它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

按照安培環(huán)路定理 ，環(huán)路所包圍電流之正負(fù)應(yīng)服從右手螺旋法則。安培環(huán)路定理應(yīng)用如果閉合路徑l包圍著兩個(gè)流向相反的電流I1和I2( 如左圖所示)，

這在下式中，

按圖中選定的閉合路徑l 的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環(huán)流為

如果閉合路徑l包圍的電流等值反向( 如右圖所示)，或者環(huán)路中并沒有包圍電流，則:

安培環(huán)路定理的證明 (嚴(yán)格證明,大圖見參考資料的鏈接)

以長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場為例，證明安培環(huán)路定理的正確性。安培環(huán)路定理應(yīng)用在長直載流導(dǎo)線的周圍作三個(gè)不同位置，且不同形狀的環(huán)路，可以證明對磁場中這三個(gè)環(huán)路，安培環(huán)路定理均成立。

在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，以載流導(dǎo)線為圓心作一條半徑為r 的圓形環(huán)路l，

則在這圓周上任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度H的大小為

其方向與圓周相切.取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，取線元矢量dl，則H與dl間的夾角 ，H沿這一環(huán)路 l 的環(huán)流為

式中積分 是環(huán)路的周長。

于是上式可寫成為

從上式看到，H沿此圓形環(huán)路的環(huán)流 只與閉合環(huán)路所包圍的電流I 有關(guān)，而與環(huán)路的大小、形狀無關(guān)。

在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，環(huán)繞載流直導(dǎo)線作一條如下圖所示的任意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。

在環(huán)路上任取一段線元dl，載流直導(dǎo)線在線元dl處的磁感強(qiáng)度B大小為

H與dl的夾角為 ，則H對dl的線積分為

直導(dǎo)線中心向線元的張角為 ，則有 ，所以有

可見，H對dl的線積分與到直導(dǎo)線的距離無關(guān)。

那么B對整個(gè)環(huán)路的環(huán)流值為

上述計(jì)算再次說明H的環(huán)流值 與環(huán)路的大小、形狀無關(guān)。

在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，在載流直導(dǎo)線的外側(cè)作一條如下圖所示的任安培環(huán)路定理應(yīng)用意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。

以載流直導(dǎo)線為圓心向環(huán)路作兩條夾角為 的射線，在環(huán)路上截取兩個(gè)線元 和 。 和 距直導(dǎo)線圓心的距離分別為 和 ，直導(dǎo)線在兩個(gè)線元處的磁感強(qiáng)度分別為 和 。從上圖可以看出 ，而 。利用安培環(huán)路定理的證明之二的結(jié)論可知

所以有

從載流直導(dǎo)線中心O出發(fā)，可以作許多條射線，將環(huán)路分割成許多成對的線元，磁感強(qiáng)度對每對線元的標(biāo)量積之和，都有上式的結(jié)果，故 即環(huán)路不包圍電流時(shí)，B的環(huán)流值為零。

安培環(huán)路定理反映了磁場的基本規(guī)律。和靜電場的環(huán)路定理 相比較，穩(wěn)恒磁場中B 的環(huán)流 ，說明穩(wěn)恒磁場的性質(zhì)和靜電場不同，靜電場是保守場，穩(wěn)恒磁場是非保守場。

利用安培環(huán)路定理求磁場的前提條件:如果在某個(gè)載流導(dǎo)體的穩(wěn)恒磁場中，安培環(huán)路定理應(yīng)用可以找到一條閉合環(huán)路l，該環(huán)路上的磁感強(qiáng)度B大小處處相等，B的方向和環(huán)路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環(huán)路定理求磁感強(qiáng)度B的問題，就轉(zhuǎn)化為求環(huán)路長度，以及求環(huán)路所包圍的電流代數(shù)和的問題，即

利用安培環(huán)路定理求磁場的適用范圍:在磁場中能否找到上述的環(huán)路，取決于該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源于電流分布的對稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場，才能夠利用安培環(huán)路定理求解。

1.電流的分布具有無限長軸對稱性

2.電流的分布具有無限大面對稱性

3.各種圓環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)

利用安培環(huán)路定理求磁場的基本步驟

1.首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析;

2.根據(jù)磁場的對稱性和特征，選擇適當(dāng)形狀的環(huán)路;

3.利用公式(1)求磁感強(qiáng)度。

長直載流螺線管內(nèi)的磁場

簡介

用磁場疊加原理作對稱性分析:可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個(gè)共軸安培環(huán)路定理應(yīng)用的載流圓環(huán)構(gòu)成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發(fā)磁場的疊加結(jié)果。在長直載流螺線管的中部任選一點(diǎn)P，在P點(diǎn)兩側(cè)對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分布可知，二者磁場疊加的結(jié)果，磁感強(qiáng)度B的方向與螺線管的軸線方向平行。

由于長直螺線管可以看成無限長，因此在P點(diǎn)兩側(cè)可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點(diǎn)的磁場迭加結(jié)果與上圖相似。由于P點(diǎn)是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內(nèi)各點(diǎn)磁場的方向均沿軸線方向。磁場分布如下圖所示。

從上圖可以看出，在管內(nèi)的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向;而在管的中央部分外側(cè)，磁場很微弱，可忽略不計(jì)，即H=0.

利用安培環(huán)路定理可以解得 螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度為

具體解的過程

根據(jù)長直載流螺線管中段的磁場分布特征，可以選擇如下圖所示的矩形環(huán)路及繞行方向。

則環(huán)路ab段的dl方向與磁場B的方向一致，即 ;環(huán)路bc段和da段的dl方向與磁場B的方向垂直，即B·dl =0;環(huán)路cd段上的 。于是，沿此閉合路徑l，磁感強(qiáng)度B的環(huán)流為:

因?yàn)閍b段的磁場是均勻的，可以從積分號中提出，則上式成為:

設(shè)螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為nI，根據(jù)右手螺旋法則，其方向是正的。按安培環(huán)路定理，有:

注意對于繞得不緊的載流螺線管，其磁場的分布就不是如此。

對于繞得不緊的均勻載流螺線管，由下圖可以看到，在靠近導(dǎo)線處的磁場和一條長直載流導(dǎo)線附近的磁場很相似，磁感線近似為圍繞導(dǎo)線的一些同心圓。管內(nèi)、外的磁場是不均勻的，僅在螺線管的軸線附近，磁感強(qiáng)度B的方向近乎與軸線平行。

均勻密繞螺繞環(huán)的磁場

簡介

對于如圖所示的均勻密繞螺繞環(huán)，由于整個(gè)電流的分布具有中心軸對稱性，因而磁場的分布也應(yīng)具有軸對稱性，因此，利用安培環(huán)路定理可以解得均勻密繞螺繞環(huán)內(nèi)部的磁場分布為

具體解的過程

將通有電流I 的矩形螺繞環(huán)沿直徑切開，其剖面圖如下所示。

在環(huán)內(nèi)作一個(gè)半徑為r 的環(huán)路，繞行方向如圖所示。環(huán)路上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等，方向由右手螺旋法可知:與環(huán)路繞行方向一致。磁感強(qiáng)度B沿此環(huán)路的環(huán)流為

環(huán)路內(nèi)包圍電流的代數(shù)和為 。根據(jù)安培環(huán)路定理，有:

對均勻密繞螺繞環(huán)，環(huán)上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中于管內(nèi)，在環(huán)的外部空間，磁感強(qiáng)度處處為零，即B =0。

如果將長直載流螺線管對接起來，就形成了圓形截面的均勻密繞細(xì)螺繞環(huán)，由安培環(huán)路定理同樣可以解得其內(nèi)部的磁場和長直載流螺線管內(nèi)部的磁場相同，仍為 。

無限大均勻載流平面的磁場

簡介

電流的分布具有無限大面對稱性的載流導(dǎo)體，包括無限大均勻載流平面和無限長的大均勻載流平板。

對無限大的載流平面產(chǎn)生的磁場，同樣可以進(jìn)行對稱性分析，

如上右圖所示，可以將無限大載流平面的磁場看成是由無窮多個(gè)平行的長直載流導(dǎo)線的磁場疊加而成。每一對對稱的直導(dǎo)線在P點(diǎn)的磁場疊加的結(jié)果是:垂直于磁場的分量都相互抵消，只剩下平行于磁場的分量，故載流平面產(chǎn)生的磁場，其方向與平面平行，與平面電流成右手螺旋方向。

利用安培環(huán)路定理解得磁場的分布。如果無限大載流平面上的電流密度是j，那么它在周圍空間產(chǎn)生的磁場是一個(gè)均勻磁場，

其表達(dá)式是

具體解的過程

根據(jù)無限大載流平面磁場的分布，可以選擇如圖所示的矩形環(huán)路及繞行方向。

環(huán)路上ab 段和cd 段上的 方向與磁場B 的方向一致，即 ;

環(huán)路bc段和da 段的 方向與磁場B的方向垂直，即 。

于是，沿此閉合路徑l，磁感強(qiáng)度B 的環(huán)流為:

環(huán)路所包圍的電流為 ，于是根據(jù)安培環(huán)路定理有: