先驗(yàn)的。而這種定義，也必然僅僅用到邏輯定律，而不包含其余，它是純邏輯的，因而必然是分析的。只有純邏輯的基礎(chǔ)，才是我們所能做到的最牢固的基礎(chǔ)。推而廣之，整個數(shù)學(xué)就是一種精巧包裝的復(fù)雜的邏輯關(guān)系，而不應(yīng)包含任何額外的非邏輯的“原生”數(shù)學(xué)成分。

事實(shí)上，任何一個定義，必須是基于其它已經(jīng)定義好的概念之上的，而不能用自身定義自身。那么我們?nèi)绻扛鶈柕?，就會陷入無限遞歸而無從自拔。所以，我們總會有一個起點(diǎn)，在這個起點(diǎn)上，一切概念都非定義的，我們只能通過一些判斷來敘述和限制這些未嚴(yán)格定義的概念，使其成為其他一切概念的基礎(chǔ)。這種敘述和限制就是公理。邏輯主義很自然地認(rèn)為，公理，其實(shí)就是一種偽裝成判斷的原生定義。它是理論起點(diǎn)，但是并非我們以前認(rèn)為的、是理論本身的起點(diǎn)，而是理論的邏輯起點(diǎn)。在弗雷格這里，這個起點(diǎn)就是集合論。

總而言之，物理主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為對具體事物的歸納，康德主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為直覺，經(jīng)驗(yàn)主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為心理。而邏輯主義站起來說，No no，你們?nèi)e了！數(shù)學(xué)應(yīng)該歸結(jié)為純邏輯！數(shù)學(xué)就是邏輯學(xué)的一個分支。為了達(dá)成這一目標(biāo)，弗雷格必須要證明數(shù)學(xué)是純分析的，也就是說，他需要建立一套邏輯體系，僅在這套邏輯體系中，通過基本的邏輯原理，即可定義和演繹出全部的數(shù)學(xué)。

弗雷格對數(shù)字的看法，用最簡的語言說來就是：數(shù)字是一種特殊的集合，是集合的集合。而集合則是純邏輯的產(chǎn)物。如何理解集合是純邏輯產(chǎn)物呢？從邏輯上講，任何一個概念都有著它的外延。也就是說，對任何一個概念而言，滿足這個概念屬性的所有事物就是它的外延。弗雷格說，這些所有事物就構(gòu)成一個集合。弗雷格接著引入了一個原理，被稱作“第五定律（Basic Law V）”，這個原理是這么說的（大致意思）：兩個概念F和G，F(xiàn)和G的外延相等的充要條件是滿足它們的每一個對象都相等。再通俗一點(diǎn)說，就是性質(zhì)F定義的集合和性質(zhì)G定義的集合，這兩個集合相等的充要條件是F集合的每一個元素都與G集合的每一個元素相等（這是一個看似一目了然的、幾乎像是個廢話的原理。可誰能想到就是它出了大問題。）。接下來，他用這個原理證明了所謂的“休謨原理”：兩個概念的外延之間如果有一一對應(yīng)的關(guān)系，那么這兩個概念就是“等基數(shù)”的。因而，所有等基數(shù)的概念，由它們的外延構(gòu)成的集合之間就是一一對應(yīng)的。弗雷格接著說，所有的這些等數(shù)的概念的外延（所有這些所含元素一一對應(yīng)的集合）的集合（這些集合的集合），就是我們對自然數(shù)的定義。

前面這段話有點(diǎn)繞，我們可以用人類的語言重新表達(dá)一下。比如說，對于“粲粲一家”這個概念，它的外延就是“爸爸、媽媽、粲粲”，它們構(gòu)成一個集合{爸爸、媽媽、粲粲}，這個集合就確定了“粲粲一家”的基數(shù)。而對于“粲粲家的寵物”這個概念，它的外延就是“旺財(cái)、來福、小烏龜”，它們同樣也構(gòu)成一個集合{旺財(cái)、來福、小烏龜}，這個集合也就確定了“粲粲家的寵物”的基數(shù)。我們可以看到，前面這兩個集合元素之間是一一對應(yīng)的：如果我們各自選擇喂一只寵物，如爸爸喂旺財(cái)，媽媽喂來福，粲粲喂小烏龜，結(jié)果就是每個人都喂一只寵物，而每個寵物都有一個人來喂。這兩個集合一一對應(yīng)，所以“粲粲一家”和“粲粲家的寵物”兩個概念是等基數(shù)的。等基數(shù)的概念可以有無窮多個，我們可以輕易列舉，例如， “TFBOYS”和前面的概念也是等基數(shù)的。這里所說的基數(shù)是屬于某一個特定的概念的，它不可能是數(shù)字本身，因?yàn)閿?shù)字本身是一個獨(dú)立的、不從屬于任何一個單一概念的東西，那么如何從這些概念的基數(shù)推出獨(dú)立的數(shù)字的定義呢？很簡單，所有與“粲粲一家”等基數(shù)的概念（“粲粲家的寵物”、“TFBoys”、“哈利羅恩赫敏三人組”、……），它們各自的外延所構(gòu)成的集合的元素之間都是一一對應(yīng)的，它們每一個集合都有一個性質(zhì)“三性（threeness）”，而所有這些有“三性”的集合的集合，就是數(shù)字3的定義。同理，所有“五個元素”構(gòu)成的集合的元素之間也是一一對應(yīng)的，它們都有“五性（fiveness）”，這些集合的集合就是數(shù)字5的定義。如此等等。

根據(jù)這種思想，弗雷格給出了自然數(shù)的具體定義[1]。首先，0屬于那些沒有任何外延的概念。具體講，就是所有“自身與自身不等價(jià)”的集合的集合 – 當(dāng)然這個“自身與自身不等價(jià)”的集合是不存在的，因而0就是空集。

而剩下的自然數(shù)就可以以皮亞諾的方式向下遞歸定義出來。這個遞歸的“后繼數(shù)”是這樣定義的：

對一個基數(shù)為n的概念F，我們已知F所定義的集合中的一個元素x。如果G是這樣的一個概念：“F定義的集合所包含的、但是不包括x”，G的基數(shù)是m，那么n是m的后繼數(shù)。

我們可以看出，上面這段話，其實(shí)是在用一種很繁瑣的、但是邏輯上很嚴(yán)格的方式在定義n=m+1。N就是m的后繼數(shù)。這樣從零開始，每個數(shù)都有這樣的后繼數(shù)定義，因而整個自然數(shù)就被定義了。進(jìn)而可以通過戴德金的手法定義整個實(shí)數(shù)域。

弗雷格的整個推論過程，可以說是很嚴(yán)密很牢靠了。至少看起來如此。1893年，他完成了著作《算術(shù)的基本定律》，把這種對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重新構(gòu)建系統(tǒng)化地發(fā)表了。對這本書他顯然很得意，他說：

“我希望現(xiàn)在我可以宣布，本書使得這樣的努力成為可能：把算術(shù)的基本原理歸結(jié)為分析判斷、進(jìn)而證明它們是先驗(yàn)的。這樣一來算術(shù)只不過是邏輯的一種延伸。數(shù)學(xué)的每一個判斷都是一種邏輯定律，或是其推演物。在科學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)就是在觀察到的事實(shí)中應(yīng)用邏輯關(guān)系；計(jì)算就是推理。”

1902年，在他的著作第二卷即將發(fā)表之時(shí)，53歲的弗雷格收到了一個30歲年輕人的來信。這個年輕人，就是羅素；在這封信中，羅素表達(dá)了它對弗雷格猶如滔滔江水連綿不絕般的崇敬，然而，在信中的末尾，看似不起眼的一個小小的“但是”，卻摧毀了弗雷格的一切。弗雷格突然發(fā)現(xiàn)，他建立的牢固邏輯基礎(chǔ)本身，坐落在一個松軟的沙灘上搖搖欲墜。這里主要有兩個原因，一個是他大量使用“概念的外延”來定義集合，也就是說用一個性質(zhì)來定義一個集合（非限制概括公理）；另一個，是他大量地使用“集合的集合”、“集合的集合的集合”這類嵌套集合。而羅素指出，這是不能隨意使用的。這會必然導(dǎo)致邏輯矛盾，而這個矛盾是后來大名鼎鼎的“羅素悖論”。

羅素悖論是如何引發(fā)矛盾的呢？如果你可以回憶起我們第一部分的內(nèi)容，在第13章中有詳細(xì)說明，這里我就不再贅述了。

賈明子：13、只緣身在此山中?zhuanlan.zhihu.com

羅素悖論在數(shù)學(xué)史上是一個極其鮮明的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，應(yīng)該說它的提出其重要性絲毫不亞于無理數(shù)、虛數(shù)、以及非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。它所產(chǎn)生的影響，是當(dāng)人們終于看到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的曙光時(shí)，又一次讓確定的數(shù)學(xué)真理之夢變得虛無縹緲。事實(shí)上，在同時(shí)代還有若干個其它版本的悖論，它們都與羅素悖論相類似，而羅素悖論一起簡潔和確定性成為這些悖論的代表。弗雷格看到羅素的信件之后，立即認(rèn)識到自己理論的缺陷，然而當(dāng)時(shí)他的第二卷著作已經(jīng)付印，不可能再進(jìn)行修改，他只得在書中加了這樣一段補(bǔ)遺：

“在工作完美收官之際，卻突然發(fā)現(xiàn)整個基礎(chǔ)都必須要放棄，對一個科學(xué)家來說沒有什么能比這個更加不幸的了。是羅素的一封信件讓我認(rèn)識到這一點(diǎn)，我不得不在本書即將出版之際加以說明?！?/i>

我們可以想見，弗雷格當(dāng)時(shí)的心情是何等沮喪。弗雷格在余生再也沒能夠從這個打擊中恢復(fù)過來。

弗雷格消沉了，但是始作俑者羅素卻接過了接力棒，繼續(xù)他的探索。羅素雖然發(fā)現(xiàn)了弗雷格的缺陷，但是他卻堅(jiān)信弗雷格的思想是一條康莊大道：數(shù)學(xué)，歸根結(jié)底就是邏輯。悖論不可怕，只要能想辦法解決之，悖論會推動而不是打擊數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們終將意識到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

其實(shí)羅素早在弗雷格還沒有完成他的工作之時(shí)就已經(jīng)深受悖論的困擾。為了解決這些悖論，他仔仔細(xì)細(xì)地研究了當(dāng)時(shí)的幾個著名的代表，最后他認(rèn)定，這些悖論有一個基本的根源：它們都是自指的。也就是說，它們自己引用了自己。弗雷格的集合論中允許用一個性質(zhì)來定義一個集合，因而它是躲不過這種自指怪圈的，比如說，“有無窮多個元素的集合”這個性質(zhì)本身也包含了無窮多個元素，因而它自己必然要包含它自己。我們形象地把集合當(dāng)做一個可以“裝”某種性質(zhì)的事物的口袋，那么我們可以說“可以裝下所有蘋果的口袋”，但是“可以裝下所有口袋的口袋”，就需要它自己裝下它自己了！羅素把這種“自指”成為“惡性循環(huán)”（vicious circle）。要想消除悖論，就必須躲過惡性循環(huán)。他的方案就是“分層”。

這個方案極其復(fù)雜，我也不能深刻理解，它的大意是，集合是“分層”的：基本的具體對象是最底層，這些對象的集合和對象的性質(zhì)是第二層，這些對象的集合的集合、性質(zhì)的性質(zhì)是第三層，以此類推。這樣一來，諸如“所有集合的集合”之類就不再包含它自己了：因?yàn)樗潜取八屑稀备弦粚拥母拍?。這樣一來我們就可以繼續(xù)使用集合論中那些有效的部分，又避免了悖論的產(chǎn)生。但是代價(jià)就是理論極盡繁復(fù)之能事：我們沒涉及一個集合就必須要搞清楚它是“哪一層”的，進(jìn)而要一層層向下窮究，原本一兩行就可以說明的事情，需要幾十頁才行 – 而且還不總是可行。據(jù)稱這套三卷2000頁的巨著，知道300多頁之后才開始定義自然數(shù)“1”，而直到600多頁才開始定義加法！此外，為了解決層層嵌套帶來的麻煩，羅素還引入了一個公理，叫做“還原公理（axiom of reducibility）”，這個公理的大意是說，一個高層集合的邏輯描述總是可以表示為等效的底層對象的邏輯描述[2] – 這樣一來我們就可以把所有的高層對象全部“拉低”到最底層，從而省去了大量的層層嵌套帶來的邏輯困難。

這是什么鬼？且不說這個公理的有效性如何，從根本上說，它就不是一個邏輯定律 – 它不是純邏輯的。那么羅素的整個工作的初衷 – 把數(shù)學(xué)還原成為純邏輯 – 就被徹底破壞掉了。羅素本人也為這個公理反復(fù)糾結(jié)，最終只能承認(rèn)它并非邏輯必需。更何況，羅素在他的理論中用到了無窮公理和選擇公理，這兩個貨雖然不那么不招人待見，但是一般也不被認(rèn)可為純邏輯公理，因而數(shù)學(xué)的邏輯化就難以為繼。最后，他只能無奈地宣稱，或許集合論也不是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的理論，我們在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)探索道路上可能還有很長的路要走。

此時(shí)的邏輯主義面臨的情況，可以用一句詩來描述，“云橫秦嶺家何在，雪擁藍(lán)關(guān)馬不前?！?/b>

邏輯主義之路雖然暫時(shí)進(jìn)入進(jìn)退維谷的境況，但是弗雷格和羅素的工作卻無疑極具啟發(fā)性和開創(chuàng)性。在羅素陷入苦戰(zhàn)的同時(shí)，另外一個思路出現(xiàn)了，就是公理化集合論。這個思路的要義是， “滿足一個性質(zhì)的所有對象構(gòu)成一個集合”這樣的前提導(dǎo)致了悖論，那么說明這種對集合的約定方式有不妥之處。我們只要試著對集合的概念提出一些規(guī)則，增加一些限制，結(jié)果讓悖論消失就行了。同時(shí)，樸素的集合論雖然陷入悖論，但是它取得的成功卻是極有價(jià)值的。我們對它的限制又不能過于嚴(yán)格，把它給限死了。這個補(bǔ)丁怎么個打法？與邏輯主義的出發(fā)點(diǎn)不同，它不追求把數(shù)學(xué)還原為邏輯，而是要找到一種平衡，適當(dāng)?shù)刂贫ǔ鲆?guī)則，在規(guī)則下既能實(shí)現(xiàn)邏輯自洽，又能最大可能地保留原有成果。于是就有了ZFC公理體系，這個公理體系在樸素集合論的基礎(chǔ)上修正、增加了若干公理，對集合的用法加以限制，這樣做的結(jié)果在操作層面上是相當(dāng)成功的。這種思路，其實(shí)就是把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)看作是一系列規(guī)則的組合，而整個數(shù)學(xué)，就像是一個棋類游戲一樣，在規(guī)則內(nèi)衍生變化，得到一個完整的棋局。這樣一來，數(shù)學(xué)本身并沒有什么現(xiàn)實(shí)的含義 – 它只是一種游戲規(guī)則，是一種形式語言。只有當(dāng)我們把它應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)事物中，它才有了現(xiàn)實(shí)含義。這種觀點(diǎn)的代表人物就是希爾伯特，而這種觀點(diǎn)則被稱為數(shù)學(xué)的“形式主義”綱領(lǐng)。

舉個例子說，我們前面提到的三段論推理：

（大前提）所有的狗狗都會汪汪叫；

（小前提）旺財(cái)是一只狗狗；

（所以）旺財(cái)會汪汪叫。

這里面“旺財(cái)”、“狗狗”、“汪汪叫”是現(xiàn)實(shí)問題賦予這個推演規(guī)則的含義。而這個推理本身是純形式的，我們完全可以把它寫成：

所有的A都有B的性質(zhì)；

C屬于A；

所以C有B的性質(zhì)。

希爾伯特說，數(shù)學(xué)體系中所包含的一切數(shù)學(xué)概念，我們可以把它隨便替換，例如把數(shù)字全部換成“啤酒”、“桌子”，這不會影響數(shù)學(xué)體系的有效性 – 因?yàn)樗徊贿^是一個形式體系而已。我們完全可以說：

所有的啤酒都會汪汪叫；

桌子屬于啤酒；

所以桌子會汪汪叫。

這個看起來很滑稽無厘頭的推理，從形式上是毫無問題的。它的真假知識在我們把它賦予一定含義時(shí)才會發(fā)生。從純數(shù)學(xué)角度，一個命題為“真”就是指它在現(xiàn)有的規(guī)則框架下可以證明為自洽（不矛盾），而“假”則是它被證明為矛盾。而數(shù)學(xué)命題本身完全沒有物理意義上的現(xiàn)實(shí)含義，也不會有理念世界中的“存在”或“不存在”之分。

這種看法繞開了許多麻煩的問題，但是會讓很多人，尤其是持有實(shí)在論觀點(diǎn)的人很不舒服。例如說，如果數(shù)學(xué)只是一套高級的游戲，那么為何自古代以來，各個文明會各自獨(dú)立地分別建立起相同的算術(shù)和幾何體系？他們難道不會建立起不同的游戲規(guī)則嗎？例如幾何的畢達(dá)哥拉斯定理和勾股定理說的是同一回事，是中國和古希臘各自獨(dú)立建立的。如果說它們只是一個特定公理體系指定的游戲規(guī)則，為何古希臘人和先秦中國人會心有靈犀？類似的例子不要太多。另外，如果數(shù)學(xué)只是一個游戲，為何數(shù)學(xué)會如此和諧地用于實(shí)證科學(xué)？

如果說這種詰難尚可自圓其說，另一個困難它就很難回答了。形式主義對數(shù)學(xué)體系的最低要求就是自洽性。也就是說，這種規(guī)則體系中必須要保證沒有任何矛盾之處。我們不能在我們的規(guī)則下同時(shí)得到一個命題A為真且不為真。這不僅僅是矛盾律的要求，而且是這個套規(guī)則是否有效的判據(jù)。因?yàn)椋绻覀兡呐率侵挥幸粋€矛盾，我們就可以利用這個矛盾證明所有的命題全部為真。那么這套規(guī)則就毫無意義。比如說，我們有一套公理體系，對某一個極特殊的命題A得到了同時(shí)為真又為假的結(jié)論，那么，我可以用它來證明這樣一個命題：“爸爸是一盤意大利面”。

首先，既然A為真，那么“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個為真。

既然“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個為真，而A為假，那么，“爸爸是一盤意大利面”就必然為真。

所以，對形式主義者而言，能夠證明一套規(guī)則自身的自洽性就是一個必需的要求。這在1900年提出的著名的“希爾伯特綱領(lǐng)”中，是位列第二的問題。希爾伯特本人對此堅(jiān)稱：

“我們必須做到，我們終將做到。”

這句話也是他的墓志銘。

然而，我們可以回想一下第一部分地14章“邏輯不確定性”談到的哥德爾不完備定理。這個定理之間證明了，算術(shù)系統(tǒng)不可能證明自身的自洽性。這給了希爾伯特墓碑上憑空增加了古希臘神話式的悲劇性 。

賈明子：14、邏輯不確定性?zhuanlan.zhihu.com

而此時(shí)，以數(shù)學(xué)家布勞威爾為首的另一批人，則有著明顯的康德主義傳承。他認(rèn)為，邏輯主義和形式主義都是錯誤的。數(shù)學(xué)就存在于數(shù)學(xué)家的意識中，是建立在康德式的“數(shù)學(xué)直覺”之上的體系。它的最終起源是時(shí)間這個“數(shù)學(xué)的原生直觀”，它是人類智慧的先天框架，也是人類智慧建筑在直觀之上的構(gòu)建物。而數(shù)學(xué)的客觀性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)直覺這種人類知性的先天形式中。這種觀點(diǎn)被稱作“直覺主義”。布勞威爾說：

“在數(shù)學(xué)中，存在就意味著由直觀構(gòu)建出來。它的形式語言是否自洽這一點(diǎn)都不重要，不但不重要，而且連對數(shù)學(xué)存在的檢驗(yàn)都算不上?！?/i>

直覺主義有兩個鮮明的特征，第一個，它激烈反對實(shí)無窮的概念。在它看來，數(shù)學(xué)是人類智慧構(gòu)建的，而人類的智慧總是有限的，因而不可能對一個已完成的無窮大進(jìn)行任何直觀上的構(gòu)建?？低袪柕某迶?shù)和實(shí)無窮，實(shí)在是一種妄自尊大的胡言亂語。

第二個，就是它對構(gòu)建的熱衷。它認(rèn)為數(shù)學(xué)存在的一切，都應(yīng)該能夠被數(shù)學(xué)家以有限的步驟構(gòu)建出來，而那種無法被構(gòu)建、又能通過反證法證明（如果不存在則證明產(chǎn)生矛盾）的所謂的“存在”毫無意義。一個無法被真正構(gòu)建出來的東西，談何存在？其實(shí)我們可以看到這種觀點(diǎn)受到了經(jīng)驗(yàn)主義影響的痕跡，經(jīng)驗(yàn)主義說，一個不能被觀察的東西，談何存在？因而，直覺主義旗幟鮮明地反對把邏輯的排中律 - 一個命題要么是真的，要么是假的 - 應(yīng)用于無限集，這是一種不可靠的推廣。在一個有限集中，我們可以通過歷數(shù)的方式證明排中律，但是在一個包含了無限多的事物中，一定存在既非真又非假的命題 – 因?yàn)槲覀儧]有任何的現(xiàn)有辦法對它進(jìn)行判定。那么，反證法（歸謬法）的運(yùn)用必將受到極大的限制，甚至淪為無用之舉：有限集中我們可以通過遍歷的方法取代它，而無限集中它被禁止使用。

直覺主義與形式主義形成了激烈沖突，表現(xiàn)為希爾伯特與布勞威爾之間的持續(xù)嘴炮。希爾伯特說：

“沒有人能夠把我們從康托爾為我們建立的樂園（指實(shí)無窮，括弧中為我添加，非原文。）中驅(qū)趕出去！”

在布勞威爾剛剛出道時(shí)，展現(xiàn)出了優(yōu)秀的數(shù)學(xué)天賦，曾經(jīng)得到希爾伯特的賞識，并力邀他加入自己主編的《數(shù)學(xué)年鑒》的編委會。但是隨著兩人觀點(diǎn)越來越分歧，兩人的關(guān)系急劇惡化，爭論也越來越有火藥味。后來希爾伯特更加用了一點(diǎn)不太光彩的手段，把布勞威爾從編委會中踢出去。這個被愛因斯坦蔑視地稱之為“蛙鼠之爭”。

直覺主義的真正困難在于，他們試圖在剔除實(shí)無窮和歸謬法的情況下重建整個數(shù)學(xué)體系，但是這個過程并不成功，很多原有的有意義（哪怕是直覺主義的視角中）的定理無法被建立，他們的重建過程只能完成一小部分。另外一個直覺主義者外爾坦言“這是一個令人汗顏的尷尬”。主流的數(shù)學(xué)家們沒有幾個真正相信直覺主義。它作為一個思想綱領(lǐng)得以存活，主要是他的領(lǐng)袖的數(shù)學(xué)才能，以及它產(chǎn)生了很多后來應(yīng)用于計(jì)算機(jī)算法的理論。

總而言之，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)端，隨著形式邏輯和集合論的發(fā)展，人們終于對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題作出了重大突破，從原來的毫無邏輯基礎(chǔ)，終于開始看上去比較牢靠了，盡管這些牢靠的基礎(chǔ)仍然是建立在沙灘之上。舊的問題得以解決，而新的、更加深刻的問題產(chǎn)生了。針對這些問題，邏輯主義試圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)為純邏輯，形式主義試圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)為無意義的形式語言；而直覺主義則把它歸結(jié)為心靈的直覺。三個思想綱領(lǐng)各自面臨著自己的困難而舉步維艱。但是三個思想綱領(lǐng)同時(shí)各有傳承在堅(jiān)持不懈地奮力前行。例如羅素之后多年，在上世紀(jì)80年代，新邏輯主義又有了發(fā)現(xiàn)，把數(shù)學(xué)歸結(jié)為邏輯這條道路似乎有了新的曙光。

在這種情形下，古老的柏拉圖主義開始煥發(fā)第二春，一個全新的“數(shù)學(xué)柏拉圖主義”正在醞釀形成。