數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中明確提出：“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能?！边@一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時(shí)，也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想、化歸思想、類(lèi)比思想、歸納思想、分類(lèi)思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。

為了使廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中能很好地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進(jìn)行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用，以及了解每個(gè)思想方法的適當(dāng)拓展。

一、符號(hào)化思想

1. 符號(hào)化思想的概念。

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問(wèn)題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào)，才使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國(guó)際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，使數(shù)學(xué)成為國(guó)際化的語(yǔ)言。符號(hào)化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

2. 如何理解符號(hào)化思想。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，并提出了幾點(diǎn)要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。

第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)表示。這是一個(gè)從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過(guò)程。如通過(guò)幾組具體的兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號(hào)表示：a+b=b+a。再如在長(zhǎng)方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長(zhǎng)方形的面積公式，并用符號(hào)表示：S＝ab。這是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)模型化的過(guò)程。

第二，理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個(gè)從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過(guò)程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么4a就表示該正方形的周長(zhǎng)，a²表示該正方形的面積。這同樣是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)解釋和應(yīng)用模型的過(guò)程。

第三，會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，但數(shù)學(xué)符號(hào)不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車(chē)的行駛時(shí)速為定值80千米，那么該輛汽車(chē)行駛的路程和時(shí)間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)換的。

第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問(wèn)題。這是指完成符號(hào)化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。

3. 符號(hào)化思想的具體應(yīng)用。

數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長(zhǎng)的過(guò)程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)數(shù)字0~9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過(guò)幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號(hào)體系。

符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。

4．符號(hào)化思想的教學(xué)。

符號(hào)化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視，并落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中。要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。學(xué)生只有理解和掌握了數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進(jìn)行正確的運(yùn)算、推理和解決問(wèn)題。

數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)谘芯楷F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過(guò)程中產(chǎn)生的，它來(lái)源于生活，但并不是生活中真實(shí)的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個(gè)的物體的個(gè)數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運(yùn)算和推理證明，但如果沒(méi)有簡(jiǎn)捷的思想和符號(hào)的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡(jiǎn)捷的符號(hào)參與了運(yùn)算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性就體現(xiàn)出來(lái)了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn)行計(jì)數(shù)和運(yùn)算，由于這種計(jì)數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù)的四則運(yùn)算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨(dú)立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國(guó)際化的過(guò)程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號(hào)從各自獨(dú)立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國(guó)數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過(guò)程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號(hào)的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符號(hào)是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個(gè)慢長(zhǎng)的過(guò)程。因而，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)也應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，并需要一定的訓(xùn)練才能達(dá)到比較熟練的程度。