討論用級數(shù)求解常微分方程的理論原則。

我們已經(jīng)詳細討論過如何確定一個常微分方程的奇點的方法。前面曾經(jīng)講過，一個常微分方程的奇點的個數(shù)往往是有限的，因此，只要將一個常微分方程的全部奇點找出來，其余的點就是這個常微分方程的常點了。

區(qū)分一個常微分方程的常點和奇點很重要。除了一些特殊的常微分方程有簡單的解析解外，科學研究中遇到的常微分方程一般都沒有或者很難求出它的解析解。求解常微分方程最簡單也是最常用的方法是將方程的解展開成冪級數(shù)。一個常微分方程在這個冪級數(shù)的展開點上的奇異性對解的性質，以及求解的方法有重要影響。由于這個原因，要在某一點的鄰域將一個常微分方程的解展開成冪級數(shù)，首先要搞清楚該方程在這個點處的奇異性，具體的做法當然就是先找出這個常微分方程的全部奇點。

既然已經(jīng)學會了判斷一個常微分方程的奇點的方法，就讓我們開始討論求解常微分方程的理論問題吧。

還是討論最基本的二階線性齊次常微分方程，將其寫成標準形式：大家知道，要完全確定一個二階常微分方程的解，需要有兩個已知條件，它們是這個常微分方程的解以及解的一階導數(shù)在某點  處的值：這兩個值被稱為該常微分方程的初值 (有一些教科書也將它們稱為邊值、邊條件或者邊界條件等，名稱雖然不一樣，但是意義相同)，相應地，  就被稱為初值點。因此，一個完整的常微分方程求解問題應該包括這兩個初值條件： 

接下來，讓我們先討論用級數(shù)展開的方法求解二階線性齊次常微分方程的理論原則，具體的求解操作程序留待求解實例的問題中再做細致討論。

假定一個二階線性齊次常微分方程的兩個系數(shù)在圓  內(nèi)單值解析，則在這個圓內(nèi)，初值問題 (1) 式有唯一的解，這個解在圓內(nèi)單值解析。于是，可以把初值點作為展開點，將該常微分方程的解在初值點的這個鄰域圓內(nèi)展開成泰勒級數(shù)：

在求解常微分方程的過程中，需要知道解的一階導數(shù)和二階導數(shù)：由于方程的兩個系數(shù)在初值點及其鄰域是解析的，因此，也可以將它們在初值點的鄰域展開成泰勒級數(shù)：另一方面，把初值點代入級數(shù)解 (2) 式中，就可以得到：利用初條件就可以求出兩個基本系數(shù)：至此，求解常微分方程的準備工作基本上完成。

原則上說，在求解常微分方程的過程中，必須將方程的兩個系數(shù)在初值點的鄰域展開成泰勒級數(shù)。但是，在許多實際問題中，兩個系數(shù)可能本身就是簡單的多項式，或者只需要實施幾個簡單的演算步驟就能變成多項式；在一些問題中，兩個系數(shù)也有可能是由多項式組成的分式，只需要將它們的分母從方程中除去，就能使方程的系數(shù)變成多項式。當然，這樣做的代價是，二階導數(shù)前面的系數(shù)不再等于1，即微分方程不再是標準形式。在這些情況下，就不需要將系數(shù)展開成級數(shù)這個步驟了。

求解常微分方程的準備工作完成后，把方程的解及其一階導數(shù)和二階導數(shù)的級數(shù)表達式、兩個系數(shù)在初值點的鄰域的泰勒級數(shù)展開式、以及兩個基本系數(shù)，代入常微分方程中，就將常微分方程轉變成級數(shù)方程。整理這個級數(shù)方程，就可以得到各個系數(shù)之間的遞推關系，從而得到唯一的解。

在用級數(shù)方法求解常微分方程時，如果要求的展開點是該方程的奇點，則方程的解在這個展開點處一般也是奇異的。在這種情況下，需要先討論兩個系數(shù)在這個展開點處的奇異性。對不同的奇異性，求解的方法和程序是不一樣的，不是目前可以討論的問題，留待日后再詳述吧。