希爾伯特空間（Hilbert space）指的其實(shí)就是完備的內(nèi)積空間（Complete inner product space），兩者同義。而非完備的內(nèi)積空間又稱(chēng)為準(zhǔn)希爾伯特空間（pre-Hilbert space）。

那么顯然就有如下關(guān)系：

即希爾伯特空間是一種特殊的內(nèi)積空間，其特殊性就體現(xiàn)在其完備性上，因?yàn)橐粋€(gè)內(nèi)積空間不一定是完備空間。

那么，這其中包含有兩個(gè)概念，即：“完備空間”和“內(nèi)積空間”。而兩者的交集即為“完備的內(nèi)積空間”。下面分開(kāi)進(jìn)行解釋。

在數(shù)學(xué)分析中，完備空間又稱(chēng)完備度量空間或稱(chēng)柯西空間（Cauchy space）。如果一個(gè)度量空間  中的所有柯西序列都收斂在該空間  中的一點(diǎn)，則稱(chēng)該空間  為完備空間。^[2]

這個(gè)定義中又涉及到兩個(gè)的概念，即“度量空間（Metric space）”和“柯西序列（Cauchy sequence）”。

在數(shù)學(xué)中，度量空間是個(gè)具有距離函數(shù)的集合，該距離函數(shù)定義集合內(nèi)所有元素間之距離。此距離函數(shù)被稱(chēng)為集合上的度量。度量空間中最符合人們對(duì)于現(xiàn)實(shí)直觀理解的是三維歐幾里得空間（Euclidean space）。^[3]

這里的“距離”是一個(gè)抽象概念，不僅僅指兩點(diǎn)間的直線(xiàn)距離，還包括向量距離、函數(shù)距離、曲面距離等。定義為：

設(shè)  是一個(gè)非空集合，對(duì)中任意兩點(diǎn)  ，在度量  的作用下，有一實(shí)數(shù)  與該兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)且滿(mǎn)足：

1. 正定性：  ，且  當(dāng)且僅當(dāng)  成立;

2. 對(duì)稱(chēng)性：  ;

3. 三角不等式：   .

那么就稱(chēng)  為中的一個(gè)距離（度量），稱(chēng)為一個(gè)對(duì)于度量  而言的度量空間。

在數(shù)學(xué)中，柯西序列、柯西列、柯西數(shù)列或基本列是指這樣一個(gè)數(shù)列，它的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近。任何收斂數(shù)列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。^[4]

前面提到“如果一個(gè)度量空間  中的所有柯西序列都收斂在該空間  中的一點(diǎn)，則稱(chēng)該空間 為完備空間?！?/span>

可以把實(shí)數(shù)和有理數(shù)作為具體的例子。

由實(shí)數(shù)  定義的序列在通常定義的距離意義下是完備的。

而由有理數(shù)  定義的序列在通常定義的距離意義下則不是完備的。例如一個(gè)由有理數(shù)構(gòu)成的序列：

  ， ，即  。可以用巴比倫方法^[5]證明其結(jié)果收斂于  。

說(shuō)了這么多，用一句通俗但不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑?huà)來(lái)表達(dá)就是：通常見(jiàn)到的空間中，實(shí)數(shù)空間是完備空間。

指的是添加了一個(gè)“運(yùn)算方法”（或稱(chēng)“結(jié)構(gòu)”）的向量空間（或稱(chēng)為“線(xiàn)性空間”，兩者同義），這個(gè)新添加的運(yùn)算方法即“內(nèi)積（Inner product）”又稱(chēng)“標(biāo)量積（Scalar product）”或稱(chēng)“點(diǎn)積（Dot product）”。內(nèi)積將一對(duì)向量與一個(gè)純量連接起來(lái)，允許我們嚴(yán)格地談?wù)撓蛄康摹皧A角”和“長(zhǎng)度”，并進(jìn)一步談?wù)撓蛄康恼恍浴?sup data-text='Inner product space' data-url='https://en./wiki/Inner_product_space' data-numero='5' data-draft-node='inline' data-draft-type='reference' data-tooltip='Inner product space https://en./wiki/Inner_product_space' data-tooltip-preset='white' data-tooltip-classname='ztext-referene-tooltip'>[6]

這其中又涉及了“向量空間（Vector space）”的概念。

而且，內(nèi)積空間具有基于空間本身的內(nèi)積所自然定義的范數(shù)，， 且其滿(mǎn)足平行四邊形定理，也就是說(shuō)內(nèi)積可以誘導(dǎo)一個(gè)范數(shù)，所以?xún)?nèi)積空間一定是“賦范空間”。這其中又涉及了“賦范空間（Normed vector space）”的概念。

一步一步來(lái)，先說(shuō)說(shuō)向量空間（或稱(chēng)“線(xiàn)性空間”，兩者同義）。

一般向量空間的定義如下：布于一個(gè)域  （例如，實(shí)數(shù)域 、復(fù)數(shù)域  ）的向量空間 是由向量組成的一個(gè)集合，并賦予該集合向量與向量之間的加法：  ；以及標(biāo)量與向量之間乘法：  。向量  之和為   ，向量  與標(biāo)量  之積為  。向量空間中向量加法與標(biāo)量乘法運(yùn)算滿(mǎn)足：

1. 加法交換律：     ；

2. 加法結(jié)合律： ( ) ( )  ；

3. 向量單位元：存在唯一的  使得     ；

4. 逆元：存在唯一的  ，使得    ;

5. 向量分配律：對(duì)于  ,  ;

6. 標(biāo)量分配律：對(duì)于  ,  ;

7. 結(jié)合律：對(duì)于 ;

8. 標(biāo)量單位元：對(duì)于 .

因此，向量空間實(shí)質(zhì)上是一個(gè)加法可交換群  附加了一個(gè)運(yùn)算，該運(yùn)算將每一個(gè)標(biāo)量  與向量  的乘積指定為一向量  ，且該向量  . 可見(jiàn)，向量空間的定義中并不包含向量與向量之間的乘法。

而這也是正是內(nèi)積作為區(qū)別內(nèi)積空間與一般向量空間的附加條件的原因。這也是為什么內(nèi)積空間包含三個(gè)運(yùn)算：向量與向量之間的加法，標(biāo)量與向量之間的乘法，以及向量與向量之間的乘法。

在了解了向量空間的基礎(chǔ)上，再反過(guò)頭來(lái)，補(bǔ)充一下賦范空間的概念和這幾個(gè)空間之間的關(guān)系。由于賦范空間定義在向量空間的基礎(chǔ)之上，所以也稱(chēng)為線(xiàn)性賦范空間，簡(jiǎn)稱(chēng)賦范空間。注意，前面提到，向量空間就是線(xiàn)性空間，兩者同義。

范數(shù)常常被用來(lái)度量某個(gè)向量空間（或矩陣）中的每個(gè)向量的長(zhǎng)度或大小。其定義是：

設(shè)  是布于一個(gè)域  （例如，實(shí)數(shù)域 、復(fù)數(shù)域  ）的向量空間，函數(shù)  作用于，且滿(mǎn)足條件：

1. 正定性：對(duì)  ；且  當(dāng)且僅當(dāng)；

2. 齊次性：對(duì)，有  ;

3. 三角不等式：對(duì)  ，有   。

稱(chēng) 是上的一個(gè)范數(shù)，定義了范數(shù)  的向量空間  稱(chēng)為（線(xiàn)性）賦范空間。

通過(guò)將賦范空間和上面的度量空間相比較，可知“范數(shù)”與“距離”之間的區(qū)別有：

1. 距離（或稱(chēng)“度量”）是定義在任意非空集合上的，而范數(shù)則定義在向量空間上；

2. 在向量空間中，范數(shù)可以誘導(dǎo)距離（或稱(chēng)“度量”），反之不成立，這也意味著賦范空間一定屬于度量空間;

3. 范數(shù)的“齊次性”表明范數(shù)可以看做是強(qiáng)化后的距離概念。

下圖顯示了幾個(gè)空間之間的包含關(guān)系：^[7]