代數(shù)是搞清楚世界上數(shù)量關系的智力工具?！獞烟睾＃ˋlfred North Whitehead）

新的歐洲數(shù)學的第一個重大進展是在算術和代數(shù)方面。印度和阿拉伯人的工作把實用的算術計算放在數(shù)學的首位，并把代數(shù)建立在算術的而不是幾何的基礎上。他們的工作又吸引人們去注意解方程的問題。

在16世紀前半葉，歐洲人對待算術和代數(shù)的態(tài)度與精神與阿拉伯人無異。到這個世紀中葉，歐洲文明的實際生活和科學工作的需要，促使他們推進算術和代數(shù)，這些需要包括：航海、地理探險、天文學、銀行業(yè)務和商務活動，以及工匠的技術工作。除了這些應用外，對代數(shù)還有一種完全新穎的應用——表示曲線——引起了大量的研究。由此，代數(shù)的進展加速了。

一、數(shù)系和算術

到1500年左右，零已被接受作為一個數(shù)，無理數(shù)也用得更隨便而廣泛。例如韋達考察單位圓的內接正四、八、十六......邊形，求出π的那個式子：

雖然人們對于用無理數(shù)計算很隨便，但對于無理數(shù)是否確實是數(shù)仍不放心。施蒂費爾（Michael Stifel，1486？-1567）在他的重要著作《整數(shù)的算術》（Arithmetica Integra，1544）中討論了用10進制小數(shù)的記號表達無理數(shù)的問題。

在證明幾何圖形的問題中，由于當有理數(shù)不行而代之以無理數(shù)時，就能完全證出有理數(shù)所不能證明的結果......因此我們感到不能不承認它們確實是數(shù)，迫使我們承認的是由于使用它們而得出的結果——那是我們認為真實、可靠而且恒定的結果。但從另一方面講，別的考慮卻迫使我們不承認無理數(shù)是什么數(shù)。例如，當我們想把它們數(shù)出來時......就發(fā)現(xiàn)它們無止境地往遠跑，因而沒有一個無理數(shù)實質上是能被我們準確掌握住的......而本身缺乏準確性的東西就不能稱其為真正的數(shù)......所以，正如無窮大的數(shù)并非數(shù)一樣，無理數(shù)也不是一個真正的數(shù)，而是隱藏在一種無窮迷霧后面的東西。

他接著論證說實數(shù)不外乎整數(shù)或分數(shù)；無理數(shù)顯然既非整數(shù)又非分數(shù)，因而不是實數(shù)。一個世紀之后，帕斯卡和巴羅（Isaac Barrow）還說，像根號3這樣的數(shù)只能作為幾何上的量來理解；無理數(shù)僅僅是記號，它們脫離連續(xù)的幾何量便不能存在，而對無理數(shù)進行運算，要以歐多克索斯關于量的理論來作邏輯依據(jù)。牛頓在他的《普遍的算術》（Arithmetica Universalis，1707）中也持這一觀點。

其他一些人則肯定說無理數(shù)是獨立存在的東西。斯蒂文（1548-1620）承認無理數(shù)是數(shù)，并用有理數(shù)來不斷逼近它們。沃利斯在《代數(shù)》（Algebra，1685）中也承認無理數(shù)是地地道道的數(shù)。笛卡爾在《指導思想的法則》（Rules for the Direction of the Mind，約1628）中承認無理數(shù)是能夠代表連續(xù)量的抽象的數(shù)。

荷蘭數(shù)學家斯蒂文

負數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到歐洲，但16世紀和17世紀的大多數(shù)數(shù)學家并不承認它們是數(shù)，或者即使承認了，也不認為它們是方程的根。15世紀的許凱（Nicolas Chuquet，1445？-1500？）和16世紀的施蒂費爾（1553年）都把負數(shù)說成是荒謬的數(shù)。卡爾達諾把負數(shù)作為方程的根，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負根稱作是虛有的，而正根才算是實的根。韋達完全不要負數(shù)。笛卡爾只是部分地接受了負數(shù)。他把方程的負根稱作假根，以為它們代表比無還少的數(shù)。但他指出，對于一個給定的方程，可以得出另一個方程，使它的根比原方程的根大任何一個數(shù)量。這樣，有負根的一個方程可以化成有正根的方程。既然我們可以把假根化成真根，所以笛卡爾愿意接受負數(shù)。帕斯卡則認為從0減去4純粹是胡說。

最早接受負數(shù)的代數(shù)學者之一是哈利奧特（Thomas Harriot，1560-1621），他偶爾把負數(shù)單獨寫在方程的一邊，但他并不接受負根。邦貝利（Raphael Bombelli，16世紀）給出了負數(shù)的明確定義。斯蒂文在方程里用了正的和負的系數(shù)，并接受負根。吉拉德（Albert Girard，1595-1632）在他的《代數(shù)中的新發(fā)明》（L`Invention nouvelle en l`algebre，1629）中把負數(shù)與正數(shù)等量齊觀，并且甚至在二次方程的兩根都是負數(shù)時也給出兩個根。吉拉德和哈利奧特都用減號表示減法運算和負數(shù)。

英國數(shù)學家哈利奧特

總的來說，在16世紀和17世紀，并沒有多少數(shù)學家對于使用負數(shù)心安理得或者承認它是數(shù)，更談不上承認它們可以作為方程的真實的根。當時人對負數(shù)有一種奇怪的信念。例如沃利斯認為負數(shù)大于無窮大而并非小于零。他在《無窮大的算術》（Arithmetica Infinitorum，1655）中論證說：由于比a/0在a為正數(shù)時是無窮大，故當分母變?yōu)樨摂?shù)時，這個比必定大于無窮大。

歐洲人還沒有完全克服無理數(shù)和負數(shù)帶來的困難時，就又無意地陷入了復數(shù)的問題。他們在用配方法解二次方程時碰到要把求平方根的算術運算推廣到任何數(shù)上，得出了這些新的數(shù)。例如，卡爾達諾在《重要的藝術》（Ars Magna，1545）的第37章中列出方程x（10-x）=40。他求得根為5+和5-，然后說“不管會受到多大的良心責備”，把5+和5-相乘，得乘積為25-（-15）或40。于是他說：“算術就是這樣神妙地研究下去的，它的目標，正如常言所說，是又精致又不中用的?！笨栠_諾在解三次方程時要進一步與復數(shù)打交道。

邦貝利在解三次方程時也考慮了復數(shù)，并且?guī)缀跸瘳F(xiàn)代形式那樣規(guī)定了復數(shù)的四種運算。吉拉德則承認復數(shù)至少可作為方程的形式解。他認為復數(shù)根有三方面用處——能肯定一般法則；有用；除此之外沒有別的解。笛卡爾也摒棄復根，并造出虛數(shù)這個名稱。他在《幾何La Geometrie》中說：“真的和假的（負的）根都不總是實在的，它們有時是虛的?！彼恼擖c是：負根至少可以在它們所出現(xiàn)的方程變換為只有正根的方程后弄成“實”的，但這對復根卻辦不到。所以這些根不是實的而是虛的，它們并不是數(shù)。

甚至牛頓也不認為復根是有意義的，這很可能是由于它們缺乏物理意義。事實上，他在《普遍的算術》中說過：“正是方程的根常應出現(xiàn)為不可能的情況，才不致使不可能的解的問題顯得像是可以解的樣子?！币簿褪钦f，在物理上和幾何上沒有實解的那些問題，應該具有復根。

對復數(shù)沒有清楚認識的這種情況，反映在常被人引述的萊布尼茨的一段話中：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的現(xiàn)實，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的-1的平方根?！比R布尼茨雖在形式運算中使用復數(shù)，但并不理解復數(shù)的性質。

在16,17世紀中，實數(shù)的運算步驟有了改進和推廣。斯蒂文在他的《十進制算術》《La Disme，1585）中提倡用10進制小數(shù)來書寫分數(shù)并對它們進行運算，而反對用60進制。韋達則早就采用了10進制，還改進并推廣了求平方根和立方根的方法。

這段時期的另一項進展是連分數(shù)。邦貝利在他的《代數(shù)》（Algebra，1572）里第一個用連分數(shù)來逼近平方根。為求根號2的近似值，他寫出

由此得

不斷把y值的式子代入，得

英國數(shù)學家沃利斯在他的《無窮大的算術》（1655）中把4 /π表為無窮乘積

在該書中他又說布龍克爾（William Brouncker）勛爵（1620—1684）——皇家學會的第一任會長—曾把這乘積化為連分數(shù)4 /π = 1 + 1 /(2 +) 9 /(2 +) 25 /(2 +)49 /(2 +) …。

沃利斯在《數(shù)學著作集》（Opera Mathematica I，1695）中引入了連分數(shù)這一名稱，給出了計算連分數(shù)的收斂子的一般法則。這就是，若pn /qn是連分數(shù)b1 /(a1 +) b2 /(a2 +) b3/(a3 +) …的第n個收斂子，則pn /qn = (an pn-1 + bnpn-2) /(an qn-1 +bn qn-2)。關于pn /qn是否收斂于連分數(shù)所表示的那個數(shù)，當時還沒有得到明確的結果。

英國數(shù)學家沃利斯

16和17世紀算術的最大改進是對數(shù)的發(fā)明。施蒂費爾已經(jīng)認識到對數(shù)的基本思想。他在《整數(shù)的算術》里指出幾何數(shù)列1, r, r2, r3, …的各項與其指數(shù)所形成的算術數(shù)列0, 1, 2, 3, …的各項互相對應。這一事實也由許凱在《數(shù)的科學三部曲》（Le Triparty en la science des nombres，1484）中指出過。施蒂費爾還把兩個數(shù)列間的這種聯(lián)系推廣到負指數(shù)和分數(shù)指數(shù)的情形。但施蒂費爾并沒有利用兩數(shù)列間的這一聯(lián)系來引入對數(shù)。

蘇格蘭人納皮爾（John Napier，1550—1617）在1594年左右研究出對數(shù)的時候，就受了這種對應關系的啟發(fā)。納皮爾關心的是簡化天文問題中球面三角的計算工作。他曾把研究的初步結果送交第谷·布拉赫征求他的贊許。

納皮爾在《論述對數(shù)的奇跡》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio，1614）以及他死后出版的遺作《做出對數(shù)的奇跡》（Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio，1619）中解釋了他的想法?！皩?shù)”（logarithm）這個術語是納皮爾創(chuàng)造的，意即“比的數(shù)”。“比”是指數(shù)列的公比。

蘇格蘭數(shù)學家納皮爾

當時有一位數(shù)學和天文學教授布里格斯（Henry Briggs，1561-1631）在1615年向納皮爾建議取10為底數(shù)，他為靠得很近的數(shù)算出了一張對數(shù)表，即現(xiàn)今常用普通對數(shù)表的前身。

比爾奇（Joost Bürgi，1552—1632）是瑞士的一個鐘表和儀器匠人，是開普勒在布拉格的一名助手，他也曾有志于簡化天文計算。他在1600年左右未悉納皮爾的工作而獨立發(fā)明了對數(shù)——同樣受施蒂費爾的啟發(fā)，但他的著作《進數(shù)表》（Progress Tabulen）直到1620年才發(fā)表。

在17世紀初期，人們并不把對數(shù)定義為冪指數(shù)，因為那時還沒有分數(shù)指數(shù)和無理數(shù)指數(shù)。到17世紀末有些人認識到對數(shù)可以這樣來定義，但直到1742年瓊斯（William Jones，1675—1749）在給加德納（William Gardiner）的《對數(shù)表》（Table of Logarithms）寫的序言中才第一次用這種方法作了系統(tǒng)的敘述。歐拉早就把對數(shù)定義為指數(shù)，并于1728年在其一篇未發(fā)表的手稿《遺作》（Opera Posthuma II，800—804）中引入了e作為自然對數(shù)的底。

英國數(shù)學家瓊斯（左）和瑞士數(shù)學家歐拉（右）

算術上的第二項進展（它的進一步的實現(xiàn)在近代產(chǎn)生深遠的影響）是加速算術運算的機械裝置和機器的發(fā)明。岡特（Edmund Gunter，1581—1626）利用納皮爾的對數(shù)研制出計算滑尺。奧特雷德（William Oughtred，1574—1660）制造出圓盤計算尺。1642年，帕斯卡發(fā)明了能自動從個位進到十位、從十位進到百位等的加法計算機。萊布尼茨在巴黎看到這機器后發(fā)明了能做乘法的計算機。他在1677年把他的想法告訴了倫敦的皇家學會，1710年柏林科學院發(fā)表了這種想法的書面說明。17世紀末期，莫蘭（Samuel Morland，1625—1695）又獨立地發(fā)明了一架能做加減法的機器和另一架能做乘法的機器。

法國數(shù)學家帕斯卡

在上述機器與現(xiàn)代電子計算機之間最重大的一步工作是由巴貝奇（Charles Babbage，1792—1871）做出的。他設計的“分析機”是打算先把一些指令輸入機器后，讓機器完成整個一系列的算術運算。這種運算是在蒸汽動力作用下自動進行的。他在英國政府支持下造出了演示模型。可惜這種機器的制造遠遠超出了他那個時代工程技術的能力。

英國發(fā)明家巴貝奇，計算機之父

拜倫的女兒阿達是巴貝奇的忠實幫助者，編出了世界上最早的程序，被公認為第一位程序員。她和父親一樣，都在36歲英年早逝。有一種計算機語言叫做Ada，就是以她命名的。巴貝奇也擔任過巴羅和牛頓的盧卡斯數(shù)學教授，這個職位在1980—2009年屬于霍金，目前屬于邁克爾.蓋茨（Michael Cates）。超越時代的英雄往往會在當時失敗，但他們的英名永垂不朽，他們的思想將照亮后世的星空。

二、符號體系

代數(shù)上的進步是引用了較好的符號體系，這對它本身和分析的發(fā)展比16世紀技術上的進展遠為重要。采取了這一步，才使代數(shù)有可能成為一門科學。在16世紀以前，自覺運用一套符號的人只有丟番圖。16世紀的人們也沒有體會到符號體系能對代數(shù)起多大作用，改進是斷續(xù)進行的，有些是偶然作出的。

+和-這兩個符號是德國人引入的，用來表示箱子重量的超虧，后被數(shù)學家襲用。這些記號出現(xiàn)在1481年以后的手稿中。以符號×代表“乘”是奧特雷德首創(chuàng)的，但萊布尼茨合理地加以反對，因它易于同x相混。

英國數(shù)學家奧特雷德

=號是1557年劍橋的雷科德（Robert Recorde，1510—1558）引入的，他寫了第一篇英文的代數(shù)論文《礪智石》（The Whetstone of Witte，1557）。他說他所知道的最相像的兩件東西是兩根平行線，所以這兩根線應該用來表示相等。韋達起初書寫“aequalis”，以后用~表示相等。>和<這兩個符號是哈里奧特首創(chuàng)的。括號是1544年出現(xiàn)的。方括號和花括號是大約從1593年起由韋達引入的。平方根號√是笛卡爾采用的。

英國數(shù)學家雷科德

用符號表示未知量及未知量的乘冪出現(xiàn)得非常緩慢。名稱與記法因人而異，許多符號是從縮寫而來。

笛卡爾曾頗為有系統(tǒng)地采用正整數(shù)指數(shù)。他把1+3x+6x2+x3寫成1+3x+6xx+x3。他和別的人偶爾也用x2這種寫法。對較高的乘冪，他用、、…來記，但不用。牛頓采用了正指數(shù)、負指數(shù)、整數(shù)指數(shù)和分數(shù)指數(shù)。當高斯在1801年采用x2代替xx后，x2就變成了標準寫法。

法國數(shù)學家笛卡爾

代數(shù)性質上最重大的變革是由韋達在符號體系方面引入的。他受的專業(yè)訓練是律師，曾以這一身份在布列塔尼（Brittany）議會里工作過，以后當那瓦爾（Navarre）的亨利（Henry）親王的樞密顧問官。當他由于政治上處于反對派地位于1584年至1589年間在野時，就獻身研究數(shù)學。他把數(shù)學當作一種業(yè)余愛好，并自己出資印刷和發(fā)行著作。正如一個作家所說，這辦法是使人不致默默無名的一種保證。

韋達在精神上和意圖上是個人文主義者，他認為創(chuàng)新就是復古翻新。他把他所著的《分析術引論》（In Artem Analyticam Isagoge，1591）說成是“一部復古的數(shù)學分析著作”。他在這書中引述了帕普斯所著《數(shù)學匯編》的第七篇和丟番圖的《算術》。他相信古人是用過一般的代數(shù)形式來計算的，而他重新引用只不過是復活了古人已知道和贊許的一種技巧罷了。

韋達是第一個有意識地系統(tǒng)地使用字母的人，他不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，還用來表示一般的系數(shù)。通常他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他把他的符號性代數(shù)稱作logistica speciosa（類的籌算術）以別于logistica numerosa（數(shù)的籌算術）。他說代數(shù)，即logistica speciosa，是施行于事物的類或形式的一種運算方法；而算術，即logistica numerosa，是同數(shù)打交道的。這樣，代數(shù)就一下子成為研究一般類型的形式和方程的學問，因為對一般情形的研究包括了無窮多的特殊情形。但韋達只在正數(shù)的情形下才使用文字系數(shù)。

法國數(shù)學家韋達

對韋達的使用字母作了改進的是笛卡爾。他用字母表中前面的字母表示已知量，用末后的一些字母表示未知量，成為現(xiàn)今的習慣用法。不過笛卡爾也像韋達那樣只在正數(shù)的情形下用字母，直到赫德（John Hudde，1633-1704）在1657年用字母來表示正數(shù)和負數(shù)之后，大家才都這樣做。

萊布尼茨對各種記法進行了長期的研究，試用過一些符號，征求過同時代人的意見，然后選取他認為最好的符號。以后在概述微積分發(fā)展史時，我們將碰到他創(chuàng)立的一些符號。他肯定認識到好的符號有可能大大節(jié)省思維勞動。

德國哲學家、數(shù)學家萊布尼茨

到17世紀末，數(shù)學里已特意（而不是偶然或碰巧地）使用符號并認識到它所能賦予的功效和一般性。只可惜那些并不認識符號重要性的人漫不經(jīng)心而隨意引入的符號太多了，而至今卻都已通用。數(shù)學史家卡喬里（Florian Cajori）在指出這一事實時曾慨嘆說：“我們今日所用的符號，是許多早已摒棄的符號系統(tǒng)中個別殘留記號的雜燴?！?/p>

三、三次與四次方程的解法

1494年，意大利數(shù)學家帕西奧利對三次方程進行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結論。他認為在當時的數(shù)學中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為后來數(shù)學家迎接挑戰(zhàn)的號角。

1500年左右，博洛尼亞的數(shù)學教授費羅（Scipione delFerro，1465—1526）解出了x3 + mx = n類型的三次方程。但他沒有發(fā)表他的解法，因在16、17世紀時，人們常把所得的發(fā)現(xiàn)保密，而向對手們提出挑戰(zhàn)。在1510年左右，他把他的方法秘傳給菲奧爾（Antonio Maria Fior，16世紀前半葉）和他的女婿兼繼承人納韋（Annibale della Nave，1500？—1558）。

意大利數(shù)學家費羅

布雷西亞（Brescia）的豐塔納（NiccolòFontana，1499—1557）在孩提時被一個法國兵用馬刀砍傷臉部而引起口吃，因此大家稱他為塔爾塔利亞，意即“口吃者”。他出身貧寒，自己學會拉丁文、希臘文和數(shù)學。他靠著在意大利各城市講授科學謀生。1535年，菲奧爾向塔爾塔利亞挑戰(zhàn)，要他解30個三次方程。塔爾塔利亞說他早已解出了x3 + mx2 = n（m與n是正數(shù)）類型的三次方程，這次解出了所有30個方程，其中包括x3 + mx= n類型的方程。

意大利數(shù)學家塔爾塔利亞

1539年，在卡爾達諾的懇切要求之下，并發(fā)誓保密，塔爾塔利亞才把他的方法寫成一首語句晦澀的詩告訴卡丹。1542年卡爾達諾和他的學生費拉里（1522—1565）在納韋訪問他們的時候，肯定認為費羅的方法同塔爾塔利亞的方法相同?？栠_諾不顧誓言，把他對這個方法的敘述發(fā)表在《重要的藝術》里。他在第十一章里說：“博洛尼亞的費羅差不多在30年以前就發(fā)現(xiàn)了這個法則，并把它傳給威尼斯的菲奧爾，菲奧爾在他與布雷西亞的塔爾塔利亞競賽的時候使塔爾塔利亞有機會發(fā)現(xiàn)這一法則?！痹谒査麃啽Ａ糇C明的情況下，卡爾達諾找出了各種形式的證明。

卡爾達諾的作法引起了關于誰先解出三次方程的爭議，并使塔爾塔利亞與費拉里發(fā)生公開沖突，最后以雙方肆意謾罵而告終。

我們來考察卡爾達諾發(fā)表的方法：

x3 + mx = n，其中m與n是正數(shù)。

引入t和u兩個量，令t - u = n，以及tu = (m /3)3。

然后他斷言

解出t和u，得

求出t和u后，卡爾達諾取兩者的正立方根，并據(jù)此給出x的一個值——據(jù)認為這就是塔爾塔利亞所得出的同一個根。之后他用幾何方法（與二項式定理等價）證明x的值是正確的。

卡丹還給出怎樣解x3 + 6x2 = 100這類方程的方法。由于x2項的系數(shù)是6，他以y - 2代x，得出y3 = 12y + 84。他自始至終都給出正根和負根，但對復數(shù)根略而不提。又把那些既解不出正數(shù)根又解不出負數(shù)根的問題稱為錯題。

卡爾達諾《重要的藝術》

韋達在他著于1591年并出版于1615年的《論方程的整理與修正》（De Aequationum Recognitione et Emendatione）中，用一個三角恒等式解出了不可約三次方程。這個方法如今還在用。

他從下列恒等式開始：cos 3A = 4cos3A - 3cos A。

令z = cos A，這恒等式就變?yōu)閦3 - (3/ 4)z - (1 /4) cos 3A = 0。

設所給三次方程是y3 + py + q = 0。

代入y = nz，其中n可按需要指定，便可使上式的系數(shù)化成同前一式的系數(shù)一樣。將y = nz代入上式，得z3 + (p /n2) z + q /n3 = 0。

現(xiàn)在我們需要取n使p /n2 = -3 /4，故

選取了這個n值后，再取A值使q /n3 = - (1 /4) cos 3A，也就是使

可以證明：若三根是實數(shù)，則p是負數(shù)，因而n是實數(shù)。從三角函數(shù)表查出3A，有三個z值cos A，cos (A+ 120°)，cos(A+ 240°)。原方程的解是這三個z值的n倍，n值已給出。

對卡爾達諾的三次方程解法的第一個完整的討論是1732年由歐拉作出的，他強調指出三次方程總有三個根，并指出怎樣去求。若ω和ω2是x3-1=0的復數(shù)根，即x2+x+1=0的根，則t和u的三個立方根是

現(xiàn)在必須從第一組里選取一根，從第二組里選取一根，使兩者的乘積是m /3。因為ω * ω2 = 1，可知選取的x應為：

三次方程解出之后，接著幾乎立即解出了四次方程。解法是費拉里給出的，并發(fā)表在卡爾達諾的《重要的藝術》中。

意大利數(shù)學家費拉里

卡爾達諾、塔爾塔利亞、費拉里通過解出三次和四次方程的許多例子，表明他們曾尋求并獲得能用于一切情況的方法。注重一般性是一種新的特色。他們的工作做在韋達引用文字系數(shù)之前，所以不能利用這個工具。韋達在創(chuàng)用文字系數(shù)之后使證明有可能獲得普遍意義，又進而追求另一類普遍性。他發(fā)現(xiàn)解二次、三次和四次方程的方法很不相同，就想找一種能適用于各次方程的方法。他的頭一個想法是用置換法消去比最高次項次數(shù)小一次的項。塔爾塔利亞對三次方程這樣做了，但并未對所有方程都這樣試做過。

韋達在《分析術引論》中做了如下的步驟：為解二次方程x2+2bx=c，他讓x+b=y。于是y2 = x2 + 2bx + b2。利用原方程，得

于是

對于三次方程x3 + bx2+cx+d=0，韋達先設x=y-b/3。置換結果得約簡三次方程

y3+py+q=0。其次他再作一次變換，令y=z-p/(3z)，得z3-p3/(27z3)+q=0。然后他解出這z3的二次方程，得

可以證明，從六個z值只能得出三個不同的y值。

為解一般四次方程

韋達設x=y-b/4，于是把方程化為

然后他把末后三項移到右邊，并在兩邊加上

這就使左邊配成完全平方。然后也像費拉里的方法那里，適當選取y，使右邊成為形如(Ax + B)2的完全平方。為選取合適的y，他利用二次方程的判別式條件，得出y的一個六次方程，而且湊巧還是y2的三次方程。這一步以及其余各步就完全和費拉里的方法一樣了。韋達探求的另一個一般性方法是把多項式分解成一次因子。這事他沒有做成功，部分原因是他只取正根，部分原因是他沒有足夠的理論（如分解因子定理）作為依據(jù)來研究出一般方法。哈里奧特也有同樣想法，但也由于同樣原因而歸于失敗。

尋求一般代數(shù)方法的工作接著就轉向解四次以上的方程。詹姆斯·格雷戈里在提出他自己的解三次及四次方程的方法后，便試圖用這些方法來解五次方程。他和奇恩豪森（Ehrenfried Walter von Tschirnhausen，1651—1708）想通過變換把高次方程化為只含x的一個乘冪和一個常數(shù)那么兩項的方程。解四次以上方程的嘗試都失敗了。詹姆斯·格雷戈里在其后關于積分法的著作中猜測，對n > 4的一般n次方程是不能用代數(shù)方法求解的。

四、方程論

研究解方程的方法時，人們考慮了一個方程能有多少個根的問題。卡爾達諾引入了復數(shù)根，他似曾一度認為一個方程可以有任意個數(shù)的根。但他不久認識到一個三次方程能有3個根，一個四次方程有4個根等。吉拉德在《代數(shù)中的新發(fā)明》中推測并斷言一個n次多項式方程，如果把不可能的根（復根）算在內，并把一個幾重根算作幾個根，那它就有n個根。笛卡爾在《幾何》的第三篇中說，一個多少次的方程就能有多少個不同的根。

法國數(shù)學家吉拉德·笛沙格，射影幾何創(chuàng)始人

次一個重要的問題是怎樣預知正根、負根和復根的個數(shù)?？栠_諾指出一個（實系數(shù)）方程的復根是成對出現(xiàn)的。牛頓在《普遍的算術》里證明了這一點。笛卡爾在《幾何》里未加證明地陳述了正負號法則（通稱笛卡爾法則），即多項式方程f(x) = 0的正根的最多個數(shù)等于系數(shù)變號的次數(shù)，而負根的最多個數(shù)等于兩個正號與兩個負號連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)。在今日的教科書里，后一個法則的說法是：負根的最多個數(shù)等于f(-x) = 0里的系數(shù)變號次數(shù)。這法則被好幾個18世紀的數(shù)學家證明。現(xiàn)在通常教給學生的證法是馬爾韋斯（Abbé Jean-Paul de Gus de Malves，1712—1785）作出的。他還證明，若方程中缺少2m個先后相繼的項，則按所缺項的前后那兩項為同號或異號，可知該方程有2m + 2個或2m個復數(shù)根。

牛頓在《普遍的算術》中敘述了（但未證明）確定正和負的實根的最多個數(shù)的另一個方法，從而能推出復數(shù)根至少能有多少個。這方法用起來較繁復，但比笛卡爾的正負號法則能給出更好的結果。最后詹姆斯·西爾維斯特（James Joseph Sylvester）證明這不過是一個更普遍定理的特例。高斯在略早一些的時候證明，若正根個數(shù)少于變號次數(shù)，則所少的個數(shù)必為偶數(shù)。

另一類結果是關于方程的根和系數(shù)之間的關系?？栠_諾發(fā)現(xiàn)諸根之和等于x的n-1次方的系數(shù)取負值，每兩個根的乘積之和等于x的n-2次方的系數(shù)等。

韋達和笛卡爾從已給方程作出新的方程，使新方程的根大于或小于已給方程的根。笛卡爾又證明，若一有理系數(shù)的三次方程有一個有理根，則此多項式可表為有理系數(shù)因子的乘積。

另一個重要結果就是現(xiàn)今所謂因子定理。笛卡爾在《幾何》的第三篇中提出，f(x)能為(x - a)整除（a >0），當且僅當a是f(x) = 0的一個根；而且當a是一個假根時，f(x)能為(x + a)整除。利用這一事實以及他提出的其他事實，笛卡爾建立了求多項式方程有理根的現(xiàn)代方法。

牛頓在《普遍的算術》中以及別的一些較早的人給出了關于方程根的上界的一些定理，其中有一個牽涉到微積分。牛頓發(fā)現(xiàn)了一個方程的根與其判別式之間的關系。

笛卡爾在《幾何》中引入了待定系數(shù)的原理，并強調這一方法的用處很大。

另外一個方法，數(shù)學歸納法，也在16世紀晚期明確出現(xiàn)在代數(shù)里。在歐幾里得證明質數(shù)個數(shù)無窮時就已隱含這個方法。他指出若有n個質數(shù)，就必有n+1個質數(shù)，所以質數(shù)有無窮個。莫魯里克斯在1575年所著《算術》（Arithmetica）中明確提出這一方法，并用它來證明（比方說）1 + 3 + 5 + … + (2n- 1) = n2。帕斯卡在一封信中承認莫魯里克斯引入了這個方法，并在他的《三角陣算術》（Traité du triangle arithmétique，1665）中使用了這個方法。他在該書中還給出了現(xiàn)今所謂的帕斯卡三角陣。

五、二項式定理及相關的問題

指數(shù)為正整數(shù)時的二項式定理，即(a + b)的n次方在n為正整數(shù)時的展開式，是13世紀時的阿拉伯人已經(jīng)知道的。在1544年左右，施蒂費爾引入了“二項式系數(shù)”這個名稱，并指出怎樣從(1 + a)的n-1次方來計算(1 +a)的n次方。按下列方式排列的數(shù)陣：

（其中每個數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之和）是塔爾塔利亞、施蒂費爾和斯蒂文都已知道的，并被帕斯卡（1654）用來得出二項展開式的系數(shù)。

牛頓在1665年指出可以不必利用(1 + a)的n-1次方而直接展出(1 +a)的n次方。后來他相信這展開式對n為分數(shù)與負數(shù)的情形都適用（在這種情況下它是無窮級數(shù)），并陳述了這個推廣，但未加證明。

n個東西每次取r個的排列數(shù)和組合數(shù)的公式，起初是和二項式定理方面的工作無關的，它們早就出現(xiàn)在一些數(shù)學家如婆什迦羅和法國人萊維·本·熱爾松（Levi ben Gerson，1321）的著作中。帕斯卡指出組合公式——常記為nCr——也能給出二項式系數(shù)。這就是，固定n，使r取0到n的值，這公式就給出一項展開式中相繼各系數(shù)。詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在《推想的藝術》（Ars Conjectandi，1713）中推廣了組合理論，然后用組合公式證明了n為正整數(shù)時的二項式定理。

排列和組合方面的工作還同另一門學科概率論有關。設有甲乙兩人相賭，誰先得n分就能獲得賭注，但在甲得p分乙得q分之時賭局中止。怎樣分配這筆賭注呢？這個問題曾出現(xiàn)在帕喬利的《要義》以及卡爾達諾、塔爾塔利亞和其他人的一些書中。當梅雷（Antoine Gombaud，Chevalier de Méré，1610—1685）向帕斯卡提出這一問題，并由帕斯卡和費馬通信討論之后，這個問題才顯得有點重要。他們在這方面的工作標志了概率論的開始。他們都應用了組合理論。

概率論方面的第一本重要著作是雅各布·伯努利的《猜度術》?，F(xiàn)仍稱為雅各布·伯努利定理的那個當時最重要的新結果是：若p是出現(xiàn)單獨一次事件的概率，q是該事件不出現(xiàn)的概率，則在n次試驗中該事件至少出現(xiàn)m次的概率，等于(p+q)的n次展開式中從p的n次項到包括p的m次乘以q的（n-m）次項為止的各項之和。

瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利

六、數(shù)論

第一個對數(shù)論作出廣泛可觀的貢獻并給這門學科以巨大推動力的歐洲人是費馬（1601—1665）。

法國業(yè)余數(shù)學家費馬

費馬出身于商人家庭，在法國圖盧茲（Toulouse）學法律并以當律師謀生。他一度是圖盧茲議會的顧問。雖然數(shù)學只不過是費馬的業(yè)余愛好，而且他只能利用閑暇來研究，但他對數(shù)論和微積分作出了第一流的貢獻，他是坐標幾何的兩個發(fā)明者之一，并且同帕斯卡一起開創(chuàng)了概率論的研究工作。他對光學作出了不朽貢獻：費馬極?。〞r間）定理。費馬的大多數(shù)工作是通過他寫給朋友的信件聞名于后世的。他只發(fā)表了很少幾篇論文，但有些書和論文是在他死后刊印發(fā)表的。

費馬在數(shù)論上的工作決定了在高斯作出貢獻之前這門學科的研究方向。費馬的出發(fā)點是丟番圖。后者的《算術》曾被文藝復興時代的數(shù)學家翻成許多譯本。1621年梅齊利亞克出版了希臘文版和拉丁文譯本。費馬手頭有的就是這個版本，他的大部分結果都是由他記錄在書頁空白處的（不過有很少幾個結果是通過給朋友的信傳出去的）。1670年費馬的兒子出版了附有他頁邊筆記的這本書。

費馬提出了數(shù)論方面的許多定理，但只對一個定理作出了證明，而且這證明也只是略述大意。18世紀的最出色的數(shù)學家曾努力想證明他提出的結果，這些結果被證明都是正確的，只有一個是錯的。費馬無疑具有偉大的直觀天才，但若要說他已證明了他提出的所有結論則未必可信。

荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯

1879年在惠更斯的故紙堆中發(fā)現(xiàn)一個文件，其中敘述了一個著名的方法——無限下推法（the method ofinfinite descent），這是費馬首創(chuàng)和應用的一個方法。費馬在1640年12月25日給梅森（Marin Mersenne，1588—1648）的信中提出了一個定理：形如4n + 1的一個質數(shù)可能而且只能以一種方式表達為兩個平方數(shù)之和。例如17 = 16 + 1，29 = 25 + 4。應用這一方法時，要證，若有形如4n + 1的一個質數(shù)并不具有所需性質，那就將有形如4n + 1的一個較小質數(shù)也不具有那個性質。這樣往下推就必定能推到n = 1，從而推到質數(shù)4 * 1 + 1 = 5，于是5就不能具有所需性質。而由于5能以唯一方式表達為兩個平方數(shù)之和，因而每個形如4n + 1的質數(shù)都能這樣表達。費馬在1659年把他這個方法的梗概寫信告訴他的朋友卡卡維（Pierre de Carcavi，卒于1684年）。費馬說他用這方法證明了上述定理，但后人從未找到他的證明。他又說他用這個方法證明了其他一些定理。

無窮下推法和數(shù)學歸納法不同。第一是這方法并不要求我們驗證出哪怕是一個例子來說明定理成立，因為我們可以根據(jù)n = 1時的情況只會導出與某一其他已知結果相矛盾的這一事實來作出論斷。還有，證明的是還有一個較小的n值，但未必是次小的。最后一點是，這方法在否定某些論斷方面更為有用。

費馬又斷言沒有一個形如4n + 3的質數(shù)能表達為兩個平方數(shù)之和。費馬在丟番圖書頁的側記中以及在寫給梅森的一封信中，指出了如下一些定理：形如4n+1的一個質數(shù)能夠而且只能作為一個直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；(4n + 1)的平方是兩個而且只有兩個這種直角三角形的斜邊；它的立方是三個而且只有三個這種直角三角形的斜邊；它的四次方是四個而且只有四個這種直角三角形的斜邊如此等，乃至無窮。例如，我們來看n = 1的情形。這時4n+1 = 5，而3、4、5是一個而且只有一個以5為斜邊的直角三角形的邊。以52為斜邊的有兩個而且只有兩個：15、20、25及7、24、25。以53為斜邊的有且僅有三個：75、100、125；35，120，125；44，117，125。

法國數(shù)學家馬蘭·梅森

費馬在給梅森的信中說，這4n + 1型的質數(shù)和它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數(shù)之和；它的三次方和四次方都能以兩種方式；它的五次方和六次方都能以三種方式如此等，乃至無窮。例如，當n = 1時有5 = 4 + 1及52 =9 + 16；53 =4 + 121 = 25 + 100等。信中接著說：若等于兩平方數(shù)之和的一個質數(shù)乘以另一個也是這樣的質數(shù)，則其乘積將能以兩種方式表達為兩個平方數(shù)之和。若第一個質數(shù)乘以第二個質數(shù)的平方，則乘積將能以三種方式表達為兩個平方數(shù)之和；若乘以第二個質數(shù)的立方，則乘積將能以四種方式表達為兩個平方數(shù)之和如此等，乃至無窮。

費馬指出了關于將質數(shù)表達為x2 +2y2、x2 +3y2、x2 +5y2、x2-2y2以及其他這類形式的許多定理，它們都是關于質數(shù)表達為平方和定理的推廣。例如6n+1型的每個質數(shù)可表為x2 +3y2；8n+1及8n+3型的每個質數(shù)可表為x2 +2y2。一個奇質數(shù)能且只能以一種方式表為兩個平方數(shù)之差。

費馬提出的兩個定理被后人稱為小定理和大定理，后者又被人稱為最后定理。小定理是費馬在1640年10月18日給朋友弗雷尼克·德·貝西（Bernard Frénicle de Bessy，1605—1675）的一封信中傳出的：若p是質數(shù)，而a與p互質，則a的p次方 -a能為p整除。

費馬大定理寫在丟番圖書上丟番圖問題（把已給平方數(shù)分解為兩個平方數(shù)之和）的旁邊：“然而此外，一個立方數(shù)不能分解為兩個立方數(shù)，一個四次方數(shù)不能分解為兩個四次方數(shù)，而一般說除平方以外的任何次乘冪都不能分解為兩個同次冪。我發(fā)現(xiàn)了這定理的一個真正奇妙的證明，但書上空白的地方太少，寫不下。”費馬的證明（如果他真正有的話）從未被人找到過。

費馬在致卡卡維的一封信中說他已用無窮下推法證明了n = 4的情形，但并未給出全部證明細節(jié)。弗雷尼克·德·貝西利用費馬的少量提示，確實在1676年給出了對這一情形的證明，發(fā)表在他死后出版的《論直角三角形的數(shù)學性質》（Traité des triangles rectangles en nombres）一書中。

1995年證明了費馬大定理的英國數(shù)學家懷爾斯

費馬確也出過錯。他相信他已經(jīng)解決了那個老問題：列出一個對各種n值都能得出質數(shù)的公式。如今不難證明，除非m是2的乘冪，2的m次方 +1不可能是個質數(shù)。從1640年起，費馬在許多信中提出了這個問題的逆命題，即表達一系列的質數(shù)——雖然他承認他不能證明這個斷言。以后他又懷疑這斷言的正確性。迄今為止，已知這公式給出的質數(shù)只有5個：3，5，17，257以及65537。

費馬用無窮下推法提出并概括地證明了下述定理：邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)。這是他唯一詳細寫出的證明。

關于多邊形數(shù)，費馬在丟番圖的書上提出了一個重要定理：每個正整數(shù)或者本身是個三角形數(shù)，或者是2個或3個三角形數(shù)之和；每個正整數(shù)或者本身是個正方形數(shù)，或者是2、3或4個正方形數(shù)之和；每個正整數(shù)或者本身是個五邊形形數(shù)，或者是2、3、4或5個五邊形形數(shù)之和；以及對較高的多邊形數(shù)的類似關系。這些結果只有在我們把0和1都歸入多邊形數(shù)之后才能成立。費馬聲稱他用無窮下推法證明了它們。

完全數(shù)是希臘人研究過的，歐幾里得還給出了基本的結果：

在

為質數(shù)時是個完全數(shù)，故6、28、496及8128是完全數(shù)。在1456年的一份手稿中，正確給出第五個完全數(shù)是33 550 336；這是相應于n = 13的完全數(shù)。雷吉烏什（Hudalrich Regius）在《摘錄》（Epitome，1536）中也給出了這第五個完全數(shù)?？ㄋ柕希≒ietro Antonio Cataldi，1552—1626）在1607年指出

在n為復合數(shù)時是復合數(shù)。并驗證出

在n = 13、17及19時是質數(shù)。1664年梅森舉出了其他一些完全數(shù)。

費馬在1640年6月致梅森的一封信中提出了下面這些定理：（a）若n不是質數(shù)，則也不是質數(shù)。（b）若n是質數(shù)，則在可能為他數(shù)所整除的情形下只能為2kn+1型的質數(shù)所整除。截至2013年初已知的完全數(shù)有48個，至于是否存在奇完全數(shù)的問題尚為懸案。

費馬在1636年重新發(fā)現(xiàn)塔比特第一個提出的法則，給出了第二對親和數(shù)17296及18416（第一對親和數(shù)220及284是畢達哥拉斯給出的）。笛卡爾在致梅森的一封信中給出了第三對親和數(shù)9 363 584和9 437 056。

費馬在1657年2月致弗雷尼克·德·貝西的一封信中提出一個定理：x2-Ay2=1在A是正整數(shù)而非完全平方時有無窮多個解。歐拉把這方程誤稱為佩爾（Pell）方程，這名稱流傳到今天。費馬在同一封信中向所有數(shù)學家挑戰(zhàn)，要求他們求出無窮多個整數(shù)解。布龍克爾勛爵給出了解，但并未證明解有無窮多個。沃利斯則全部解出了這個問題，并在1657年及1658年的信中以及在他的《代數(shù)》的第98章中給出了解法。費馬又說他能指出：對于給定的A和B，x2 -Ay2 =B在什么情況下可解，并能把它解出來。不知道費馬是怎樣解這兩個方程的，盡管他在1658年的一封信中說他是用下推法解第一個方程的。

七、代數(shù)同幾何的關系

代數(shù)在16,17世紀得到巨大的發(fā)展。由于把代數(shù)同幾何捆在一起，在1500年以前人們認為三次以上的方程是不現(xiàn)實的。如施蒂費爾在他編輯出版的魯?shù)婪虻摹洞鷶?shù)》（Coss）中說道：“解三次以上的方程，似乎以為竟有什么高于三維的東西……那是違反自然的?！比欢鷶?shù)終究擺脫了幾何思維的束縛。

不過代數(shù)與幾何的關系仍然是復雜的，主要的問題是怎樣使人認為代數(shù)推理是可靠的。在16世紀以及在17世紀的大部分時間里，答案是依靠與代數(shù)相當?shù)膸缀我饬x。巴羅和帕斯卡反對過代數(shù)，后來又反對在坐標幾何和微積分里用分析方法，因他們覺得代數(shù)缺乏可靠依據(jù)。

當韋達，其后又有笛卡爾，用代數(shù)幫助解幾何作圖題時，代數(shù)依賴于幾何的狀況開始有點逆轉過來了。韋達所著《分析術引論》（1591）中出現(xiàn)的許多代數(shù)問題大多數(shù)是為了解幾何題或使幾何作圖法系統(tǒng)化。典型例子是他所著《分析五篇》中的這樣一個問題：已給矩形的面積及其兩邊之比，求矩形的兩邊。

對韋達來說，代數(shù)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的特設步驟，它就是柏拉圖心目中的分析法（相對于綜合法而言）?！胺治觥边@個詞是亞歷山大的泰奧恩引入的，他把分析定義為這樣的步驟：先假定所求的結果成立，然后根據(jù)逐步推理，得出一個已知的真理。所以韋達才把他的代數(shù)稱作分析術。事實上這也是笛卡爾坐標幾何思想的出發(fā)點。

韋達一個學生蓋塔爾蒂（Marino Ghetaldi，1566—1627）在所著《阿波羅尼奧斯著作的現(xiàn)代闡釋》（ApolloniusRedivivus，1607）的一個篇章中，對確定的幾何問題的代數(shù)解法作了系統(tǒng)研究。

16和17世紀的數(shù)學家承認應該發(fā)展代數(shù)來代替希臘人所引用的幾何方法。韋達對高次方程和代數(shù)方法論的研究是毫不遲疑的，他展望未來能出現(xiàn)一種運用符號的關于量的演繹科學。他一方面把代數(shù)主要當作是研究幾何問題的方便工具，但也有足夠遠見能看到代數(shù)自身的生命力和意義。

邦貝利不用幾何作出過一些被當時接受的代數(shù)證明。斯蒂文斷言凡是幾何上能做到的事都能用算術和代數(shù)做到。哈里奧特所著《實用分析術》（Artis Analyticae Praxis，1631）一書把韋達著作中的一些思想觀點加以引申加以系統(tǒng)化并使之突出。這書很像一部現(xiàn)代的代數(shù)課本，它比先前任何一部代數(shù)書更富于分析精神，并在系統(tǒng)運用符號方面向前邁出了一大步。它的流傳很廣。

笛卡爾說他是繼韋達的未竟之業(yè)的。從提供物質世界的知識這個意義上說，他并不認為代數(shù)是一門科學。他說幾何與力學才確實含有這種知識，他把代數(shù)看成是進行推理——特別是關于抽象的和未知的量進行推理的有力方法。他認為代數(shù)使數(shù)學機械化，因而使思考和運算步驟變得簡單，而無需花很大的腦力。這有可能使數(shù)學創(chuàng)造變成一種幾乎是自動化的工作。

法國發(fā)行的紀念笛卡爾郵票

對笛卡爾來說，代數(shù)居于數(shù)學其他各分支的最前列。它是邏輯的引申，是處理量的一門有用的學科，在邏輯次序上領先于幾何。因此他想建立一門獨立的有系統(tǒng)的代數(shù)，而不是一批符號的無計劃無依據(jù)的堆砌和緊密依賴于幾何的一些步驟方法。有一份關于代數(shù)論述的提綱，名為《計算》（Le Calcul，1638），是笛卡爾本人或他領導的人執(zhí)筆的，那里就把代數(shù)作為一門獨立的科學來處理。

笛卡爾把代數(shù)看作邏輯在處理量方面的一種延伸，這使他想到有可能創(chuàng)立一門范圍較廣的代數(shù)科學，能概括量以及其他概念，并能用于研討一切問題。甚至邏輯上的原理和方法也可能用符號來表達，而整個體系則可用之于使一切推理過程機械化。笛卡爾把這種想法稱作“通用數(shù)學”。他是第一個把代數(shù)放在學術系統(tǒng)基本地位的人。

對代數(shù)的這種觀點有充分認識的第一個人是萊布尼茨，他終于把它發(fā)展成符號邏輯。巴羅也具有這種觀點，但范圍較窄。他是牛頓的師友，是在牛頓之前擔任劍橋大學盧卡斯（Lucas）數(shù)學講座的人。他并不把代數(shù)看作正規(guī)數(shù)學的一部分，而是把它看成邏輯的一種形式化。

萊布尼茨微積分手稿

算術和代數(shù)技巧的日益廣泛的應用產(chǎn)生的實際效果，使代數(shù)成為獨立于幾何的一個數(shù)學分支。笛卡爾既用a2來表示一個長度又表示一塊面積這件事是個重大的步驟，因為韋達尚堅持認為二次方只能表示面積。笛卡爾明確認識到代數(shù)計算是不依賴于幾何的。

沃利斯受了韋達、笛卡爾、費馬和哈利奧特的影響，在使算術和代數(shù)脫離幾何所描述的工作上比他們走得更遠。沃利斯在《算術》（1685）一書中用代數(shù)方法推導出歐幾里得《原本》第五篇中的所有結論。他不再把x和y的代數(shù)方程限定為齊次方程，他看到代數(shù)具有簡明易懂的特點。

在牛頓所著的《普遍的算術》中第一次看到他肯定算術與代數(shù)（相對于幾何而言）具有根本的重要性，當時笛卡爾與巴羅仍贊成以幾何作為基本數(shù)學分支。牛頓為創(chuàng)立微積分需要也使用了代數(shù)語言，而微積分也以代數(shù)方法來處理最為適宜。代數(shù)之所以能居于幾何之上，微積分學方面的需要是有決定意義的。

牛頓紀念郵票

到1700年之際，代數(shù)已達到能夠自身站穩(wěn)腳跟的地步了。但代數(shù)的邏輯基礎，足以同歐幾里得提供給幾何者相媲美的，卻并不存在。鑒于當時歐洲人已充分認識到嚴格的演繹式數(shù)學該有什么要求，所以當時人對此事普遍地缺乏關心（除了帕斯卡和巴羅的反對以外）令人詫異。

數(shù)學家如何判斷哪些東西是正確的呢？正整數(shù)和分數(shù)的性質是如此直截了當?shù)貋碜晕覀儗κ挛锛系慕?jīng)驗，以至于它們看來是不言而喻的。甚至歐幾里得也不能給討論數(shù)論的篇章提供邏輯基礎。隨著數(shù)系中增添了新的數(shù)，人們就把那些用于正整數(shù)和分數(shù)的運算法則也施行到新的數(shù)上，并以幾何意義作為方便的向導。字母一旦被人采用后，它們就是數(shù)的化身，因而可以像數(shù)那樣來處理。比較復雜的代數(shù)技巧，可通過卡爾達諾那種幾何論證，或者通過對特例的單純歸納，而獲得似乎合理的一句。但所有這些做法在邏輯上都不能令人滿意。而且求助于幾何，也不能給負數(shù)、無理數(shù)和復數(shù)提供邏輯依據(jù)，也不能洞察更深的性質和變化。

然而數(shù)學家滿懷喜悅和信心百倍地著手運用新的代數(shù)。沃利斯肯定說代數(shù)步驟的合法性并不遜于幾何步驟。數(shù)學家沒有認識到他們即將進入一個新的時代，那時歸納、直觀、邊做邊改的辦法和物理論點將要作為證明的基礎。給數(shù)系和代數(shù)建立邏輯基礎是個難題，其難度遠遠超過17世紀的任何數(shù)學家所能認識到的程度。數(shù)學家能那樣大膽輕信甚至直率而不拘泥于邏輯倒是一件好事，因為自由創(chuàng)造必須走的正規(guī)化和邏輯基礎的前面，而數(shù)學創(chuàng)造的最偉大的時代已經(jīng)到來了。

下一講射影幾何。