此“○”非彼“0”

——零的起源與傳播

“0”是我們數(shù)學中經(jīng)常見到的符號，在實際生活中，我們還經(jīng)?？吹椒?#8220;○”，如二○○四年?，F(xiàn)在看來，數(shù)學中的“0”與現(xiàn)實中的“○”好像是一樣的，如2004年與二○○四年表示的同一個意思，讀音也是一樣的，實際上卻有著差別，特別是這兩個符號創(chuàng)造的初期，其意義有很大的差異。

數(shù)碼的發(fā)明和使用已有幾千年的歷史，現(xiàn)在國際上通用的阿拉伯數(shù)碼0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，實際上來源于印度。“0”開始出現(xiàn)于公元九世紀末。這套數(shù)碼經(jīng)翻譯后傳入阿拉伯。又于十三世紀從阿拉伯傳入歐洲，因而一直叫阿拉伯數(shù)字。從數(shù)的發(fā)展歷史看，最初的數(shù)碼中沒有零，零的使用要晚許多年。

零的創(chuàng)造與十進位值制的使用是分不開的。所謂位值制，就是一個數(shù)字表示什么數(shù)，要看它所在的位置而定。例如52和35，52中的5表示50，而35中的5只表示5。由于位置不同，這兩個5代表的數(shù)卻不同。雖然埃及人很早就使用十進位制，但由于不懂位值制，所以用了許多特殊的符號來記數(shù)；馬雅人和巴比倫人都懂位值制，但分別用的是二十進制和六十進制；中國自古（大約公元前五世紀以后）以來就使用算籌來記數(shù)，早就使用十進位值制記數(shù)法，是世界最早確立完善的十進位值制的國家。早在商、周時期，我國已經(jīng)采用了位值制，在商代的甲骨文中，已有六百又五十又九（即659）等數(shù)字出現(xiàn)，明確使用了十進位值制記數(shù)法。我國的十進位值制記數(shù)法和籌算法在二千多年前就傳入了印度。六世紀后，印度的土盤算術(shù)在進行四則運算時的方法都和中國籌算相仿。我國和西方的數(shù)學史家還驚奇的發(fā)現(xiàn)，印度天文學家在五世紀后的普通分數(shù)記法竟然和中國籌算中的分數(shù)記法完全相同。

我國在運用籌算演算時，零是用“空位”來表示的，巧妙之處在于算籌記數(shù)法有縱橫兩種形式，記數(shù)時自個位用縱式開始，依位縱橫相間，因此各個數(shù)位上零的數(shù)字也能表示出來，不會被誤會。二十世紀初在敦煌千佛洞發(fā)現(xiàn)唐代的《立成算經(jīng)》，里面可以看到算籌記數(shù)的最早實物，如“208”記作 ，中間空一位，208說成“二百八”，而不是二百零八，這說明當時還沒有用“零”字來表示空位。由于我國的記數(shù)符號和籌算時可以不用“零”的符號，因此零的符號晚于印度，但這里的空位，就是產(chǎn)生0的萌芽。在印度，已發(fā)現(xiàn)的關(guān)于零的較早記載約在公元870年或876年。在此之前，印度天文學家瞿曇悉達在我國唐朝任太史一職時，曾于開元六年（公元718年）起編寫《開元占經(jīng)》一書，書中介紹了天竺的《九執(zhí)歷》，其中提到：“九數(shù)至十，進入前位。每空位處，恒安一點”。這說明了印度在公元八世紀時已經(jīng)開始使用點來表示“零”了。然而，根據(jù)英國科學家李約瑟的考證，最早出現(xiàn)“點零”號的地方是在中印文化區(qū)的交界處。在印度把“點零”叫做“空”，直到后來才變成“零”。在印度最早記載零的算法的一本書《計算精華》中，作者還使用了《九章算術(shù)》中誤差較大的弓形面積近似公式S= (a+b)h。

盡管我國唐代的《開元占經(jīng)》已采用了點表示“零”，但是直到十三世紀，我國才用圓圈“○”表示數(shù)字的空位。在這之前，是用“□”號表示脫落的文字，后來為了書寫的方便，把這個“□”號改成了“○”號。“○”號最早見于公元1180年的金朝《大明歷》，到宋元時期，數(shù)學家大都普遍采用記號“○”表示“0”，從而使算碼成為一套完備的數(shù)學書寫系統(tǒng)，公元1247年時的《數(shù)書九章》中就大量使用“○”號，1248年，數(shù)學家李冶撰《測圓海鏡》，在這個著作中更多地使用“○”表示“0”。正是由于十進位值制的使用，才產(chǎn)生了零，反過來，由于零的使用，才有了完整的位值制記數(shù)法。

如果把我國古代歷法中的“初”字、“本”字等表示“開始”的字看作為“零”是數(shù)的開始的話，那么“本”、“初”等字就是更早的“零”的代號了。

零產(chǎn)生于中印文化區(qū)，而中國首先發(fā)明了十進位值制，所以中國數(shù)學是“零的父親”。

【附錄】

一、【算籌與籌算簡介】

在十四世紀以前，我國的計算工具一直是一種細長的小棍棍，稱為算籌（也稱籌或策），它是用竹子、木頭或骨頭制成的。

至遲在春秋時期已經(jīng)有了使用算籌的記載，因為老子《道德經(jīng)》已有“善計者不用籌策”的說法。《漢書·律歷志》上說：“其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。”后來的算籌形狀、粗細和長短都有改變，有三棱形、四棱形等。

算籌的實物常在湖南、江蘇、河北、陜西等省的出土文物中發(fā)現(xiàn)。1954年在長沙左家山戰(zhàn)國晚期楚墓中曾出土40根12厘米長的算籌。1971年8月中旬，在陜西千陽縣城東北古墓中，發(fā)現(xiàn)西漢宣帝時的一個“算袋”，里面裝有骨質(zhì)算籌30多根，大小、長短與《漢書·律歷志》記載基本相同。1980年在石家莊市西南郊出土的一批東漢早期骨質(zhì)算籌，均為方柱形，最長者8.9厘米，最短者7.8厘米，方形邊長約0.4厘米。

算籌按縱式和橫式兩種方式表示一到九的數(shù)：

縱式：

橫式：

當位數(shù)不止一位時，自個位起縱式與橫式交替使用，遇到是零時則用空位來表示，正如《孫子算經(jīng)》中所說：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬相當。”例如1992表示成：2048則表示成：

。

我國古代用紅色的算籌表示正數(shù)，用黑色的算籌表示負數(shù)，叫做：“正算赤、負算黑”，或者是以截面為三角形的算籌表示正數(shù)，截面為方形的算籌表示負數(shù)，如果都是用同一種算籌，則將負數(shù)斜放。

以算籌為工具，可以進行加、減、乘、除四則運算，也可以配合一些方法進行乘方、開方等運算，稱為籌算。計算方法和程序基本上和現(xiàn)今的珠算相同，實際上珠算是籌算的改進和發(fā)展。

在珠算出現(xiàn)之前，我國一直是采用籌算的。算籌的發(fā)明和廣泛使用，對我國古代數(shù)學的發(fā)展有巨大而深遠的影響。在籌算的基礎(chǔ)上，我國逐步形成了具有獨特風格的古代數(shù)學體系，精于計算，是這一數(shù)學體系的一大特征。我國古代把數(shù)學稱為“算術(shù)”，是很能反映這一特色的。當然，古代“算術(shù)”比我們今天說的“算術(shù)”的涵意要豐富得多。

二、【李冶簡介】

李冶（1192年～1279年），字仁卿，號敬齋，金元間真定欒城（今河北省欒城縣）人。金正大七年，38歲的他去洛陽應試，考中后曾任鈞州（今河南省禹縣）知事。1232年，窩闊臺的軍隊攻占了鈞州，李冶改裝離去。兩年后，金朝滅亡，他便隱居于今山西北部的桐川。在這里，他全神貫注于數(shù)學研究工作，1248年完成了他的數(shù)學名著《測圓海鏡》十二卷。1251年，他定居于元氏（今河北省元氏縣），在封龍山下，收徒講學。1259年，他把前人的數(shù)學研究成果收集起來，參以己見寫成《益古演段》三卷。

李冶的科學工作，不僅勤勤懇懇，而且善于批判前人的錯誤觀點，反映出他有樸素的唯物主義思想。李冶還認為，數(shù)的奧妙是無窮的，然而數(shù)是可以認識的，說“數(shù)為不可窮”那就不對了。

李冶對前人列方程的方法進行分析比較，做了一番總結(jié)，加以簡化，發(fā)展為簡便的天元術(shù)，這是他在數(shù)學中的一項貢獻。天元術(shù)是一種半符號式代數(shù)，是近代符號代數(shù)的前身。十六世紀，歐洲也出現(xiàn)了類似于我國天元術(shù)的代數(shù)學，后來才發(fā)展成現(xiàn)在的符號代數(shù)。

李冶在《測圓海鏡》中提出了六七百個幾何命題，其中有一百七十多個屬于勾股容圓問題，是“洞淵九容之說”的發(fā)展，把趙君卿的研究向前推進了一大步。李冶的研究很精彩，可以說是對我國古代關(guān)于直角三角形與圓的知識的全面研究和總結(jié)，此后再很少有實質(zhì)性的發(fā)展了。

《益古演段》一共有64道題，大都是各種平面圖形間的面積關(guān)系，解決方法往往是通過天元術(shù)和等積變換，即“演段”的途徑得到。

李冶所研究的數(shù)學問題，大多數(shù)都歸結(jié)為解高次方程。解高次方程的方法，是我國宋元時代數(shù)學最大成就之一。李冶在這方面又有新的進展，他把前人所研究的只限于常數(shù)項是負數(shù)的情形推廣到了正數(shù)情形。這也是李冶在數(shù)學方面的一項成就。他用代數(shù)方法自如地解幾何問題，而又善于把數(shù)學問題通過圖形直觀地討論。幾何代數(shù)結(jié)合起來，解決問題更加方便，是為我國古代數(shù)學的一個特點和優(yōu)點。

李治一生著述很多，除了兩種數(shù)學著作外，還有《敬齋古今黃主》四十卷，《泛說》四十卷，《文集》四十卷，《璧書叢削》二十卷，后三書都已失傳。