參考書目

[1]陳恕行.現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論(第二版).北京:科學(xué)出版社,2018.

唯一性與穩(wěn)定性

Holmgren定理

1901年Holmgren討論了具有解析系數(shù)的線性方程組的情形,證明了在更廣函數(shù)類中初值問題的唯一性.基本思想是利用對偶問題的存在性證明原始問題解的唯一性.

引理1 設(shè)線性齊次一階偏微分方程組的Cauchy問題

中,系數(shù)以及初值都是所考察區(qū)域中的解析函數(shù).又的冪級數(shù)展開式對變元的一切值收斂,則解的冪級數(shù)展開式收斂半徑與初值的特定形式無關(guān).

定理1(Holmgren) 設(shè)在原點的鄰域中給定一個具有解析系數(shù)的一階線性方程組

考察其滿足的初始條件

定理2(初始條件在解析曲面上) 設(shè)一階偏微分方程組

的系數(shù)均為階方陣,其元素在的鄰域內(nèi)解析的函數(shù). 為過點的解析曲面,在點非特征.在上給出了初始條件,則在的某一鄰域中,上述Cauchy問題的解是唯一的.

Holmgren定理的應(yīng)用

對于方程組

而言,若對任意實向量,都有

定理3 若在連通區(qū)域中具有解析系數(shù)的線性偏微分方程組是橢圓型的,在中給出了方程組的兩個解,則若此兩解在一點近旁恒同,則在整個區(qū)域也必恒同.

事實上,一個復(fù)解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Laplace方程,它也是一個橢圓型方程,故該定理可以視為解析函數(shù)的唯一延拓定理的推廣.

穩(wěn)定性

例(Hadamard) 考慮滿足

初始條件的Cauchy問題.該問題有解

又由Holmgren定理可知這個解析解是唯一的,但其不具有穩(wěn)定性.事實上

這個例子說明,對于Laplace方程,初始條件的微小誤差將引起解的很大改變.這種現(xiàn)象自然是我們所不希望產(chǎn)生的.因為Laplace方程或其他許多偏微分方程往往是一些物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示形式,定解條件就是某種物理現(xiàn)象存在的條件,定解條件的獲得往往需要通過測量或數(shù)值計算得到,它很可能是帶有某種誤差的.如果初始條件的微小誤差會引起解的很大改變,那么,即使我們知道了問題的解是存在唯一的,甚至已經(jīng)用某些方法得到了這個解,仍然很難說這個解能真實地反映所考察的物理現(xiàn)象.以上的事實促使我們引入穩(wěn)定性的概念.如果一個偏微分方程(組),它的某個定解問題存在唯一的解,而且在定解條件中原始資料變化微小時,解也僅作微小的變化,這時我們稱該定解問題為穩(wěn)定的.

假設(shè)出現(xiàn)在定解條件中作為初始資料的函數(shù)為,它可能為一個函數(shù),也可能為幾個函數(shù).我們將它看成某個函數(shù)空間中的元素,定解問題的解也可看成另一個函數(shù)空間中的元素,則從求得就是空間到空間的一個映射.現(xiàn)如果我們在空間與空間中分別規(guī)定了某種拓撲結(jié)構(gòu),如果按這樣的拓撲結(jié)構(gòu)映射是連續(xù)的,就稱原定解問題是穩(wěn)定的.此時,若有序列使,則必有.

由此可見,穩(wěn)定性的概念依賴于初始資料空間和解空間U中拓撲的選擇怎樣的選擇是恰當(dāng)?shù)?/span>,要視具體問題而定,不能一概而論.在許多定解問題的討論中,常取為連續(xù)函數(shù)空間,函數(shù)本身及其直至階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的函數(shù)空間 , Sobolev空間等.前面我們指出Laplace方程Cauchy問題的不穩(wěn)定性時,就是將與都視為空間來討論的.

在一般情形下,我們總認為偏微分方程(組)的合理的定解問題應(yīng)當(dāng)滿足解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性三個要求,并將存在性、唯一性、穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性. Hadamard的例子說明雖然Laplace方程的Cauchy問題有存在性、唯一性,但仍然是不適定的.