在實分析和復(fù)分析的數(shù)學(xué)研究中，經(jīng)常出現(xiàn)XX空間等詞，有些朋友可能會好奇了，這里的空間和我們現(xiàn)實生活中的空間有關(guān)嗎？

別著急，我們們先從簡單的集合說起。

笛卡爾積

笛卡爾積的定義是這樣的：兩個集合A，B，定義A與B的笛卡爾積為｛（a，b）|a∈A，b∈B｝，記作A×B。如果A和B是同一個集合，也可以簡寫為A^2。

舉個例子，一個集合A是｛1，2，3｝，一個集合B是｛1，2｝，則A×B為｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）｝也就是一個數(shù)對中，第一個數(shù)是A中的任意數(shù)，第二個數(shù)是B中的任意數(shù)，所有的這樣的數(shù)對組成的集合就是A×B。

n維歐幾里得空間

n維歐幾里得空間需要兩個東西

1. R^n。這里的R是指實數(shù)集，R^n的實質(zhì)就是｛（_，_，_，_………）｝里面共n個空位，每個位置任意填一個實數(shù)構(gòu)成的所有數(shù)對組成的集合

2.度量（以及誘導(dǎo)出它來的歐幾里得范數(shù)），就是對距離的定義。這里我們不多討論，我們只說一說歐幾里得空間中的度量。我們定義點A（a1，a2，……an）與點B（b1，b2，……bn）之間的歐幾里得度量（其實就是距離）為√（

a1-b1）^2+（a2-b2）^2+……+（an-bn）^2。而范數(shù)就是一個點到原點的距離。細心的朋友可能注意到了，平面直角坐標(biāo)系就是二維歐幾里得空間，因為它的每個坐標(biāo)都是實數(shù)，同理，空間立體坐標(biāo)系就是三維歐幾里得空間，而歐幾里度量就是兩點間的距離。

我們都知道這是立體坐標(biāo)系，但是我們現(xiàn)在知道了他的新身份：三維歐幾里得空間

其他的空間

歐幾里得空間的性質(zhì)雖然很好，但他太特殊了，我們研究的并不總是歐幾里得空間，接下來我來介紹一種最普遍，最一般的空間，線性空間（也叫向量空間，英文名vector space）。他的定義如下：

設(shè)V是一個非空集合，P是一個域。若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應(yīng)于V內(nèi)惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數(shù)量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應(yīng)V內(nèi)惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負(fù)元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當(dāng)P是實數(shù)域時，V稱為實線性空間.當(dāng)P是復(fù)數(shù)域時，V稱為復(fù)線性空間。順帶一提，在介紹歐幾里得空間時我說的度量和范數(shù)并不是所有線性空間都存在的，若存在度量，則稱為度量限行空間；若存在范數(shù)，則稱為賦范線性空間。

看的有些吃力的朋友可以跳過，在以后的學(xué)習(xí)中你將會對各種空間有種直觀的認(rèn)識。

實變函數(shù)的序言基本就到這里了，這三節(jié)課是為了沒有學(xué)過數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)中的前置知識的讀者準(zhǔn)備的，下節(jié)課我們會真正開始進行實變函數(shù)的學(xué)習(xí)。沒關(guān)注的朋友可以關(guān)注一下我以防以后找不到我