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高等數學期末復習指南 本文是數院學長根據學習經驗參考各類資料歸納總結寫作，僅供參考使用?？荚噺土曔€應以教材和老師上課內容為準。 由于微信平臺不支持插入數學公式，因此大部分解答和公式用LaTeX編輯之后以圖片形式插入，或者參考自教材。 級數 數項級數 方法與技巧 關于數項級數的收斂性，有如下判別的方法： 先判斷級數的通項是否趨于0，如果不是趨于0的，那么必定不是收斂的級數。 大家應觀察級數的類型。是正項級數，還是交錯級數，還是說就是任意項的級數。判斷是否收斂的類型是絕對收斂還是條件收斂。如果是絕對收斂，那么當然可以當做是正項級數來處理。 正項級數 (1)比較判別法： 不等式形式 
極限形式 
時常，我們常用來作比較的，就是p級數(一定要記住p>1收斂 p<> 
和等比級數。我們常常利用Taylor展開來觀察我們級數的通項是近似于哪個無窮小量，近似于幾階的冪級數。例如下題： 
這個通項顯然是等價于1/n^2那么收斂性就沒問題了。再例如下面這道題。 
經常我們會遇到lnn、ln(1+n)等對數，大家一定要記得，lnn/n^p對任意p>0都是無窮小量。 
我們常用p<=1的p級數，尤其是1> 
對于指數和底數都含有n的，有時候我們就先取對數再利用Taylor展開。例如下面這個高數B的考題 
(2)Cauchy判別法 
對于通項含有n次方的級數，首先考慮下該判別法。 (3)d'Alembert判別法 
(4)積分判別法 
對于單調遞減的正項級數，可以考慮一下這個方法。 交錯級數 交錯級數?？疾斓木褪荓eibniz判別法。 
當然對于交錯級數不止這一種判別的方法。有時題目還要求判斷是否絕對收斂，那么這個時候完全可以使用正項級數的各類判別方法。 真題練習 
冪級數 方法與技巧 1、常考察的問題就是冪級數的收斂半徑。 (1)最關鍵的自然就是柯西-阿達馬定理 
究竟是對系數開n次方，還是后項比前項。這個在于我們對系數進行觀察，含有n次方的我們通常開方。含有多項式冪次的，我們常后項比前項來求。有些這兩種方法都可以判斷。 注意n的n次方，極限是1。 
(2)有些時候，不是標準的冪級數。那么就應該先把一部分看成整體，化成標準的冪級數求出收斂半徑，然后利用這個整體的收斂半徑構造不等式求出收斂域。 
2、對于級數求和，或者求和函數，關鍵在于要想方設法化成我們可以求和的形式。例如等比級數，或常見初等函數的Taylor展開式。 常用的方法就是利用逐項可積性或者逐項求導。 系數含有1/n、1/(n+1)常用逐項求導，系數含有n、n+1 常用逐項積分，化成等比級數或者常見初等函數的Taylor展開式。 
觀察系數就知道，這個先逐項積分，再每項乘上x，再逐項積分一次。從略。 
這個冪級數逐項積分，會變成xe^(x^2)的Taylor展開。從略。 3、有些問題可以利用Taylor公式巧妙解決。 
利用arctanx的Taylor展開式 
將f(x)以冪級數的形式來表示，再結合Taylor公式的定義 
可得結果。從略。 真題練習 
Fourier級數 對于Fourier級數，高數C僅作了解 方法與技巧 在[-T，T]的對稱區(qū)間做Fourier展開，嚴格按照書本的定義來做。注意三角函數的和差化積公式的使用，以及分部積分方法。（詳見上一篇高數期末推送） 
對于求Fourier級數的和函數，我們有收斂性定理。 
但我們實際上不會有十分復雜的函數來讓大家判斷。只要記?。篺(x)的Fourier級數在收斂點收斂于函數值本身，而在第一類不連續(xù)點收斂于它左右極限的算術平均值。 
注意，對于奇函數、偶函數，F(xiàn)ourier級數的系數有一塊都是0. 
對于在非對稱區(qū)間上的函數，那么我們應當做延拓： 需要展開成余弦級數就做偶延拓； 需要展開成正弦級數就做奇延拓。 
與上題是類似的，從略。 大綱 高數A 
高數B 
高數C 
常微分方程 ?？碱}型 常微分方程經常和級數、求偏導、幾何問題聯(lián)合起來考察，出現(xiàn)綜合的大題的形式。 也會出現(xiàn)小題考察計算，主要是求解線性的常微分方程，常考察一階或者兩階的形式。如果是非齊次的方程，那么一般非齊次項是指數函數、三角函數或者多項式。 方法與技巧 1、對于一階常微分方程求解，注意如下一些方法： (1)對可分離變量的方程，分離變量后兩邊積分。 
(2)對齊次方程做u=y/x的變換 
例如下面這道題 有時我們還需要做線性變換。 
(3)我們可以把常微分方程化為全微分的形式考察 
(4)常數變易法對于形式為y'+f(x)y=g(x)的方程是最有效的。 
例如下面這個題： 
(5)對于Bernoulli方程，我們有特殊的方法 
有些方程，dy/dx如果不是能夠很方便解答的類型，可以思考是否可以取倒數看看dx/dy是怎樣的類型，再反解出y=f(x): 
2、對于二階線性微分方程求解，有些常考的方法： (1)對于常系數的方程，特征根法是最常見的。 
下面這個高數B考題，告訴我們特征方程的類型直接決定了方程的解的發(fā)展趨勢： 
(2)對于變系數的情形，可以用常數變易法。 
(3)常考察的特殊的方程類型是Euler方程 
3、對于非齊次的方程，我們需要找特解。找特解的方法往往是根據題目給出的非齊次項f(x)來湊。 (1)若f(x)是多項式，可以假設特解為待定系數的多項式，最高次數要滿足方程左右兩邊的最高次數一致。帶入通過比對對應項的系數相等，來求解這個多項式特解。 (2)若f(x)是含有e指數函數的式子。可以假設特解是Ce^(λx)，根據需要來調整C與λ的值。但有時這樣還不夠，可以嘗試一下Cxe^(λx)是否可解。 例如下面這個題，齊次方程的通解利用特征方程可得。特解我們設y=Ce^(x)帶入嘗試一下發(fā)現(xiàn)取C=1/6是合適的 (3)若f(x)是三角函數式，可以假設特解也為三角函數的式子。 考題解析 
對同時含有積分和微分的方程，我們應該對等式兩邊求導，換成常微分方程： 
又如與幾何背景相綜合的題目： 
也?？疾煲恍┡c實際應用有關的題目，如： 
大綱 高數A 
高數B 
高數C 
概率論與數理統(tǒng)計 按考綱只有高數C的考題中會出現(xiàn)概統(tǒng)的內容。一般也比較基礎。主要考查的是求分布列、求期望、求方差?？疾斐Ｓ玫囊恍┓植肌?/P> 這里列舉一些概率論的常用方法與公式、技巧。在“原文鏈接”中有去年筆者編寫的詳細的《概統(tǒng)常備公式方法與典型問題》大家有時間可以參考。 常備知識點 全概率公式與貝葉斯公式 
八大離散型隨機變量分布 
三大連續(xù)性隨機變量分布 
常用分布性質： 幾何分布與指數分布無記憶性： 
二項分布、泊松分布、正態(tài)分布滿足可加性： 若X～B(p,m),Y～B(p,n)，X與Y相互獨立，則X+Y～B(p,m+n) 若X～π（λ1)，Y～π（λ2)，X與Y相互獨立，則X+Y～π（λ1+λ2) 若X～ N(u1,a^2) ，Y～N(u2,b^2),X與Y相互獨立，則X+Y～N(u1+u2,a^2+b^2) 分布函數的性質 
條件分布公式 
二維隨機變量數字特征 
常見分布的期望與方差 
計算常用公式 排列組合公式 
記住一些常用的排列組合數 方便快捷計算 3！=6 4！=24 5！=120 四選二有6種選法 五選二=五選三 有10種選法 典型方法 求分布、求分布列 
求期望、求方差 一維： 
二維： 
注意期望方差的性質： E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。 此外還有： （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)= a?2;D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X?2;)-E?2;(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。 求協(xié)方差、相關系數 
以下五個命題是等價的： (1) ρxy=0； (2)cov(X,Y)=0; (3)E(XY)=E(X)E(Y); (4)D(X+Y)=D(X)+D(Y); (5)D(X-Y)=D(X)+D(Y). 注意 cov(aX,bY)=abcov(X,Y) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 若（X，Y）～N（μ?,μ?,σ??2;,σ??2;,ρ）， 則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關即ρ=0 大綱 還應以老師的教學內容為準 高數C 概率 
高數C 統(tǒng)計 
常備公式、方法 1、三角函數和差化積公式，倍角公式，萬能代換。 
2、均值不等式 
3、平方差，立方和、立方差公式，以及x^m-1的展開： x^m-1=(x-1)(x^m-1+x^m-2+……+x+1) 4、1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 5、x在[0,π/2],sinx<>
6、常見初等函數的Taylor展開。
7、不等式證明方法： 注意先對不等式進行化簡 可以設輔助函數，證明函數單調性、證明最大值小于0（最小值大于0），有時一次求導不夠可能需要兩次求導。 可以利用微分中值定理 可以利用函數凸性 可以利用均值不等式 備考建議 制定合理的復習提綱，針對復習重點，逐一進行鞏固復習，有針對性地針對考點進行適當練習，不要盲目刷題。 課本的例題要重點復習，掌握好方法 考前最好能夠有一次模擬考試。因為平時練習一般不太注意掌控時間，但是在考場上時間很緊，沒有哪道題可以花費半個小時以上的時間。因此模擬一次有助于讓你體驗在時間緊迫地情況下做題的感覺。 壓軸題如果是證明題那么一般比較難，先保證前面的題目都做好了再做壓軸題。但也有可能最后一道題是計算題，也是基礎題的情況。 養(yǎng)成好的打草稿的習慣，一行一個式子，工整書寫。 考前早點休息，不要熬夜，有好的狀態(tài)才能高效復習?？紙錾蠣顟B(tài)會很能決定發(fā)揮的。 致謝與最后 感謝張頁同學的指點！感謝數院學工組的老師們，感謝學校老師和同學們本學期對數院大神答疑活動的支持。 祝大家考試順利，高數考前，數院大神答疑小組依然照常進行答疑活動，有問題歡迎大家來問。 如果發(fā)現(xiàn)本文有任何錯誤，或者對復習指南的寫作有任何建議，歡迎聯(lián)系：13300180085@fudan.edu.cn 這可能是我最后一次寫關于數學學習的推送了。做這樣的數學學習的推送，曾經只是一時的心血來潮，而如今卻似乎很有義務地去做了。 我和大家一樣曾經掙扎在數學學習的苦海，來自湖南小城、其貌不揚、個子也不高的我，曾經十分自卑。我大一的時候解析幾何拿了C-，高代考試的時候緊張得連名字也忘了寫。但正是老師同學們的幫助，加上自己的咬牙堅持，讓我走到了今天。我和多少人一樣，學得很苦，也一直為自己的未來擔憂著。 但很幸運還有張韜、羅同丹、張慧琳等幾位好朋友一路陪我走過了這四年。記得那個時候我奶奶過世，張韜拉我去外面散心送我回家，張慧琳也一再安慰我，羅同丹也喊我出來散心、安慰我…… 很高興能有數院團學聯(lián)的同學們一直支持著我，當時正是為了給團學聯(lián)的同學們發(fā)一點福利才有了做學習資料的想法。如今能夠做出那么多推送也有賴團學聯(lián)同學們的支持。感謝郭昱君同學的一直的支持。 我的輔導員阮鴻濤老師、數院學工組的老師們、學校的老師們在學校期間也給了我很大的幫助。因此我的成績才慢慢好起來。 也正是懷著這樣一種感恩，感謝朋友、老師、同學們的幫助，兩年前我開通了復旦數學學習平臺（當時是以我的名字命名的），開始陸陸續(xù)續(xù)撰寫學習資料，收集往年試卷。大三我加入了數院大神答疑小組，大四的時候決定建成一個集線上答疑和學習推送于一體的平臺，在學院支持下開通了微信平臺的答疑，推送寫作范圍也從針對數學系拓展到了高等數學、線性代數、概統(tǒng)這樣的數學通識課程。 而畢業(yè)后，我將成為一名選調生投入基層工作。告別了數學，告別了復旦，走向社會的廣闊天地。還希望大家能夠把這樣一個平臺繼續(xù)做下去，在我們離開復旦之后。也希望大家如果學有余力也能結合專業(yè)所長做一些這樣的學習推送。長路漫漫，愿和大家一起努力！ 2017年6月21日 復旦數學學習平臺 線上答疑 學習資料 復旦大學數學科學學院團學聯(lián) 在這里，看到數院人的一切。 |
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