歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數(shù)的倒數(shù)和等于π^2/6，與歐拉同時代的數(shù)學家都沒能解決這個問題，所以歐拉在1734年給出這一結(jié)論時，曾引起轟動。因整個數(shù)列中沒有圓的蹤跡，結(jié)果卻出現(xiàn)了π，也很讓這個結(jié)果吸引眼球。

現(xiàn)在就來探討這個級數(shù)鮮為人知的數(shù)學魅力。

首先在不知情的情況下探討這個無窮級數(shù)是否會收斂呢？

變形：將每個數(shù)寫成兩個乘積形式然后向后移一項，如下藍色部分

發(fā)現(xiàn)：綠色部分是一樣的，藍色部分上面比下面的小

綜合得出：紅色部分的級數(shù)要比歐拉級數(shù)的和要大

聰明的你會看出：兩個數(shù)乘積等于兩個數(shù)之差

整理：

得到：

所以最終得到無窮級數(shù)的和：

所以歐拉級數(shù)是收斂的：

熱身結(jié)束了，我們怎么來證明歐拉級數(shù)準確數(shù)值呢

首先sinX=0是個三角函數(shù)方程，那么X解肯定有無窮多個，可以寫成：

學過導數(shù)的話，對sinX求一次導數(shù)，二次導數(shù)：

在X=0時得到b的值：

以此類推不斷求導，我們就計算出了sinx方程的所有系數(shù)得到：

所有的函數(shù)都可以這樣來構(gòu)造成級數(shù)的形式，一次方程，二次曲線方程都可以。

歐拉從另外一種思路構(gòu)建sinX的多項式：

sinX方程的根是：

-π到π之間含有sinX=0 方程的三個解: 0,π-π,其次用曲線來逼近正弦函數(shù)，所以多了一個系數(shù)c，最終形式為：

只要逼近曲線在sin函數(shù)所在的0點斜率相同，就能完全吻合：觀察不難得到C值：

整理得到

以此類推得到以根的形式表示sinX的多項式

那么sinX有兩種表達式的形式，而且是相等的

我們將根的多項式一項一項乘下去發(fā)現(xiàn)：

得到：

這就是歐拉級數(shù)的原理

比較X^5的系數(shù)你就會得到：

繼續(xù)觀察就會得到著名的沃利斯級數(shù)：

沃利斯級數(shù)中：分子是全體偶數(shù)平方的乘積，分母是全體奇數(shù)平方的乘積，所以非常神奇。

這都是歐拉級數(shù)原理中所展現(xiàn)出來的數(shù)學魅力。