歐幾里得空間與希爾伯特空間

理發(fā)師悖論 2019-07-15

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多年以前學信號與系統(tǒng)的時候就聽說過希爾伯特空間，但是一直不清楚這究竟是個什么東西，然而它卻老是時不時在你學得最歡的時候冒出來搞得人一頭霧水，于是今天專門花了很多時間總算對其概念有了一些基本的了解。本文整理自上海交通大學王維克教授的公開課，課程鏈接附在文末。

歐幾里得空間，希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬于函數(shù)空間。函數(shù)空間 = 元素規(guī)則，即一個函數(shù)空間由元素與 元素所滿足的規(guī)則 定義，而要明白這些函數(shù)空間的定義首先得從距離，范數(shù)，內(nèi)積，完備性等基本概念說起。

一.距離

說到距離，我們首先想到的是點與點之間的距離，除此之外還有向量之間的距離，曲線之間的距離，函數(shù)之間的距離…。這兒談到距離的定義是一種泛指的概念。點與點之間的距離 與距離就類似于蘋果與水果之間的關(guān)系。距離這個概念的作用主要用于衡量同一空間不同元素之間的差異情況，從這個出發(fā)點我們可以得到關(guān)于距離的一些屬性：

元素之間的距離大于等于0，若距離等于0則為相同元素。
元素A到B之間的距離等于元素B到A之間的距離。
元素之間的距離滿足三角不等式。

滿足以上三條屬性即可稱作元素之間的距離，其正式定義如下

設(shè)X是一個非空集合，任給一對這一集合的元素X,YX,Y。都給定一個實數(shù) d(X,Y)d(X,Y) 與之對應(yīng)，并且滿足

d(X,Y)≥0;d(X,Y)=0?X=Y;d(X,Y)≥0;d(X,Y)=0?X=Y;
d(X,Y)=d(Y,X);d(X,Y)=d(Y,X);
d(X,Y)≤d(X,Z) d(Y,Z);d(X,Y)≤d(X,Z) d(Y,Z);

則稱d(X,Y)d(X,Y)是元素X,Y之間的距離

二.范數(shù)

范數(shù) 是比距離限制條件更多的一個概念。為了形象地解釋范數(shù)的概念，這兒在二維平面進行說明。
在定義了距離這個概念之后，我們便可以描述二維平面上兩個點之間的距離，此時這個空間稱作 度量空間 。但目前的條件沒有辦法描述一個點的“長度” ，因為缺少了零點。而范數(shù)定義之后此空間便多了一個零點，可以聯(lián)想我們熟悉的平面直角坐標系，二維平面中范數(shù)可以看做是平面中的點到零點的距離。擁有范數(shù)的空間稱作賦范空間，用符號∣∣X∣∣∣∣X∣∣表示元素XX的范數(shù)。因為范數(shù)的概念是在距離的概念上加了新的限制，則賦范空間一定是度量空間。我們可以用范數(shù)定義距離：d(X,Y)=∣∣X?Y∣∣d(X,Y)=∣∣X?Y∣∣
總結(jié)：元素XX的范數(shù)∣∣X∣∣∣∣X∣∣可簡單看做XX到零點的近距離。

三.線性

線性這個概念可以說是很熟悉了，即為加法與乘法的結(jié)合。若一個空間為線性空間，只要我們知道了此空間的所有基，便可以用加法與數(shù)乘表示這一空間所有的元素，如二維平面中能用X軸的單位向量與Y軸的單位向量表示此平面的任意向量。

四.內(nèi)積

內(nèi)積又稱點積或者數(shù)量積，在高中學習向量的點乘運算時便接觸到這一概念。在有了前面的定義之后的空間總覺得與我們最熟悉的空間還差點什么，沒錯，就是角度。在引入內(nèi)積之后的空間便有了角度的概念。XX與YY的內(nèi)積用符號(X,Y)(X,Y)表示，內(nèi)積的結(jié)果同樣是為實數(shù)。內(nèi)積是在范數(shù)的概念上加了更多限制條件，即內(nèi)積空間一定為賦范空間，同樣的，可以用內(nèi)積定義范數(shù)如下：∣∣X∣∣2=(X,X)∣∣X∣∣2=(X,X)
目前為止便完成了本文的大部分內(nèi)容，有限維內(nèi)積空間便是我們最熟悉的歐幾里得空間。

五.完備性

完備性這個概念的歷史淵源比較深厚，作為非數(shù)學專業(yè)的工科生我也不太明白完備性的具體含義，簡單來說對集合中的元素取極限不超出此空間便稱其具有完備性。可以反向地通過不完備來理解完備性，對于整數(shù)集而言，對5取極限，便會超出整數(shù)集，即整數(shù)集不完備。
2018-10-22更正： 最近學了一點泛函，對完備性有了新的理解。完備性是在極限的基礎(chǔ)上衍生的概念。例如在有理數(shù)集上的一個序列{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，可知此序列極限為√22，而√22為無理數(shù)，不屬于有理數(shù)集，即有理數(shù)集不具備完備性。

有了以上的概念理解眾多迷糊人的空間便容易得多了