教學(xué)目標(biāo)：了解第三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其發(fā)生與解決。體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也要經(jīng)歷從不完善到完善的過(guò)程。

教學(xué)過(guò)程　

1872年，年僅27歲的康托爾在數(shù)學(xué)上放了一把火：他用有理數(shù)列構(gòu)造實(shí)數(shù)R。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，這是前無(wú)古人的創(chuàng)意。

康托爾，何許人也？

一、康托爾其人

                                                      康 托 爾

格奧爾格·康托爾（1845.3.3-1918.1.6），生于俄國(guó)彼得堡一丹麥猶太血統(tǒng)的富商家庭，父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。

他自幼對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣。1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于當(dāng)時(shí)非常出名的幾位數(shù)學(xué)家如：在函數(shù)論、數(shù)論和幾何三個(gè)方面有較大貢獻(xiàn)、后成為柏林大學(xué)校長(zhǎng)的庫(kù)默爾、被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的維爾斯特拉斯和努力統(tǒng)一數(shù)論、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)的研究的克羅內(nèi)克。

康托爾23歲獲博士學(xué)位，以后一直從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。1872年成為該校副教授，1879年任教授。1888-1893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會(huì)第一任會(huì)長(zhǎng)，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)并任首屆主席。他所創(chuàng)立的集合論已被公認(rèn)為全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我國(guó)現(xiàn)行人民教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)課本必修一第一章第一課時(shí)就是集合（也就是說(shuō)進(jìn)入高中的第一節(jié)數(shù)學(xué)課就是學(xué)習(xí)康托爾的集合）。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是康托爾的集合論引發(fā)的，集合論是關(guān)于無(wú)窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，集合論里的中心難點(diǎn)是無(wú)窮集合這個(gè)概念本身。

下面，我們看一些康托爾集合論中關(guān)于無(wú)窮集合的觀點(diǎn)：

1874年，康托爾證明了有理數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)多。也就是說(shuō)，有理數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合相比是元素更少的無(wú)窮集合。這個(gè)好理解。

隨后，康托爾又證明了：?jiǎn)挝徽叫闻c單位線(xiàn)段上的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是說(shuō)，單位正方形的點(diǎn)與單位線(xiàn)段的點(diǎn)一樣多。由此可以推出：空間中的點(diǎn)與平面上的點(diǎn)一樣多。這個(gè)說(shuō)法似乎和我們的直覺(jué)有了沖突了。

康托爾還證明有理數(shù)集合與正整數(shù)集合的元素一樣多。

這同樣與我們的直覺(jué)相沖突。

康托爾猜想，在自然數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間是否存在一種集合，其元素一方面比實(shí)數(shù)集合少一些，另一方面卻又比自然數(shù)集合多一些？康托爾猜想，這種集合是不可能存在的。這個(gè)猜想被人們稱(chēng)為康托爾“連續(xù)統(tǒng)”假設(shè)。但這個(gè)假設(shè)到底對(duì)不對(duì)呢？康托爾沒(méi)法證明。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們也沒(méi)人能夠給以證明。

集合論的出現(xiàn)確實(shí)沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當(dāng)時(shí)的一般人所接受，也很難為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們所接受，自然就遭到了許多人的反對(duì)。

其中反對(duì)最激烈的是他的老師、柏林學(xué)派的代表人物之一、構(gòu)造主義者克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須是可構(gòu)造出來(lái)的，不可用有限步驟構(gòu)造出來(lái)的都是可疑的，不應(yīng)作為數(shù)學(xué)的對(duì)象?？肆_內(nèi)克認(rèn)為算術(shù)與數(shù)學(xué)分析都必須以整數(shù)為基礎(chǔ)，他說(shuō)：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”。就是說(shuō)，人們只能在正整數(shù)的有窮范圍內(nèi)研究數(shù)學(xué)，至于無(wú)窮的世界則完全超乎人的能力之外。

兩人的觀點(diǎn)相互對(duì)立。沖突不可避免！

于是，克羅內(nèi)克嚴(yán)厲批評(píng)和惡毒攻擊康托爾的無(wú)窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學(xué)而是神秘主義。不承認(rèn)康托爾是他的學(xué)生，他斷定“康托爾走進(jìn)了超窮數(shù)的地獄?！?/p>

1884年，由于“連續(xù)統(tǒng)”假設(shè)長(zhǎng)期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對(duì)立，康托爾精神上屢遭打擊，5月底，他出現(xiàn)了第一次精神崩潰。他精神沮喪，不能很好地集中研究，從此深深地卷入神學(xué)、哲學(xué)及文學(xué)的爭(zhēng)論而不能自拔。雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)他的集合論和其它工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國(guó)哈雷—維滕貝格大學(xué)附屬精神病院去世。

1897年，在瑞士蘇黎世召開(kāi)的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，康托爾的集合論得到公開(kāi)的承認(rèn)和熱情的稱(chēng)贊。當(dāng)時(shí)，瑞士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維茨在他的綜合報(bào)告中，明確地闡述康托爾集合論對(duì)函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動(dòng)作用，向國(guó)際數(shù)學(xué)界昭示康托爾的集合論不是可有可無(wú)的哲學(xué)，而是真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。在分組會(huì)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪也報(bào)告康托爾對(duì)他的工作的重要作用。隨著時(shí)間的推移，人們逐漸認(rèn)識(shí)到集合論的重要性。大數(shù)學(xué)家希爾伯特高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類(lèi)純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題之首。當(dāng)康托爾的樸素集合論出現(xiàn)一系列悖論而又一次受到批判時(shí)，希爾伯特對(duì)其進(jìn)行了堅(jiān)定的維護(hù)：“沒(méi)有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來(lái)”。

康托爾集合論的創(chuàng)立是人類(lèi)思維發(fā)展史上的一座里程碑，它標(biāo)志著人類(lèi)經(jīng)過(guò)幾千年的努力，終于基本弄清了無(wú)窮的性質(zhì)。

二、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

越來(lái)越多的人開(kāi)始承認(rèn)康托爾集合理論，并成功地把它應(yīng)用到許多別的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去。大家認(rèn)為，集合論確實(shí)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而且，由于集合論的建立，數(shù)學(xué)的“絕對(duì)嚴(yán)格性已經(jīng)取得”。

然而，正在數(shù)學(xué)家們志得意滿(mǎn)，數(shù)學(xué)王國(guó)一派光明的時(shí)候，晴天打下一個(gè)巨大的霹靂：集合論中發(fā)現(xiàn)了一系列悖論！這引發(fā)了數(shù)學(xué)大地上空前強(qiáng)烈的地震：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)坍塌了！數(shù)學(xué)王國(guó)陷入有史以來(lái)最大的恐慌和混亂中。

1、有關(guān)集合論的三大悖論

（1）布拉利-福爾蒂悖論

1897年，布拉利和福爾蒂提出一個(gè)悖論:設(shè)W為一切序數(shù)所組成的集合。因?yàn)閃按自然大小順序成一良序集，故W有一序數(shù)Ω。由序數(shù)性質(zhì)，Ω必比W中任一序數(shù)都大，但由定義，Ω也出現(xiàn)在W中，從而將有Ω>Ω，這是矛盾的。即推出互相矛盾的命題，所以是悖論。后來(lái)就稱(chēng)之為“布拉利-福爾蒂悖論”，也叫“最大序數(shù)悖論”。

這一悖論沒(méi)太引起數(shù)學(xué)家們的注意，反響不大。

（2）康托爾悖論

 兩年之后的1899年，康托爾本人也發(fā)現(xiàn)自己理論中的矛盾：　

一方面，有n個(gè)元素的集合A其子集有 個(gè),n個(gè)元素的集合其基數(shù)（集合中的元素個(gè)數(shù)）為n，而其所有子集組成的集合B的基數(shù)為 ，顯然＞n。因此有“康托爾定理”：任意集合（包括無(wú)窮集）的冪集的基數(shù)大于該任意集合的基數(shù)。

另一方面，據(jù)康托爾集合理論，所有的集合又可以組成一個(gè)集合，即“所有集合的集合”。顯然，此集合應(yīng)該是最大的集合了，因此其基數(shù)也應(yīng)是最大的。       

然而其子集的集合的基數(shù)按“康托爾定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”，這就是“康托爾悖論”，也叫“最大基數(shù)悖論”?！?/p>

這一悖論的出現(xiàn)這時(shí)也沒(méi)有引起多大的震動(dòng)，人們覺(jué)得這似乎僅僅牽涉到集合理論的一些技術(shù)問(wèn)題，只要作適當(dāng)?shù)男拚?，集合論仍然?huì)成為數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。

（3）羅素悖論

1901年5月，羅素發(fā)表的“羅素悖論”則“剝掉了數(shù)學(xué)技術(shù)性的細(xì)節(jié)”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出來(lái)了！

羅素悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的。

事情是這樣的：

英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素把集合分成兩種：

第一種集合：集合M本身不是它自己的元素（MM）；

第二種集合：集合M本身是它自己的一個(gè)元素（MM）。

顯然，每一集合，不是第一種就是第二種，兩者必居其之。

第一種集合的全體構(gòu)成一集合Q，那么集合Q屬哪一種呢？

假設(shè)Q是第一種集合，那么Q應(yīng)該是Q的一個(gè)元素，即QQ，然而滿(mǎn)足MM的關(guān)系的集應(yīng)為第二種集，于是矛盾。

假設(shè)Q是第二種集，那么應(yīng)該滿(mǎn)足關(guān)系式QQ，但是Q的任何元素都是第一種集（由假設(shè)），因而Q又是第一種集了，這又矛盾。

這種推理，稱(chēng)為“羅素悖論”，又叫“集合論悖論”。

羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素自己于1919年給出的“理發(fā)師悖論”。它涉及到某村理發(fā)師的困境。

理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給所有不給自己刮臉的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問(wèn)時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉？如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。

2、悖論引發(fā)了數(shù)學(xué)危機(jī)

羅素悖論揭示了一個(gè)嚴(yán)酷的事實(shí)：集合論是隱含著邏輯矛盾的。

羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。

由于集合論中存在的邏輯矛盾，以至于使在哲學(xué)邏輯論和數(shù)理邏輯學(xué)方面有重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第２卷末尾寫(xiě)道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書(shū)等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地?！庇谑墙K結(jié)了近12年的刻苦鉆研。

由于建立嚴(yán)格的極限理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而要建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論又必須以集合論為基礎(chǔ)，所以集合論中出現(xiàn)的悖論使得實(shí)數(shù)理論成為空中樓閣，以至于在實(shí)數(shù)和連續(xù)性理論方面有突出貢獻(xiàn)的現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論奠基人狄德金原來(lái)打算把《連續(xù)性及無(wú)理數(shù)》第3版付印，這時(shí)也把稿件抽了回來(lái)。發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)中“不動(dòng)點(diǎn)原理”的布勞恩也認(rèn)為自己過(guò)去做的工作都是“廢話(huà)”，聲稱(chēng)要放棄不動(dòng)點(diǎn)原理。

數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到，如果把數(shù)學(xué)建立在集合論的基礎(chǔ)之上，將會(huì)使數(shù)學(xué)大廈從根基上產(chǎn)生深深的裂痕，這種裂痕甚至有可能使整座大廈傾覆。于是，一場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的論戰(zhàn)爆發(fā)了，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了空前危機(jī)——第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

3、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決和影響

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)使數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，康托爾的集合論產(chǎn)生悖論的原因之一是，康托爾的集合論中有“一切集合的集合”的概念，為了不產(chǎn)生悖論，應(yīng)當(dāng)建立某種公理系統(tǒng)來(lái)對(duì)集合論作出必要的規(guī)定，以排除“羅素悖論”和其它悖論。

策梅羅在1908年提出一種公理系統(tǒng)，這種公理系統(tǒng)由弗蘭克爾在1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無(wú)矛盾的公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)ZF公理系統(tǒng)。但此系統(tǒng)只是避開(kāi)了某些悖論，而未能說(shuō)明這些悖論；此外，它不能保證將來(lái)不出現(xiàn)別種悖論。

從1900年到1930年左右，危機(jī)使許多數(shù)學(xué)家卷入這場(chǎng)大辯論中。在這場(chǎng)大辯論中，原來(lái)不明顯的意見(jiàn)分歧擴(kuò)展成為學(xué)派的爭(zhēng)論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺(jué)主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生。它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。

1931年，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明暴露了各派的弱點(diǎn)，爭(zhēng)論黯淡了下來(lái)。此后，各派力量沿著自己的道路發(fā)展演化。

在這場(chǎng)危機(jī)中集合論得到較快的發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)步更快，為解決集合論的悖論從邏輯上去找問(wèn)題的癥結(jié)，這帶來(lái)了邏輯基礎(chǔ)的全面研究，數(shù)理邏輯更加成熟。

承認(rèn)無(wú)窮集合、承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好象一切災(zāi)難都出來(lái)了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論中一大堆公理，簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。

數(shù)學(xué)中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機(jī)就不可避免。危機(jī)的解決給數(shù)學(xué)帶來(lái)了許多新認(rèn)識(shí)、新內(nèi)容，同時(shí)也帶來(lái)了革命性的變化。把20世紀(jì)的數(shù)學(xué)同以前全部數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容要豐富得多，認(rèn)識(shí)要深入得多。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測(cè)度論，數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)成為數(shù)學(xué)有機(jī)體的一部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維。代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來(lái)越優(yōu)美、完整。一系列經(jīng)典問(wèn)題完滿(mǎn)地得到解決，但同時(shí)又產(chǎn)生更多的新問(wèn)題。特別是二次大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從不間斷。數(shù)學(xué)呈現(xiàn)無(wú)比興旺發(fā)達(dá)的景象，而這正是人類(lèi)同數(shù)學(xué)中的矛盾、危機(jī)斗爭(zhēng)的產(chǎn)物。

不管數(shù)學(xué)以后向何處發(fā)展，數(shù)學(xué)的成就永遠(yuǎn)是人類(lèi)思想的成就，是人類(lèi)可以達(dá)到何種成就的證據(jù)。它給予人類(lèi)勇氣和信心，去解決那些一度看上去不可測(cè)知的宇宙秘密，去制服那些人類(lèi)易于感染的致命疾病，去質(zhì)疑去改善那些人們生活中的空間。