其實做題的開竅，更多是在第三步、第四步。

第一步，在前文中談到，是「規(guī)則的開竅」。要深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是智力游戲，高效的學(xué)習(xí)必須建立在發(fā)展智力的基礎(chǔ)之上。

大多數(shù)同學(xué)把數(shù)學(xué)玩成了蠻力游戲，規(guī)則都搞不懂，做了十二年資深小白玩家。

而第二步，則是「知識的開竅」。

開竅開竅，是要變聰明。

為什么學(xué)數(shù)學(xué)會讓人變聰明呢？

因為數(shù)學(xué)本身就很聰明。

在數(shù)學(xué)中，有很多聰明甚至堪稱智慧和偉大的想法。

如果你只是為了得分，不能去發(fā)現(xiàn)、欣賞和掌握這些聰明的思想，簡直就是買櫝還珠。

舉個例子，十進制。

這玩意大家小學(xué)就刷的很熟練了。

但是你體會到十進制背后思想的聰明牛逼了嗎？

從十進制來看數(shù)學(xué)思想的聰明和偉大

我們在小學(xué)入門階段，會遇到一個超級難點：「十進制」。

整體來說理解0-9比較容易，因為有手指頭這個我們自帶的形象化工具對應(yīng)。但是10，等等，為什么10根指頭成了這個樣子了？

小朋友們會普遍懵逼，例如「11」，為什么兩個1意義不一樣？

那個亂啊。

事實上，家長和老師也會想辦法幫助小朋友理解，還形象聯(lián)系實際，但娃還是糊涂。

這里關(guān)鍵問題在于，按照課本和上面的教法，十進位這個知識點，看上去就像是從天上掉來的。沒有為什么，就得學(xué)會。它不是一個自然生長長出來的知識點。

而十進制理解不透徹，后續(xù)各種知識都會有問題，例如加減法尤其是涉及到進位情況。

可以說小學(xué)一二年數(shù)學(xué)，踩的很多坑，都跟不理解十進位有直接關(guān)系。

應(yīng)試教育讓小朋友刷了半天題，搞的覺得數(shù)學(xué)毫無樂趣。

但如果我們?nèi)ダ斫馐M制產(chǎn)生的原因，發(fā)現(xiàn)它的聰明之處，那就皆然不同。

從復(fù)雜中求簡單，從紊亂中求秩序

科學(xué)家丁文江說：

科學(xué)是教育和修養(yǎng)最好的工具，學(xué)科學(xué)的人有求真理的能力，而且有愛真理的誠心。無論遇見甚么事，都能平心靜氣去分析研究，從復(fù)雜中求簡單，從紊亂中求秩序；了然于宇宙生物心理種種的關(guān)系，才能夠真知道生活的樂趣。

「從復(fù)雜中求簡單，從紊亂中求秩序」，意味著有效簡化。數(shù)學(xué)中很多聰明的想法，都是和有效簡化相關(guān)。

從簡化的角度讓我們思考啊，從零到九，我們用了十個數(shù)字表示（0-9）。

那么接下來呢？難道每增大一個數(shù)目，我們就要為它創(chuàng)造一個新的符號？這樣下去什么時候才是頭啊？

甚至你可以引導(dǎo)小朋友嘗試走一下這個路線，看看大家能創(chuàng)造多少個符號出來。

但顯然，這種方式是不可持續(xù)的。越到后來符號越多也就越復(fù)雜。

換句話說：「為每一個數(shù)字創(chuàng)造一個符號」的方式因為復(fù)雜性，不可持續(xù)。我們需要找到一個更加簡潔高效的數(shù)字表達機制。

簡化思維：如何用0-9表示所有的數(shù)字

如何才能更簡單呢？

已知：我們已經(jīng)創(chuàng)造理解了0-9這十個符號，而且借助于手指這個自帶形象化工具，理解十以內(nèi)的數(shù)相對比較容易。

那么，思考一下：

我們能否用0-9這十個符號，來表達所有的數(shù)字。這樣就實現(xiàn)了數(shù)字表達的簡化，無需為每個數(shù)字創(chuàng)造一個符號。

順著這個思路，如果我們要表示所有的數(shù)字。0-9可以直接表示，十根手指頭如何表示呢？

0表示沒有，所以不能用0。接下來，就應(yīng)該是1，我們能否嘗試把十又變成1呢？

這個念頭，就是「逢十化一」。

到了十，我們已經(jīng)沒有現(xiàn)有的符號可以表示了，但我們可以轉(zhuǎn)化為一，這樣又成了現(xiàn)有符號可以表示的。

這就產(chǎn)生了「十進制」這個知識點。

那么如果在高位上又積累到了十怎么辦呢？

繼續(xù)逢十化一。

聰明的想法：以有限破無窮

這樣，我們通過「逢十化一」的想法，實現(xiàn)了「用有限的符號來表達無窮的數(shù)字」。

這種「以有限破無窮」的思想，是一種美妙的簡化策略。

更具體的，在十進制的思想中，我們的思路是：

• 逢十化一
• 如果高位有產(chǎn)生了十，繼續(xù)向更高位逢十化一

無論怎么復(fù)雜，我們都轉(zhuǎn)化為同一個模式處理。

這種思路，用正式的術(shù)語，稱為「遞歸」。

「世界上沒有什么不是一包辣條不能解決的。如果不能，再來一包」。這也體現(xiàn)了遞歸思想。把所有問題簡化為一個方案，當然有效無效另說。

遞歸是簡化復(fù)雜問題的一種基本模式。在計算機算法書籍中，通常會有一章來講「遞歸」。

有些數(shù)學(xué)思維課，也會講「遞歸思維」。

回到課堂，大多數(shù)老師只是灌輸十進制讓同學(xué)們會用，同學(xué)們無腦刷了很多十進制表示和加減法的題目。

如果你能看到十進制背后的「簡化思想、以有限破無窮的思路、遞歸思想」，體會到它的聰明牛逼之處，那就完全不同了。

用欣賞的眼光覺得「哇這些思想?yún)柡Α埂?/span>

進一步的，你可以開始研究和思考，這些思想可以用來解決什么問題？有哪些問題和知識就是運用的這些思想。

例如，自然歸納法，就是一種遞歸思想的運用。

如果我們想要證明對于所有自然數(shù)，某個命題成立。

「證明所有成立」，涉及到無窮的數(shù)。

如何以有限破無窮呢？

我們可以分為兩步走：

1）證明當n=1時命題成立

2）假設(shè)當n=k時命題成立，證明在此基礎(chǔ)上n=k+1成立。

這個思路下，也就是說，一旦n=1時命題成立，那么n=2時也就命題成立。而一旦n=2時命題成立，那么n=3時命題也成立......以此類推，我們就把所有自然數(shù)情況下命題成立證明完了。

它把無窮的證明任務(wù)，簡化為了有限的兩個步驟。

非常聰明的想法。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓自己頭腦變的更聰明，很大程度也就是把這些聰明的思想，吸收到自己的頭腦中，并指導(dǎo)自己的思考和實踐。

如果我們?nèi)粘Ｊ沁@樣的學(xué)習(xí)，那么在解題和課本知識的學(xué)習(xí)中，就已經(jīng)學(xué)到了一系列的簡化思想、方法和經(jīng)驗案例，頭腦變的更強大，未來遇到復(fù)雜問題，也就更容易簡化了。

然而在學(xué)校教育中，只有知識的灌輸，卻很少引導(dǎo)大家去發(fā)現(xiàn)、欣賞和吸收「數(shù)學(xué)的聰明」。

愚蠢的想法：以枚舉對無窮

與「以有限破無窮」的想法對應(yīng)的，是「以枚舉對無窮」。

枚舉法的思路，是逐一列出所有情況來處理。

顯然，數(shù)量越多，你需要的處理資源就越多。

學(xué)校應(yīng)試，就是典型的枚舉法思路。

老師說「各種題型都要見過、都要多做、能夠熟練應(yīng)對所有題型」。

前兩天一位高中同學(xué)微信我，說她每天刷題刷不完，錯題一堆沒法處理。

我看了一下她的作業(yè)，源于學(xué)校統(tǒng)一定的某教輔，把常見題型收集了一大堆，啥都要做。

這個思路就已經(jīng)完蛋了。

基于課本知識，變化多了去了，你枚舉所有題型一一解決，累死了。非常愚蠢的想法。

把學(xué)生所有時間都快壓榨光了，還是沒效果。

也就是大家每天除了睡覺只有10多個小時。如果每天有48小時，枚舉法能繼續(xù)壓到每天學(xué)習(xí)40小時。

你有多少時間，它就能壓榨多少。

這思路本來就吃資源。

當然要「有限破無窮」，基礎(chǔ)知識夯實，掌握數(shù)學(xué)知識背后的思維能量，適當做題就行了。

上面是學(xué)習(xí)的角度。

從教育的角度，也是要「有限破無窮」，難道每個知識都要老師講，每個錯題都要老師輔導(dǎo)？

很多家長去1對1補習(xí)，就是希望「老師幫孩子把知識點錯題都補上」，又是想要「枚舉」。

今年補、明年補，舊的沒補好，新的又爆雷了。

所以啊，很多費錢和費勁，都是源于頂層的愚蠢。

教育當然要「有限破無窮」，聚焦于少數(shù)核心事情了。

所以「數(shù)學(xué)開竅訓(xùn)練營」，其核心思路是圍繞「6個開竅」，突破學(xué)生的研究思考意識和能力，實現(xiàn)「越學(xué)越聰明，讓頭腦強大起來」。

頭腦上去了，學(xué)會研究思考了，會自主學(xué)習(xí)了，自然有能力處理千變?nèi)f化的問題。

希望保姆式知識投喂服務(wù)的家長和同學(xué)，在這里就可以退場了。

吾生也有涯，而知也無涯，怎么辦

莊子講「吾生也有涯，而知也無涯」，這句話往往被用來激勵大家求知。

然而其原話，還有后面的部分：

吾生也有涯，而知也無涯。以有涯隨無涯，殆已！

他說，我們的生命是有限的，而知識是無限的。用有限去追逐無限，就完蛋了。

莊子提出了一個很現(xiàn)實的問題。

就像是應(yīng)考，那么多題你都要刷嗎？你多少時間夠嗎？

固然我們可以終生求知，但需要有更有效的辦法，來在「有限的求知」中追求「頂級的聰明」。

這里一個核心，在于「知識的含金量」。

知識含金量的5個等級

在學(xué)習(xí)中的普遍迷思，是平均用力。一個個的去攻克知識點、刷題型。

然而問題在于，這些知識的能量等級，可能是截然不同的。

就像有1分錢的鈔票、1塊錢的鈔票、100的鈔票、還有印鈔機。

大致來說，學(xué)渣攢1分錢的鈔票、普通學(xué)生攢1塊錢的鈔票、學(xué)霸攢100塊的鈔票。

而學(xué)神直接研究印鈔機原理，然后自己開印鈔機，生產(chǎn)鈔票（知識）。

這就需要建立在洞察本質(zhì)、真相的基礎(chǔ)上。

越是本質(zhì)的知識，越有更高的能量。

低階的知識點只能讓你解決已知問題，而本質(zhì)能讓你理解和解決未知問題。

我們可以把知識含金量分為5個層次：

• 一級知識（帥）：跨學(xué)科的、通用的洞察力和組織力
• 二級知識（將）：特定學(xué)科中，全局的洞察力與組織力
• 三級知識（官）：特定學(xué)科中，局部的洞察力與組織力
• 四級知識（精兵）：普通的知識
• 五級知識（普兵）：細枝末節(jié)

用前面十進制的案例：

• 簡化思維/以有限破無限的思想：一級知識（在各個領(lǐng)域都有全局指導(dǎo)作用）
• 遞歸思想：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的二級知識，至關(guān)重要的思維方式
• 十進制的概念、逢十進一的思想：算術(shù)領(lǐng)域的重要知識（三級知識），對算術(shù)表示和計算進行了至關(guān)重要的簡化
• 基于十進制的加減乘除計算法：四級知識
• 各種巧算技巧（例如湊十的竅算）：五級知識
• 各種加減乘除的具體題目（例如38+25=?）：五級知識

注意在前面，我把題目也放進知識里面了。無論是知識點還是題目案例，都屬于知識。

它們的指導(dǎo)關(guān)系大致是：

簡化思維（一級知識） -> 遞歸思想（二級知識） -> 十進制概念（三級知識） -> 基于十進制的加減乘除計算法（四級知識） -> 各種巧算技巧和具體題目（五級知識）

越前面的越高階，后面的更加具體化。

遞歸思想是一種形態(tài)的簡化，十進制概念是基于遞歸的簡化（總是逢十化一），有了十進制概念，才有基于十進制的加減乘除計算法，接下來會衍生出各種巧算技巧，可以解決具體題目。

排名靠前的是頂層大佬，最后的是基層小弟。

為什么同樣在學(xué)習(xí)，學(xué)神花的時間不一定有你多，但是頭腦卻持續(xù)的變得更聰明敏銳呢？

一個核心原因就是他們高階知識吸收得力。

例如同樣十進制，人家不僅僅是理解了這個概念，而且追根溯源學(xué)到了簡化的思維、遞歸的思想，進而用這些高階知識來觀察分析其它知識，以及研究思考解決復(fù)雜問題。

一二三級知識都消化了。

而大多數(shù)同學(xué)反過來，就在頻繁的掌握低階知識，尤其是在五級知識上花了大量時間。

例如各種巧算技巧啊，刷數(shù)以百計的計算題，例如38+25=?，788+123=?，看上去努力得要死。

老師也是，總是說「要多做題要熟練，巧算技巧要運用」。

這叫做「不見大佬，只見小弟」。

這種行為在職場上，就是你天天看見基層辦事員出場多（考試經(jīng)?？剂?xí)題經(jīng)常練），就圍繞基層辦事員轉(zhuǎn)，甚至跪舔覺得自己關(guān)系搞的很好。

然而組織的層次是什么，真正的大佬是誰都不知道。

認知差到這個程度，你再努力，用四川話說，「混得孬」不是很正常么。

你或者你家孩子，今天主要在什么知識層次上學(xué)習(xí)呢？

學(xué)習(xí)中的品味問題

談到學(xué)習(xí)，在英語中有兩個詞很有意思：taste（品味）和chemistry（感覺）。

喬布斯鄙視人經(jīng)常就是覺得「品味不夠」。

很多人覺得品味是個人偏好，其實品味代表著鑒賞能力。

就像同樣一盤菜、一瓶酒，有些人能夠從中鑒賞出更多的層次和感受，有些人就像豬八戒吃人參果，一口進胃不過舌頭。

整體來說，吃菜或者品酒能不能有足夠的品味，對人生沒有那么大的影響。當然你有更高的鑒賞能力，生活會多一些樂趣。

但是在學(xué)習(xí)上是否有足夠的鑒賞能力，可以說是影響整個人的層次的大問題。

品味差的人，容易丟了西瓜撿芝麻，甚至把垃圾當寶貝。對于高階知識和思想無動于衷，對于弱雞知識甚至錯誤知識反而盲從和大量時間。

在數(shù)學(xué)上，就是對其中偉大智慧的思想（密集于一級二級三級知識）漠視之，對刷題技巧這種細枝末節(jié)崇拜之。

例如在很多網(wǎng)紅課或者補習(xí)班上，會給出一些解題套路，這種套路其實很狹隘，題目換個馬甲就不行了。

但擋不住很多家長和學(xué)生覺得牛逼，哎呀一下就套出結(jié)果了。

品味差很可怕。

品味差的人，對高階知識、牛逼思想很容易缺乏感覺。

所謂感覺，這里對應(yīng)著英文的chemistry（化學(xué)反應(yīng)）。

chemistry這個詞，用在情感關(guān)系上，指的是戀愛的那種感覺。

其實對于學(xué)習(xí)知識也是，如果你鑒賞能力強，看到數(shù)學(xué)中那些知識，看到他們的聰明智慧，就容易產(chǎn)生感覺，有了對聰明的愛慕。

有了感覺和愛慕，那么學(xué)習(xí)就不再是吃苦，而是欣賞和享受。同時這些知識和思想，會在你的頭腦中消化生長。

我們看社會上有品酒會、品茶會，卻沒有品知識會。

本來教育應(yīng)當承擔這個「品知識」的功能，然而今天應(yīng)試教育就是喂豬，把知識一股腦直接扔給學(xué)生讓大家自己咀嚼，咀嚼出什么就看各人造化。

思考題：

1） 你或者孩子，在學(xué)習(xí)上的品味（鑒賞能力）如何？

2）你或者孩子，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，品味到的最重要的一級知識、二級知識、三級知識是什么呢？你對這些知識有什么感覺？你又如何應(yīng)用這些知識？它們?nèi)绾斡绊懥四悖?/span>

在數(shù)學(xué)開竅訓(xùn)練營中，一個重點的研討方向，就是知識的含金量，讓大家可以開始品知識，建立知識品味。

6周數(shù)學(xué)開竅計劃

在知識的開竅之后，接下來要做什么呢？

數(shù)學(xué)開竅訓(xùn)練營的整體規(guī)劃如下：

通過6個步驟，循序漸進的實現(xiàn)整體開竅。

關(guān)于這6個開竅具體的分析，請閱讀6小時數(shù)學(xué)開竅：6大難點6個療程全面開竅。