頂尖學(xué)生的兩種超能力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，頂尖學(xué)生擁有兩種超能力：
這兩種超能力源于兩種高階思維：
而大多數(shù)同學(xué)恰恰相反。他們在數(shù)學(xué)上花費大量時間，卻只能：
當(dāng)遇到?jīng)]見過的復(fù)雜問題，他們往往束手無策。隨著學(xué)習(xí)深入，知識體系越來越搖搖欲墜。 要實現(xiàn)數(shù)學(xué)的開竅，關(guān)鍵就在于掌握這兩種思維方式：
為什么學(xué)習(xí)努力效果欠佳暑假我回老家，跟親戚一塊吃飯。 我外甥在讀小學(xué)五年級，周末還要上奧數(shù)班。 我們在去飯店的車上，進行了友好的交流。 我問他奧數(shù)班都在教什么呀，他說教了雞兔同籠。 我問那么到底老師怎么教的呢。 老師教了他們，這種題目要用假設(shè)法。先假設(shè)都是雞或者兔子，看有多少腿。然后再比較差異。 那么為什么要用假設(shè)法呢？ 小朋友說：「這個老師就沒教了」。 作為一個從小熱愛學(xué)習(xí)但反感應(yīng)試教育的人，我人生最喜歡吐槽的就是愚蠢的教育體系。 學(xué)生菜菜一個，老師菜菜一班。 前面我們談到應(yīng)試學(xué)習(xí)兩板斧：
大多數(shù)老師教學(xué)生就是這兩板斧。 例如這個奧數(shù)班，老師教了大家「假設(shè)法」這個知識點，要大家記住可以用它來解決雞兔同籠類問題，知識灌輸?shù)轿弧?/p> 接下來嘛，那就是給題目讓同學(xué)們刷了，形成條件反射。這樣將來「看到雞兔同籠類問題」就知道用「假設(shè)法」。 以前網(wǎng)上有過非常激烈的爭論，說小學(xué)生要不要學(xué)奧數(shù)。 理論上，如果有善于引導(dǎo)的老師，奧數(shù)可以幫助實現(xiàn)「數(shù)學(xué)開竅」。 但理想豐滿，現(xiàn)實骨感，大多數(shù)老師能把任何以思考為目的的科目搞成刷題應(yīng)試。 用簡化思維來研究解決復(fù)雜的未知問題我問外甥說：「你覺得為什么呢（用假設(shè)法）」 他想了想說不知道，問我為什么。 老師這種教法，其實就是用「已知知識解決已知問題」。先讓大家見到了雞兔同籠的題型，然后講了知識點假設(shè)法，讓大家以后套用這個知識點來解決該題型。 然而，如果是以「解決未知問題」為起點，運用簡化思維來搞定這個復(fù)雜問題，那就完全不用了。 例如我們看到題目：
用「解決未知問題」的思路：
在簡化問題過程中形成知識演化回到前面兩種思維：
從解決問題的角度，運用簡化思維，即使我們沒有見過雞兔同籠，沒有學(xué)過「假設(shè)法」，最終也能夠推導(dǎo)出結(jié)論。 從形成知識體系的角度，在這個推導(dǎo)的過程中，其實我們自己就自然的用了假設(shè)，在事后可以總結(jié)提煉出「假設(shè)法」。 這里我們可以看出，「用簡化思維解決問題」和「用演化思維建構(gòu)體系」，很多時候是聯(lián)系在一起的。 當(dāng)我們嘗試去解決復(fù)雜問題的時候，往往在推導(dǎo)過程中就會產(chǎn)生創(chuàng)造出一些新的知識。這樣知識體系就開始了演化成長。 刷題記憶的知識是負債，研究推導(dǎo)的知識才是資產(chǎn)自己研究產(chǎn)生的知識，以及推導(dǎo)的思路，才是真正自己的知識資產(chǎn)。 而從老師那里直接灌輸來的，更像是一種負債?？瓷先タ赡艹煽儾诲e，然而是借來的。 從這個角度，學(xué)校灌輸刷題導(dǎo)向的教育，很像是給學(xué)生發(fā)債來壯大資產(chǎn)表。當(dāng)大潮退去的時候，就裸泳了。 用已知知識解決已知問題，那是復(fù)制。 用已知知識解決未知問題，那是創(chuàng)新。 就像假設(shè)法，哪怕世界上已經(jīng)存在。但是當(dāng)學(xué)生用自己的思考去解決問題，把他們研究出來之后，也就自己干了一遍創(chuàng)新的過程。 如果在學(xué)習(xí)中就有大量的研究創(chuàng)新活動，在工作中研究創(chuàng)新也就很自然。 同樣的，在學(xué)習(xí)中就是復(fù)制黏貼，那么工作往往也是如此了。 普通學(xué)生搬知識，頂尖學(xué)生種知識家長、老師經(jīng)常激勵學(xué)生，努力學(xué)習(xí)。 然而，「努力」只是投入的成本，而不是收益。 決定投資收益的上限的，首先是學(xué)習(xí)模式。 有兩種類型的學(xué)習(xí)模式：
絕大多數(shù)學(xué)生，都是干的物流行業(yè)。 而最頂尖的學(xué)生，課內(nèi)花的時間少、很少刷題，然而理解通透效果好。 換句話說，他們學(xué)習(xí)的投資收益相當(dāng)高，用少量的時間精力，就能有高產(chǎn)出。 而這批人，也正好是頂尖的學(xué)校，最想要的那種學(xué)生。 他們干的，是種植業(yè)。 在物流業(yè)模式中，學(xué)生搬運知識。比如老師講一個知識點，他們就要記一個知識點，然后各種刷題嘗試掌握。 然而在種植業(yè)模式中，卻有根本性的差異。 學(xué)習(xí)通透善于舉一反三那批學(xué)生，他們的知識，整體來說并不是搬運過來的，而是播種之后，自然生長出來的。 對他們而言，大致是：
當(dāng)其它學(xué)生忙于來回搬運，中間還各種掉鏈子的時候；種植從業(yè)者，往往是晃悠在自己的知識田地里，哼著小曲唱著歌，看著自己的知識們，曬著太陽茁壯成長。當(dāng)然，他們還是需要澆水、施肥之類的，但當(dāng)知識數(shù)量上漲到100以上，這個勞動量比起搬運工，那是小多了。 如何種知識？通過推導(dǎo)邏輯實現(xiàn)知識體系演化生長我們在小學(xué)入門階段，會遇到一個超級難點：「十進制」。 整體來說理解0-9比較容易，因為有手指頭這個我們自帶的形象化工具對應(yīng)。但是10，等等，為什么10根指頭成了這個樣子了？ 小朋友們會普遍懵逼，例如「11」，為什么兩個1意義不一樣？ 那個亂啊。 事實上，家長和老師也會想辦法幫助小朋友理解，還形象聯(lián)系實際，但娃還是糊涂。 這里關(guān)鍵問題在于，按照課本和上面的教法，十進位這個知識點，看上去就像是從天上掉來的。沒有為什么，就得學(xué)會。它不是一個自然生長長出來的知識點。 而十進制理解不透徹，后續(xù)各種知識都會有問題，例如加減法尤其是涉及到進位情況。 可以說小學(xué)一二年數(shù)學(xué)，踩的很多坑，都跟不理解十進位有直接關(guān)系。 如果以「知識體系的自然生長演化」為導(dǎo)向，我們應(yīng)該如何引導(dǎo)小朋友學(xué)習(xí)呢？ 簡化思維：尋找比「為每個數(shù)創(chuàng)造一個符號」更簡單的方案那又要回到「簡化思維」了。 「簡化和演化」這兩種思維就是一對佳偶。 從簡化的角度讓我們思考啊，從零到九，我們用了十個數(shù)字表示（0-9）。 那么接下來呢？難道每增大一個數(shù)目，我們就要為它創(chuàng)造一個新的符號？這樣下去什么時候才是頭??？ 甚至你可以引導(dǎo)小朋友嘗試走一下這個路線，看看大家能創(chuàng)造多少個符號出來。 但顯然，這種方式是不可持續(xù)的。越到后來符號越多也就越復(fù)雜。 換句話說：「為每一個數(shù)字創(chuàng)造一個符號」的方式因為復(fù)雜性，不可持續(xù)。我們需要找到一個更加簡潔高效的數(shù)字表達機制。 簡化思維：如何用0-9表示所有的數(shù)字如何才能更簡單呢？ 已知：我們已經(jīng)創(chuàng)造理解了0-9這十個符號，而且借助于手指這個自帶形象化工具，理解十以內(nèi)的數(shù)相對比較容易。 那么，思考一下：
這樣一來，就實現(xiàn)了「用已知的知識來解決未知的問題」。 順著這個思路，如果我們要表示所有的數(shù)字。0-9可以直接表示，十根手指頭如何表示呢？ 簡化思維：逢十化一（十進制知識點的產(chǎn)生）0表示沒有，所以不能用0。接下來，就應(yīng)該是1，我們能否嘗試把十又變成1呢？ 這就產(chǎn)生了「十進制」這個知識點。 同時，「逢十進一」這個動作，我們稱之為「進位」。 這個1和以前的1肯定不一樣。 但這樣說太抽象了，又形成了復(fù)雜性難以理解。簡化思維繼續(xù)出場，如何能夠簡化我們的認知和理解呢？那就需要形象化。 從形象化的角度，類似于我們把10根棍子捆在一起，會形成一個更大的1?；蛘哂檬种傅慕嵌?，類似于把兩個手掌合攏在一起（10根手指），同時又是一個整體。 繼續(xù)類推，如果有了10個10根在一起的棍子，又可以綁在一起形成更大的1。 這樣對一堆棍子，總能變成1-9的數(shù)量（基于不同的單位）。 這樣就從形象化的角度，解決了用0-9表示所有的數(shù)的問題（當(dāng)然，一年級我們范圍在自然數(shù)內(nèi)）。 簡化思維：「位」的概念的誕生但是問題沒完，我們最后還要用數(shù)字表示。有些「1」顯然單位更大，有些「1」單位更小，如何用數(shù)字來表示呢？ 這就是「為了解決一個問題可能會產(chǎn)生新的問題」。 那么從直觀的角度，可能有不同的方案。例如，我們可以把表示單位的，和表示數(shù)量的對應(yīng)起來，做成表格。用形象化的符號表示單位是棍，還是捆，甚至捆的捆。  如果沒有順序的話，可能比較混亂。為了簡化，我們規(guī)定，單位最小的在最右邊（也就是1根的），接下來是10根一捆的......我們就很有秩序了。 就像班級排座位一樣，最瘦的最右邊，大家都有了自己的位置。這是數(shù)的位置，那就引出了「位」的概念知識點，進而有了對常見位的稱呼「個位」、「十位」、「百位」。  這種表示很完整，但占的地方大啊。 因為位是按照順序固定的，所以我們熟悉之后，就可以去掉對位的形象化表示，和文字表示了，直接用數(shù)字「21」啦。這樣進一步簡化之后，就得到了我們?nèi)粘５氖M制表示法。 總結(jié)：簡化和演化如何產(chǎn)生十進制知識回到「簡化和演化」上，總結(jié)一下我們的這個學(xué)習(xí)過程。 1）通過簡化來解決復(fù)雜問題 為了解決「為每個數(shù)字創(chuàng)造一個符號」這個復(fù)雜的不靠譜的方案，我們想要產(chǎn)生更簡潔的解法：「用0-9這十個已知數(shù)字表達所有的數(shù)」。最終成功的利用十進制來達成了這個目標(biāo)。 同時，因為數(shù)字本身抽象難以理解，為了簡化認知，我們采用了形象化的策略，用「棍子和捆」來表達數(shù)和進位。 還有，通過引入對照表，來更直觀的理解位和數(shù)，最終完成對抽象十進制數(shù)字的形象認知。 最后，簡化掉數(shù)位的名稱等信息，直接用數(shù)字表示，而數(shù)字的相對位置則表達了其單位。 如果我們?nèi)粘Ｊ沁@樣的學(xué)習(xí)，那么在解題和課本知識的學(xué)習(xí)中，就已經(jīng)學(xué)到了一系列的簡化思想、方法和經(jīng)驗案例，未來遇到復(fù)雜問題，也就更容易簡化了。 然而在學(xué)校教育中，關(guān)于十進制上來就是灌輸知識，連十進制到底解決什么問題這個背景都沒有，更別說整個推導(dǎo)思路簡化邏輯了。 所以啊，很多同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績可能以開始還不錯，到了初中或者高中某個階段，才往下掉并且很難回復(fù)。但他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題，從小學(xué)就開始了。 習(xí)慣了死記硬背和反復(fù)刷題，無非是知識體系復(fù)雜度不高的時候，刷還可能掩蓋問題。 要學(xué)透數(shù)學(xué)，必須從思維方式入手。 2）通過演化來形成知識體系 前面這個解決問題的推導(dǎo)過程，同時也就是數(shù)學(xué)知識體系演化的過程。 首先，我們的起點是「0-9」這十個已知的數(shù)學(xué)符號，以及關(guān)于0-9數(shù)字的知識。 圍繞「如何利用0-9表示所有的數(shù)字」這個問題，我們產(chǎn)生了「逢十進一」的思路，「十進制」這個知識點誕生了。 在數(shù)學(xué)歷史上，這個知識點也是一項偉大的發(fā)明。 而要落實「十進制」，我們需要「逢十進一」，這個動作也就引發(fā)了「進位」這個知識點。 而為了更簡潔的用數(shù)字表示不同的單位，我們就有了「位」的概念，進而基于「位」的概念，給常見的位取名為「個位」、「十位」、「百位」等。 概括的說，這條知識演化線是：
從這個案例角度，[0-9的數(shù)和阿拉伯?dāng)?shù)字]就是知識的種子，[如何利用0-9表示所有的數(shù)字]就是陽光和水分，[十進制]就長出的一個樹枝，[進位]、[位]、[個位/十位/百位]更像是分支和花果。 從更大的視角來看，順著十進制還會長出新枝，例如十進制的加減法。 這種基于推導(dǎo)邏輯，建立在已知的知識之上長出來的知識，才是我們自己的。 規(guī)模是壞學(xué)習(xí)的敵人，是好學(xué)習(xí)的朋友從投資眼光看生意的好壞，有一個重要的標(biāo)準(zhǔn)，那就是規(guī)模對生意，意味著什么。 一家小飯店，口味很好。但如果開第二家，廚師不行，品質(zhì)大幅度下降。這對于投資來說，就是巨大的問題，規(guī)模是生意的敵人。 而對于早期發(fā)展的淘寶，當(dāng)市場規(guī)模增加，商鋪更多、客戶更多，淘寶體系就變得越來越有價值了。規(guī)模，是淘寶的朋友。 千億美金萬億美金市值的公司，往往規(guī)模是他們的朋友。 對于物流型學(xué)習(xí)模式，規(guī)模是一個敵人。 在小學(xué)，知識相對少的時候，靠搬運、刷熟練度，在成績上可以「看上去還行」。 然到了初中，概念逐漸密集，部分熟練搬運工就開始變得有些吃力，因為規(guī)模上去之后，尤其是知識之間的關(guān)系、復(fù)雜化上升，題型變得多樣，為了維持熟練度需要的精力，就大幅度增長。 而到了高中，學(xué)科知識點更多更加抽象，題型變化更多，加上以前的積累欠賬，這種規(guī)模上的復(fù)雜性甚至可能是指數(shù)增長，那搬運工可能就崩潰了。 所以經(jīng)常有人說，我家小孩小學(xué)好好的，初中怎么就不行了?；蛘叱踔羞€可以，但是高中怎么就不行了。 這就跟小飯店擴張一樣的，你的模式不足以支持在規(guī)模拓展的情況下，維持原有質(zhì)量水平?；蛘呤?，在規(guī)模上升情況下，為了維持原有質(zhì)量水平（哪怕那個水平不算高），付出的成本會急劇上漲，擊穿了你的承擔(dān)能力。 然而對種植業(yè)大佬來說，知識體系的規(guī)模效應(yīng)，是他們的朋友。 因為知識體系越強，知識之間的協(xié)同效應(yīng)就越明顯，而且知識產(chǎn)生新知識的能力就越高。 換句話說，對于種植業(yè)大佬，同時會從幾個方面受益： 1）網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)：節(jié)點越多鏈接越密切，知識網(wǎng)絡(luò)就越強大，越容易吸收新事物，學(xué)習(xí)起來也容易舉一反三融會貫通 2）知識復(fù)利效應(yīng)：知識自身能夠生產(chǎn)創(chuàng)造知識 3）簡化思維：遇到未知復(fù)雜問題也可以有效利用已有知識進行簡化解決，同時拉動知識體系的演化成長 4）上述三者會大幅度強化知識網(wǎng)絡(luò)自身的進化速度 我們看學(xué)神級別的人，越到后來，他們知識面越廣、經(jīng)驗越多樣，很容易快速理解別人的想法，把他們的知識轉(zhuǎn)化為自己的能力。甚至感覺根本難以超越。 用「邊際效應(yīng)」的理論總結(jié)，對于物流搬運工而言，他們的學(xué)習(xí)投入，邊際效應(yīng)是遞減的。隨著知識體系的規(guī)模上升，他們用同樣的投入，往往會得到更差的結(jié)果。因此被迫加大投入，卷入學(xué)習(xí)軍備競賽。 而對于種植業(yè)大佬而言，他們的學(xué)習(xí)投入，邊際效應(yīng)是遞增的。因此在知識體系規(guī)模擴大的時候，他們要么花同樣的學(xué)習(xí)時間得到更高的成果，要么干脆就降低課內(nèi)的學(xué)習(xí)投入，依然能保持高水平，反正對他們已經(jīng)足夠了。 知識體系的自主可控之所以規(guī)模是種植業(yè)大佬的朋友，跟從一開始，他們就走知識的內(nèi)生成長路線，有密切關(guān)系。 打個比喻，種植業(yè)學(xué)神一開始，就走了「學(xué)習(xí)消化先進經(jīng)驗，立足自力更生」的國產(chǎn)化路線，實現(xiàn)了工業(yè)體系（知識體系）的自主可控，因此才能在上規(guī)模的情況下，依然管理住規(guī)模的復(fù)雜度。 而物流搬運工，是依賴于外部的知識輸入，自己本身缺乏對知識體系的掌控。越到后來越復(fù)雜，知識體系中各種環(huán)節(jié)就容易掉鏈子，而且這個修復(fù)速度很慢。因為自身缺乏掌控，可能連問題都不清楚在哪里，依賴于可獲得的外界資源。 有次我跟一位媽媽聊天，她兒子初三還有幾個月畢業(yè)，基礎(chǔ)知識還是很不牢固。 學(xué)校已經(jīng)到第二輪復(fù)習(xí)了，但是他基本知識點都沒有掌握。每天做著各種試卷，聽老師講（試卷中的題目難度對他太高，又聽不太懂），壓力非常大。 這時候正確的策略，應(yīng)該是整體放棄學(xué)校的進度（除非自己跟得上的科目），而是自己先把基礎(chǔ)知識點夯實。 然而小孩很怕，覺得這樣老師會不喜歡；家長也覺得這樣不對，但又沒辦法。 單純從學(xué)習(xí)的角度，這里的問題是，到這個時間點，娃已經(jīng)失去對知識體系的自主掌控了，對外界更有依賴性。但學(xué)校老師又要照顧多數(shù)人，根本就顧不上來他的情況。 所以哪怕天天刷題，但收效有多少難說，而且各種心理和生理壓力。 從心理層面來說，這種搬運工模式，心理上從一開始，就沒做好「自力更生」的準(zhǔn)備。 因此，哪怕是學(xué)校進度高度不適合，小孩也盲目被動跟隨，缺乏「我要走自己的道路」的決心。 這就是知識體系整體「產(chǎn)業(yè)鏈」的依賴性，在物流業(yè)模式下，這個問題普遍存在。 心理層面上，搬運工模式的學(xué)習(xí)，往往存在軟弱性，認為「造不如買」，缺乏對主動思考、內(nèi)生知識體系建構(gòu)的決心，沒懂就補課、不會就刷題、解題沒思路就用解題app拍個照看答案。 天天盲目刷題，周末各種補習(xí)，看上去很努力，其實往往是心理軟弱性的表現(xiàn)。因為放棄了自己的思考、掌握責(zé)任。 對于知識搬運工，往往期望的是別人「代替自己解決問題」。 而對于知識種植者，則是學(xué)習(xí)別人，借助他們的幫助，自己來解決問題。 在物質(zhì)領(lǐng)域，「我要把你的，變成我的」，這是搶劫。 然而在知識領(lǐng)域，「我要把你的，變成我的」，這種強烈的決心，卻是成長的重要因素。 在學(xué)習(xí)上，只有在種植業(yè)路線中，才是真正貫徹這一思想的。因此哪怕是外界已有的知識，最終還要在自己頭腦中，從頭建構(gòu)。 水平低最大的問題是缺乏判斷力胡亂決策有一年春節(jié)，我回老家。 表妹在讀高二，春節(jié)放假的，每天早上6點多就出門要去補習(xí)了。 說努力吧，很努力。 然而效果呢？ 她那段時間補課，下午才回來。有一天下午放學(xué)后，我問她每天補課都在干嘛。 她說主要是做試卷，我說，你試卷中的錯題做三道給我看看。 她做的時候，我就一直在看。 我發(fā)現(xiàn)，她在做題的時候，有好幾次會停頓比較長的時間，或者是改來改去。比如在分式化簡的時候，就會猶豫、涂改。 做完了三道題，我叫停然后問她：「你覺得你錯在哪里」。 她就指著正確答案對我說，本來是這個，我做錯了。 我就問她：「你覺得還有什么問題嗎？」 她說不出來了。 我就跟她說，「你在分式化簡的時候，比較猶豫，中間還改了好幾次。雖然有些時候勉強做對了，但說明這個知識點你沒有掌握?！?/p> 分式化簡這個知識點，是初中的內(nèi)容。到高二了，她還是沒有掌握。同樣的，還有其他的欠賬。 看上去在解題，然而她缺乏對自己解題過程的觀察、反思能力，沒看到自己的停頓、猶豫、糾結(jié)意味著什么問題。 這些猶豫、停頓、糾結(jié)的信息，以及背后意味著的初中知識點問題，沒法看到。 我看她做三道題目，就發(fā)現(xiàn)她在初中好幾個知識點有問題。而且因為初高中知識體系的連貫性，這些地方不牢靠，意味著后續(xù)的一系列知識點也會存在問題。 那么，從戰(zhàn)略層面來講，鑒于她基礎(chǔ)知識體系的問題，現(xiàn)在根本不應(yīng)該刷更高難度、更綜合的題目。而是需要回歸到初中那些基礎(chǔ)知識領(lǐng)域，進行鞏固。搞扎實了再繼續(xù)。 她每天在補課，但是看起來有效思考量幾乎為零。 這是學(xué)習(xí)水平低最大的問題：缺乏判斷力。 因為缺乏對局面的精準(zhǔn)判斷，難以對復(fù)雜的形勢做有效的簡化，很容易頭疼醫(yī)頭、腳疼醫(yī)腳，甚至頭疼醫(yī)胳膊。 診斷都不到位，胡亂開藥，往往就是帶來更大的問題。 歸根到底，回到應(yīng)試學(xué)習(xí)的兩板斧：
這兩板斧都是停留于表面，難以形成智慧，自然也就缺乏判斷力。 先提升見識，再努力實踐關(guān)于重大的決策和選擇，我有個樓層法則。 我覺得很多事情就像爬樓，如果我今天在2樓，我的下一次選擇至少要上5個樓層，如果到10樓、20樓更好。 因為見識這個東西，很多時候不是努力可以彌補的。我們在100樓的時候，即使是躺著，視野也比2樓跳起來要高。 很多人看上去努力，但他們永遠在一個樓層，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，所以成長很慢，甚至是停滯。 比如你你天天刷題、看上去忙碌，永遠在盲目應(yīng)試的思路里打轉(zhuǎn)。總覺得要努力、努力、在努力。 然而頂尖的人，牛逼在于生產(chǎn)力的暴打，而不是盲目努力。 無論你是家長、老師還是學(xué)生，你要做的，是讓自己的見識層面，跟上頂尖水平。 開啟你的數(shù)學(xué)開竅之旅數(shù)學(xué)這門學(xué)科，其重要性在于，它不僅是讓人掌握數(shù)學(xué)知識，更重要的是發(fā)展思維能力，提升智慧。 在過去的內(nèi)容中，我們看到了兩種截然不同的學(xué)習(xí)模式：
我們也理解了頂尖學(xué)生的兩種核心思維：
然而，理解是第一步，轉(zhuǎn)變才是關(guān)鍵。 在接下來的8小時課程中，我將通過一個完整的知識體系推導(dǎo)案例，從最基礎(chǔ)的0-9的數(shù)開始，一步步推導(dǎo)出算術(shù)和代數(shù)核心知識脈絡(luò)。具體包括：
在這個過程中，你將看到：
更重要的是，你將加入一個充滿智慧的學(xué)習(xí)社群。在這里：
記住，真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：
當(dāng)然，8小時的時間是非常有限的。我的目的不是給你講解所有的知識，而是給你足夠的啟迪和引導(dǎo)，讓你領(lǐng)悟開竅之后，可以開始自己的研究、消化和創(chuàng)造。 科學(xué)家丁文江說：
讓我們一起，開啟這段數(shù)學(xué)開竅之旅。 |
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