一、歐拉方程及其求解方法

具有結(jié)構(gòu)

的變系數(shù)線性微分方程稱之為歐拉方程.

令x=e^u，則u=lnx，于是有

記

即用D^k乘以一個函數(shù)，就是對該函數(shù)求k階導(dǎo)數(shù)；并且關(guān)于D符合乘法運算律和分配律，即有

所以

用數(shù)學(xué)歸納法可以驗證，

將原歐拉方程中x^ky^(k)全部用上式代入，則可以將原方程轉(zhuǎn)化為以y為函數(shù)，u為自變量的常系數(shù)線性微分方程

即

于是，就可以通過常系數(shù)線性微分方程的求解方法求該方程的通解了。

【注】歐拉方程其實就是一種線性微分方程的結(jié)構(gòu)，只不過不具有直接的顯性結(jié)果，需要換元變換得到。

二、常系數(shù)線性微分方程組舉例

常系數(shù)線性微分方程組解法步驟:

第一步：用消元法消去其他未知函數(shù) , 得到只含一個函數(shù)的高階方程；

第二步：求出此高階方程的未知函數(shù)；

第三步：把求出的函數(shù)代入原方程組，一般通過求導(dǎo)得其它未知函數(shù).

【注1】一階線性方程組的通解中，任意常數(shù)的個數(shù) = 未知函數(shù)個數(shù)

【注2】如果通過積分求其它未知函數(shù) , 則需要討論任意常數(shù)的關(guān)系.

三、微分方程模型求解實際問題的基本步驟

(1) 確定模型類型：注意到實際問題中與數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)相關(guān)的常用詞語。比如運動學(xué)、化學(xué)反應(yīng)中的變化率，速度、速率、加速度，經(jīng)濟學(xué)中的邊際，生物學(xué)、金融、經(jīng)濟等領(lǐng)域中的增長，放射性問題中的衰變以及一般提及的改變、變化、增加、減少等，在幾何上則有切線、法線，這樣的問題都可能與導(dǎo)數(shù)或微分相關(guān)，有可能通過建立微分方程模型來反映其規(guī)律。

(2) 轉(zhuǎn)換描述并統(tǒng)一量綱：梳理出實際問題中涉及到的各種量，并把相關(guān)的文字語言描述轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言與符號描述形式。如果牽涉到的量有單位，則統(tǒng)一量綱。

(3) 確定因變量與自變量：根據(jù)所求結(jié)果，確定與結(jié)果相關(guān)的兩個量，一個為待求函數(shù)變量；一個為自變量；而與變化率相關(guān)的量即為待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(4) 建立微分方程：分析問題中所涉及的原理或物理定律，根據(jù)已有變化率描述；或者借助微元分析法，給自變量一個增量，建立因變量增量與自變量增量相關(guān)的等式，并由平均變化率取關(guān)于自變量增量趨于0的極限，得到包含待求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)等式，即微分方程描述形式。

(5) 確定初值條件：根據(jù)問題，找出并明確可能的初值條件；值得注意的是：有些初值條件不一定直接給出，可能在問題的解決過程中獲得。

(6) 寫出模型：寫出由微分方程和初始條件構(gòu)成的常微分方程初值問題模型。

(7) 求解初值問題：求初值問題的解，給出問題的答案。