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集合論導(dǎo)引

序言

線性代數(shù)學(xué)入門課程的內(nèi)容在時間軸上的分布涵蓋數(shù)千年的人類數(shù)學(xué)的發(fā)展，就算有一道看起來新鮮的習(xí)題也幾乎一定是重述先人智慧的產(chǎn)物。所以，在這本《導(dǎo)引》之中，不會有屬于作者的新發(fā)現(xiàn)；作為一本入門教材，這不過是總結(jié)別人智慧的產(chǎn)物，盡管在選材和結(jié)構(gòu)上可以有差別。同時，像研究型著作那樣去標(biāo)明每一道命題的原始出處將是困難、耗時且根本沒有必要的事情。現(xiàn)代信息時代，任何有心的讀者都可以在互聯(lián)網(wǎng)上一瞬間查獲所要的歷史淵源。這也就成了作者為自己節(jié)省時間免去繁瑣的借口，希望讀者海涵?！秾?dǎo)引》的最后列有基本參考書目，這本《導(dǎo)引》中的命題或者證明或者習(xí)題自然分別取自它們。它們是源，這本《導(dǎo)引》是池。作者則是將源中水?dāng)嚭驮谝黄鸬臋C器。既望作者們見諒，也望讀者們寬容作者看重的是《導(dǎo)引》中概念演繹的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展順序，因為作者愿意相信線性代數(shù)學(xué)無論是知識還是方法，就其思想而言，終究是有著深刻的典型的承前啟后自然發(fā)展的關(guān)聯(lián)的。也就是說，線性代數(shù)學(xué)有著自身天然的知識結(jié)構(gòu)。所以，在將源頭之水?dāng)嚭陀诔刂械臅r候，作者沒有太過注重其出處，只在意它們各自在統(tǒng)一邏輯進(jìn)程中的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)位置。就影響的輕重多寡而言，柯斯特利金的《代數(shù)學(xué)引論》自然是重中之重，因為它畢竟是國科大一年級學(xué)生的通用教材，而且教學(xué)大綱就是以這本教材為藍(lán)本設(shè)計的；其次當(dāng)屬許以超的《線性代數(shù)與矩陣論》，因為它的第一版畢竟是多年前就帶給作者極大影響的一本書；然后當(dāng)然是席南華的《基礎(chǔ)代數(shù)》，因為我們都在用各自的理解來解釋柯斯特利金的《代數(shù)學(xué)引論》，能夠參考他的書是一種特有的幸運。盡管有著天然的保持獨立性的倔強，近朱者赤，受其影響到底是在所難免的。也借此機會表示對許先生和席先生真誠的敬意和謝意，也對柯斯特利金《代數(shù)學(xué)引論》的翻譯者，尤其是張英伯先生，表示敬意和謝意。

最后，請允許我借機表達(dá)對我高中時期既在課內(nèi)又在課外教我線性代數(shù)學(xué)的超級熱心的周典老師特別的敬意和謝意。周典老師是開啟我數(shù)學(xué)思維的啟蒙者。請允許我表達(dá)對我大學(xué)時期教我線性代數(shù)和離散數(shù)學(xué)兩門課程的王義和老師的特別的敬意和謝意，王義和老師，亦師亦友，是無意之中引導(dǎo)我從計算機軟件專業(yè)轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的導(dǎo)師。

當(dāng)然，我還要感謝的是科學(xué)出版社和李靜科編輯。如果沒有科學(xué)出版社和李編輯的熱情支持和細(xì)心幫助，這本《導(dǎo)引》未必可以與讀者見面。

2018年8月

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究

中國科學(xué)院大學(xué)院

緒論

接下來的兩章中，《導(dǎo)引》會分別建立起整數(shù)和分?jǐn)?shù)以及實數(shù)和復(fù)數(shù)的確切解釋。在第2章里，以自然數(shù)范圍內(nèi)的賒賬問題為引導(dǎo)，依托自然數(shù)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用等價關(guān)系和商集概念，實現(xiàn)從自然數(shù)到整數(shù)的擴展，并建立起整數(shù)理論以及同余類數(shù)理論；然后再以整數(shù)均分問題為引導(dǎo)，再次應(yīng)用等價關(guān)系和商集概念，實現(xiàn)從整數(shù)到分?jǐn)?shù)(也就是有理數(shù))之?dāng)U展，并建立起有理數(shù)有序域理論以及有理數(shù)平面有序域理論。由于整數(shù)和有理數(shù)都有關(guān)于數(shù)的加法和乘法的運算，在這一章里，《導(dǎo)引》還系統(tǒng)地實現(xiàn)了在邏輯基礎(chǔ)部分所引入的抽象的由變元、常元、加法運算和乘法運算迭代復(fù)合而成的項的含義的函數(shù)解釋：整系數(shù)多項式函數(shù)以及有理系數(shù)多項式函數(shù)被引進(jìn)。在這里讀者有機會第一次回到邏輯基礎(chǔ)部分體會“項”這個詞的含義以及“真”“假”這兩個相互沖突的名詞的內(nèi)涵?！秾?dǎo)引》關(guān)注有理數(shù)平面有序域是基于素數(shù)開方問題。在這里，我們可以有比較滿意的對單個問題的解答，但沒有統(tǒng)一的解答。這也就為后面的實數(shù)和復(fù)數(shù)的引入完成了鋪墊。從自然數(shù)到整數(shù)乃至同余類數(shù)，從整數(shù)到有理數(shù)，我們所用的工具就是很容易定義出來的自然的等價關(guān)系；從有理數(shù)域到包含單個素數(shù)開方的擴張域，也只需要在有理平面上引進(jìn)一個合適的但依舊自然的乘法運算；但是，從有理數(shù)到實數(shù)，這些代數(shù)手段已經(jīng)捉襟見肘。要想一勞永逸地解決全部素數(shù)開方問題，這已不是同樣適合于離散結(jié)構(gòu)的代數(shù)方法可以奏效的任務(wù)，因為實數(shù)軸與有理數(shù)軸最根本的差別就在于實數(shù)軸的連續(xù)性以及有理數(shù)軸的處處間斷性。用邏輯學(xué)的行話說，這里涉及的是有理數(shù)的“二階”性質(zhì)，也就是說，有理數(shù)的子集合不得不被牽扯進(jìn)來因此，《導(dǎo)引》以有理數(shù)軸序完備化的方式定義實數(shù)軸，然后再根據(jù)有理數(shù)有序域的基本性質(zhì)在實數(shù)集合上定義實數(shù)的加法和乘法。這就為實數(shù)這一直覺中的概念提供了典范的解釋，正是這種實數(shù)軸的連續(xù)性保證了在正實數(shù)范圍內(nèi)一元正整數(shù)次冪函數(shù)都是雙射，也就是說，任何正實數(shù)都可以開任意次方；也正是實數(shù)軸的這種連續(xù)性保證了任何奇次實系數(shù)多項式都有零點。自然，實系數(shù)多項式的引入為我們提供了再次回訪邏輯基礎(chǔ)的機會，從實數(shù)到復(fù)數(shù)的歷程是代數(shù)的，因為解決復(fù)數(shù)開方這樣的問題我們在有理平面上已經(jīng)見到過，這里所需要的也是在實平面上引進(jìn)一個合適的、自然的乘法運算。依舊利用實數(shù)軸的連續(xù)性，我們得以建立代數(shù)基本定理：復(fù)系數(shù)多項式都有零點。在這一章里，利用數(shù)組，我們將有機會見識可構(gòu)造數(shù)，也就是那些可以在平面上利用圓規(guī)和直尺作圖標(biāo)注出來的數(shù)；也還有機會認(rèn)識四元數(shù)。所謂四元數(shù)，其實就是四維實數(shù)集合笛卡爾乘積空間中的點，或者向量。關(guān)鍵是這個空間上可以配置一個乘法，以至于所有的非零元構(gòu)成一個非交換的乘法群。為了解決開方問題，我們兩次步入平面、有理平面和實平面。在這些平面上，我們定義平面點之間的加法和乘法。這就意味著我們開始遠(yuǎn)離我們曾經(jīng)全身心關(guān)注的數(shù)，因為這里的加法和乘法已經(jīng)不再單單是數(shù)之間的運算。我們開始關(guān)注另一類嶄新的對象：向量。從數(shù)轉(zhuǎn)向向量，是線性代數(shù)實現(xiàn)華麗轉(zhuǎn)身的瞬間。而這種轉(zhuǎn)身，是在我們牢靠地建立起數(shù)系之后。只有在我們真正深切地明白關(guān)于數(shù)的解釋之后，我們才可以坦然地面對以數(shù)組為基本對象的向量，才可以坦然地面對幾何中的點以及物理學(xué)中的向量。當(dāng)然，只有在這種轉(zhuǎn)身之后，線性代數(shù)學(xué)才真正開始自己的探索，因為線性代數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)論。

第7章是純粹的抽象的線性代數(shù)理論。這里我們以公理化的方式引進(jìn)向量空間。這個時候我們所面臨的向量空間是那樣一種對象：我們只知道論域所在，只知道空間依賴的抽象的域所在，只知道空間上有一個遵守特定的等式規(guī)則的加法運算，只知道空間與基域之間有一種被稱之為純量乘法的關(guān)聯(lián)函數(shù)以及這個關(guān)聯(lián)函數(shù)遵守特定的等式規(guī)則，別無其他。我們甚至都不清楚那個論域中的對象到底是什么，是一堆鵝卵石，還是一堆桌子或椅子；我們同樣不清楚那個基域里到底都是什么，是數(shù)，還是函數(shù)，還是什么莫名其妙的東西；相應(yīng)地，我們更加不知道所給的加法和純量乘法到底該怎樣計算。原因是這些根本不重要，重要的是所給的運算遵守著那幾個等式，這些就是關(guān)于加法和純量乘法的公理。這些等式面對任何具體的挑釁都永保真實。換句話說，隨便從論域和基域之中取出一組數(shù)據(jù)，用那些給定的公理等式來檢測，結(jié)論總成立。這，便是那些公理的真正含義和用途，這也就是邏輯基礎(chǔ)部分所揭示的數(shù)學(xué)中的真和假的內(nèi)涵剩下的就是依據(jù)這些來展開所需要的分析。在完成線性空間或者向量空間的基本分析之后，我們所關(guān)注的是線性空間之間的線性映射-----那些嚴(yán)格遵守線性等式的映射。關(guān)于線性映射的核心內(nèi)容是它們的表示定理，這是一種將不知論域中向量為何物的抽象的線性空間同構(gòu)地轉(zhuǎn)化到由基域的笛卡兒乘積空間所確定的線性空間上去的系統(tǒng)過程，也就是從抽象回歸具體的過程。盡管基域之內(nèi)為何物也不得而知，但它畢竟和實數(shù)域或者復(fù)數(shù)域或者同余類數(shù)域很相近。所以，經(jīng)過同構(gòu)，事情就變得具體得多，在所有的線性映射之中，我們尤其關(guān)注兩類：一類是線性函數(shù)從向量空間到基域的線性映射；一類是線性算子從向量空間到自身的線性映射。

第8章探討定義在線性空間的有限維乘積空間之上的多重線性函數(shù)。最經(jīng)典的例子就是內(nèi)積函數(shù)、交叉函數(shù)和行列式函數(shù)，我們會仔細(xì)探索雙線性函數(shù)，包括對稱的和斜對稱的雙線性函數(shù)。繼而探討一般的多重線性函數(shù)，也就是張量。在這里，我們會感受統(tǒng)一理論的美妙，最終，我們能夠看到的是線性代數(shù)的一切，都是關(guān)于加法和乘法這兩種算術(shù)運算的一系列美妙的提升和復(fù)合，因為在張量那里就是只有加法和乘法，只不過它們被有機地以代數(shù)運算方式復(fù)合在一起

第9章是內(nèi)積空間。這可以被看成三維實歐幾里得空間理論在有限維向量空間范圍內(nèi)的一般化。在任意一個有限維的實向量空間或者復(fù)向量空間上配置一個內(nèi)積函數(shù)并以此在向量空間上引進(jìn)長度和夾角，從而完整地再現(xiàn)當(dāng)年笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系建立解析幾何的基本思想，對內(nèi)積空間上線性算子的分類是一件完美的事情(也就自然而然地包含著對于方陣的分類)，因而也就是這一章的第二個探索的主題

《導(dǎo)引》的最后一章討論幾何向量空間。這是還原笛卡兒解析幾何思想的過程。原本歐幾里得幾何中并沒有任何特殊點存在，有的點都是一樣的，無論是用來作為線段的端點，或者一個三角形的定點，還是一個圓的圓心，任何不同的點都可以擔(dān)負(fù)起完全相同的幾何功能。可是在坐標(biāo)空間中，坐標(biāo)原點就極其不同于其他的點，而在向量空間中原點又是那樣的不可缺少。這自然地顯現(xiàn)出笛卡兒解析幾何與歐幾里得幾何之間有著差別。如何將線性代數(shù)中的向量與幾何向量，或者物理學(xué)中的向量，統(tǒng)一起來?這便是這一章的引導(dǎo)問題。線性代數(shù)學(xué)的解答就是在每一個幾何點上粘貼同一個線性空間。這樣一來，笛卡兒的幾何思想就被還原成歐幾里得幾何思想。其實，不僅僅在這種線性幾何，這種粘貼術(shù)在其他幾何之中也都被發(fā)揚光大。這些自然就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出這本《導(dǎo)引》所關(guān)注的范圍。

毫無疑問，有許多線性代數(shù)的內(nèi)容沒有在這本《導(dǎo)引》中涉及。因為《導(dǎo)引》的目的只是引導(dǎo)，引導(dǎo)讀者進(jìn)入一個廣闊天地，一旦進(jìn)到那里便是讀者自己的自由王國，所以，一切都只是圍繞著基礎(chǔ)和線性這兩條中心線來展開。作者用心于基礎(chǔ)無非強調(diào)兩點：第一，當(dāng)我們初次真正準(zhǔn)備進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的時候，我們就需要有不僅知其然更得知其所以然的心態(tài)；第二，在過去一百年里，集合論的確已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而線性代數(shù)學(xué)恰好可以成為說明這一點的一個范例。集合論之所以能夠為數(shù)學(xué)奠定一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯發(fā)揮著根本性的作用。恰好線性代數(shù)學(xué)可以作為用來解釋數(shù)理邏輯最基本的真與假的思想的樣本。于是，就有了擺在讀者面前的這本《導(dǎo)引》。作者用心于線性無非是因為線性最能有效地?fù)?dān)當(dāng)起作為樣本的功能，因為最簡單的例子常常體現(xiàn)出深刻的數(shù)學(xué)思想。只要可能，一定使用最簡單的。這不正是科學(xué)思想的一條基本原則嗎?這本《導(dǎo)引》花了不少篇幅討論具體的低維向量空間的線性問題。這是因為作者以為這些讓人看得見摸得著的具體事物本身其實也飽含抽象的道理。比起浩瀚宇宙萬物來，它們或許顯得微不足道，但是見微知著是一種真功夫。再說，離開具體的抽象未必算得真抽象；只有從具體事物(來源于現(xiàn)實)到抽象概念和理論(超越現(xiàn)實)，再到更高層次的具體事物(更為復(fù)雜的新發(fā)現(xiàn))，繼而有進(jìn)一步的抽象，以此不斷推進(jìn)，才是人類數(shù)學(xué)思維的正道，才是數(shù)學(xué)理論既可以超前發(fā)展又可以被用來解釋現(xiàn)實以及解決當(dāng)前實際問題的根本原因，才是數(shù)學(xué)代代傳承、生生不息的理由。數(shù)學(xué)，既是抽象的，更是具體的。

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院