【原】恒定磁場的微分方程

cosmos2062 2025-04-25 發(fā)布于廣東

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利用電流密度矢量的概念改寫畢奧—薩伐爾定律，并利用矢量場論公式將磁通連續(xù)定理和安培環(huán)路定理改寫成恒定磁場滿足的偏微分方程。

我們已經(jīng)將載流導(dǎo)線中的電流元矢量用電流密度矢量的形式做了改寫，以便可以用到分布于空間中的電流系統(tǒng)。有了電流元的一般表達(dá)式，就可以根據(jù)畢奧—薩伐爾定律寫出一個電流元激發(fā)的磁場的空間分布。

在普通物理學(xué)的電磁學(xué)課程中，我們將一個電流元激發(fā)的磁感應(yīng)強度寫成這樣： $\begin{equation}\notag {\rm d}\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I{\rm d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3} \end{equation}$ 其中各個物理量的含義如下左圖所示。與靜電學(xué)中的庫侖定律相似，寫成這個樣子的畢奧—薩伐爾定律對一般的理論研究和復(fù)雜電流系統(tǒng)的計算并不方便，需要將它改寫成一種標(biāo)準(zhǔn)形式。

假定在真空中某個無窮小區(qū)域內(nèi)有確定的電流分布，該無窮小區(qū)域的位置矢量用 $\vec{r}'$ 標(biāo)記，體積為 ${\rm d}\tau'$ ，流過該體元的電流密度矢量為 $\vec{j}(\vec{r}')$ ，則此電流元在場點 $\vec{r}$ 處激發(fā)的磁感應(yīng)強度 $\begin{equation}\notag {\rm d}\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{j}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}{\rm d}\tau' \end{equation}$ 其中各個物理量的含義如上右圖所示，請大家參照《靜電力的數(shù)學(xué)表述》和《靜電場的數(shù)學(xué)表述》這兩篇文章進(jìn)行解說。

當(dāng)然，單個電流元并不能穩(wěn)定地存在，實際的磁場必定是許多電流元的總效果。磁場對電流的依賴關(guān)系滿足疊加原理： $\begin{equation}\notag \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}{\rm d}\tau' \end{equation}$ 積分遍歷整個電流分布區(qū)。顯然，一個穩(wěn)定的電流系統(tǒng)將在空間中激發(fā)一個恒定的磁場。

由于電流就是運動的電荷，因此，當(dāng)有電流分布的空間區(qū)域中存在外磁場時，這些電流也會受到磁力的作用。磁場對單位體積中的運動電荷施加的磁力被稱為磁場對電流的力密度： $\begin{equation}\notag\vec{f}=\vec{j}\times\vec{B}\end{equation}$ 與靜電場的情況類似，并非所有靜磁問題都能預(yù)先知道電流的分布。這就需要找到恒定磁場所滿足的微分方程。這些方程可以利用磁通連續(xù)定理和安培環(huán)路定理通過矢量場論的計算推導(dǎo)出來。

磁通連續(xù)定理說，恒定磁場通過任意封閉曲面的磁通量恒等于零： $\begin{equation}\notag \oint\limits_S\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{\sigma}=0 \end{equation}$ 利用奧—高公式可以將上述積分形式的方程化為微分方程： $\begin{equation}\notag \nabla\cdot\vec{B}=0 \end{equation}$ 這就是恒定磁場滿足的其中一個偏微分方程，它顯示，恒定磁場是無源場，與靜電場不一樣。

從恒定磁場的無源特性可以推斷，它的場線必定是閉合的，由此導(dǎo)致恒定磁場的旋度必定與靜電場的旋度也不一樣。事實上，利用安培環(huán)路定理和斯托克斯公式就可以導(dǎo)出恒定磁場的旋度滿足的微分方程。

安培環(huán)路定理說，恒定磁場沿任意閉合曲線的環(huán)路積分只與曲線所圍的總電流有關(guān)： $\begin{equation}\notag \oint\limits_L\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{r}=\mu_0\int\limits_S\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma} \end{equation}$ 其中面積分中的積分曲面以環(huán)路積分中的積分環(huán)路為邊界。利用斯托克斯公式可以將安培環(huán)路定理化為微分方程： $\begin{equation}\notag \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j} \end{equation}$ 這就是恒定磁場滿足的另一個偏微分方程。