古代印度數(shù)學(xué)

印度數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)發(fā)展可以劃分為三個(gè)重要時(shí)期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗荼人時(shí)期，史稱河谷文化；隨后是吠陀時(shí)期；其次是悉檀多時(shí)期。由于河谷文化的象形文字至今不能解讀，所以對(duì)這一時(shí)期印度數(shù)學(xué)的實(shí)際情況了解得很少。

印度數(shù)學(xué)最早有文字記錄的是吠陀時(shí)代，其數(shù)學(xué)材料混雜在婆羅門教和印度教的經(jīng)典《吠陀》當(dāng)中，年代很不確定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世紀(jì)，最晚至公元前3世紀(jì)。吠陀即梵文veda，原意為知識(shí)、光明，《吠陀》內(nèi)容包括對(duì)諸神的頌歌、巫術(shù)的咒語(yǔ)和祭祀的法規(guī)等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或樹皮上。不同流派的《吠陀》大都失傳，目前流傳下來僅有7種，這些《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分《測(cè)繩的法規(guī)》（sulva sūtrus,又譯成繩法經(jīng)），有一些幾何內(nèi)容和建筑中的代數(shù)計(jì)算問題。如勾股定理、矩形對(duì)角線的性質(zhì)、相似直線形的性質(zhì)，以及一些作圖法等，在作一個(gè)正方形與已知圓等積的問題中，使用了圓周率的以下近似值：，此外還用到 ? = 3.004和? = 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在關(guān)于正方形祭壇的計(jì)算中取?2 = 1 + 1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686

由幾何計(jì)算導(dǎo)致了一些求解一、二次代數(shù)方程問題，印度用算術(shù)方法給出求解公式。耆那教的經(jīng)典由宗教原理、數(shù)學(xué)原理、算術(shù)和天文等幾部分構(gòu)成，流傳下來的原始經(jīng)典較少，不過流傳一些公元前5世紀(jì)至公元后2世紀(jì)的注釋。其中出現(xiàn)了許多計(jì)算公式，如圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式等。

關(guān)于公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可考資料非常少，值得慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區(qū)發(fā)現(xiàn)了這一時(shí)期的，書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程。特別值得注意的是該書使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)，如減號(hào)，將“12 － 7” 記成“12 7＋”，出現(xiàn)了10個(gè)完整的十進(jìn)制數(shù)碼，用點(diǎn)表示“0”.

數(shù)字及數(shù)字系統(tǒng)　 

在公元200年到1200年之間，古印度人就知道了數(shù)字符號(hào)和0符號(hào)的應(yīng)用，

零當(dāng)作一個(gè)數(shù)字

可以確定的是在公元六百五十年左右印度的數(shù)學(xué)家使用零當(dāng)作一個(gè)數(shù)字。印度人也使用位值系統(tǒng)而將零當(dāng)作空白位置的表示符號(hào)。今日我們所使用的高度發(fā)展的數(shù)系是從印度的數(shù)字及數(shù)字系統(tǒng)逐步演進(jìn)而來的。

公元前2500年左右,印度最古老的文獻(xiàn)已有“0”這個(gè)符號(hào)的應(yīng)用，當(dāng)時(shí)的0在印度表示空的位置。約在6世紀(jì)初，印度開始使用命位記數(shù)法。7世紀(jì)初印度大數(shù)學(xué)家葛拉夫.瑪格蒲達(dá)首先說明了0的性質(zhì)，任何數(shù)乘0是0，任何數(shù)加上0或減去0得任何數(shù)。遺憾的是，他并沒有提到以命位記數(shù)法來進(jìn)行計(jì)算的實(shí)例。也有的學(xué)者認(rèn)為，O的概念之所以在印度產(chǎn)生并得以發(fā)展，是因?yàn)橛《确鸾讨写嬖谥敖^對(duì)無”這一哲學(xué)思想。

婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆羅摩修正體系》（628）和《肯德卡迪亞格》（約665），都含有大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其代數(shù)成就十分可貴。他把0作為一個(gè)數(shù)來處理，9世紀(jì)馬哈維拉和施里德哈勒接受了這一傳統(tǒng)。婆羅摩笈多對(duì)負(fù)數(shù)有明確的認(rèn)識(shí)，提出了正負(fù)數(shù)的乘除法則。他曾利用色彩名稱來作為未知數(shù)的符號(hào)，并給出二次方程的求根公式。

7世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)出現(xiàn)了沉寂，到9世紀(jì)才又呈現(xiàn)出繁榮。如果說7世紀(jì)以前印度的數(shù)學(xué)成就總是與天文學(xué)交織在一起，那么9世紀(jì)以后發(fā)生的改變。馬哈維拉的《計(jì)算方法綱要》可以說是一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)專著，全書有九個(gè)部分：（1）算術(shù)術(shù)語(yǔ)，（2）算術(shù)運(yùn)算，（3）分?jǐn)?shù)運(yùn)算，（4）各種計(jì)算問題，(5)三率法（即比例）問題，(6)混合運(yùn)算，(7)面積計(jì)算，(8)土方工程計(jì)算，(9)測(cè)影計(jì)算。基本是對(duì)以往數(shù)學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和推廣，書中給出了一般性的組合公式，而且給出橢圓周長(zhǎng)近似公式。

公元733年，印度一位天文學(xué)家在訪問現(xiàn)伊拉克首都巴格達(dá)期間，將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人，因?yàn)檫@種方法簡(jiǎn)便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯?dāng)?shù)字。這套記數(shù)法后來又傳入西歐。 

引進(jìn)十進(jìn)制的數(shù)字

這些符號(hào)在某些情況下和現(xiàn)在的數(shù)字很相近。此后，印度數(shù)學(xué)引進(jìn)十進(jìn)制的數(shù)字，同樣的數(shù)字在不同的位置表示完全不同的含義，這樣就大大簡(jiǎn)化了數(shù)的運(yùn)算，并使計(jì)數(shù)法更加明確。比如，古巴比倫的記號(hào)▼既可以表示1，也可以表示1/60， 而在古印度人那里，符號(hào)1只能表示1個(gè)單位，要表示十、百等，必須在符號(hào)1的后面加上相應(yīng)個(gè)數(shù)的符號(hào)0。這實(shí)在是個(gè)了不起的發(fā)明，以致于到了現(xiàn)代，人們?cè)谟?jì)數(shù)的時(shí)候依然沿用這種方法。

負(fù)數(shù)
　　古印度人很早就會(huì)用負(fù)數(shù)表示欠債和反方向運(yùn)動(dòng)。他們還接受了無理數(shù)的概念，在實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，把適用于有理數(shù)的計(jì)算方法和步驟運(yùn)用到無理數(shù)中去。另外，他們還解出了一次方程和二次方程。 

一次方程和二次方程 

從公元七世紀(jì)印度的代數(shù)有了很大發(fā)展, 數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多創(chuàng)立表示量的概念和描述運(yùn)算的一套符號(hào)，12世紀(jì)婆什迦羅提出負(fù)平方根的概念、研究無理方程的解法和無理數(shù)的運(yùn)算法則，把代數(shù)學(xué)的研究推向了新的階段。

三角學(xué)

    　印度數(shù)學(xué)在幾何方面沒有取得大的進(jìn)展，但古印度人對(duì)三角學(xué)貢獻(xiàn)很大。這是他們熱衷于研究天文學(xué)的副產(chǎn)品。如在他們的計(jì)算中，用到了三種量——一種相當(dāng)于現(xiàn)代的正弦，一種相當(dāng)于現(xiàn)代的余弦，還有一種稱為“正矢”，在數(shù)量上等于1－cosα，這個(gè)三角量現(xiàn)在已經(jīng)不用了。他們還知道一些三角量之間的關(guān)系， 比如“同角正弦和余弦的平方和等于1”等等，古印度人還會(huì)利用半角表達(dá)式計(jì)算某些特殊角的三角值。

由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文數(shù)學(xué)受外來文化影響較深，除希臘天文數(shù)學(xué)外，也不排除中國(guó)文化的影響，然而印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特色。與其算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作顯得十分薄弱，最具特色與影響的成就是其不定分析和對(duì)希臘三角術(shù)的推進(jìn)。