我們?cè)谥袑W(xué)時(shí)都學(xué)習(xí)過用“度數(shù)”來刻畫角的大小，比如用表示周角的大小，表示平角的大小，表示直角的大小等等。

而到了高中，我們把角的單位由“度”換成了“弧度”，這時(shí)前面提到的角度都有了如下轉(zhuǎn)化：

實(shí)際上，對(duì)于任意度數(shù)的角，轉(zhuǎn)化為弧度可以通過如下公式：

這對(duì)每一個(gè)學(xué)過高中數(shù)學(xué)的人都不陌生，可是同學(xué)們往往只記住了這種轉(zhuǎn)化的方法，卻并不明白為什么非要將180度換成一個(gè)無理數(shù)，或者我們可以更直白地發(fā)出靈魂拷問：初中使用角度制對(duì)角的大小進(jìn)行刻畫似乎已經(jīng)十分完美，為什么還要引入和學(xué)習(xí)弧度制，其意義何在？

今天大小吳就來和大家探討一下這個(gè)問題。

1 角度制的起源

這一切要從角度制與弧度制的歷史說起。

在富饒的美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人就開創(chuàng)性地將圓周進(jìn)行360等分，并取其中一份稱1“度”，記為，度下面又設(shè)有“分”和“秒”的單位，60分為1度，60秒為1分，這即為最早的角度制。

但是由于年代過于久遠(yuǎn)，我們已經(jīng)無從得知古巴比倫人何時(shí)靈光一現(xiàn)想出這種度量方式，也不清楚他們?yōu)槭裁匆獙A周等分成360等份，后世對(duì)其的解釋主要有以下幾種：

• 古巴比倫人熟悉用60進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算。
• 360是一個(gè)接近一年中天數(shù)的較為整齊的數(shù)據(jù)。
• 360能被8整除，因此在以360度為周角大小的情況下，平角、直角、以及半個(gè)直角這些典型的角的度數(shù)都是整數(shù)。
• 360有多個(gè)因數(shù)，這使得各種正多邊形的內(nèi)角大小也恰為整數(shù)度數(shù)（正邊形的內(nèi)角大小為）。

也許正是因?yàn)樯鲜龆喾N原因，聰明的古巴比倫人最終選擇了360這個(gè)神奇的數(shù)字作為角度制的肇始，無疑，這是一種完美的制度，它深刻影響了后世的數(shù)學(xué)，并在天文、航海、測繪等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，直至每一個(gè)現(xiàn)代社會(huì)的學(xué)生都要對(duì)其進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2 弧度的雛形

古巴比倫人對(duì)圓周的劃分，在一定程度上影響了后來的古希臘天文學(xué)。在古希臘時(shí)期“地心說”十分流行，人們認(rèn)為太陽繞著地球做圓周運(yùn)動(dòng)，因此產(chǎn)生了許多圓形軌道的計(jì)算問題，進(jìn)一步地，人們就想知道已知弧長如何求對(duì)應(yīng)弦長這類三角學(xué)問題，為此古希臘人希帕科斯（公元前190-120）首次繪制了弦表，又如托勒密的著作《大成》中也有類似弦表，這使得弦表的思想為人所熟知，這也即為三角學(xué)的開端。

什么是弦表呢？制作弦表的目的是在一個(gè)半徑固定的圓中，求給定弧所對(duì)的弦長。希帕科斯對(duì)各種不同的弧長，列出了對(duì)應(yīng)的弦長（以單位圓為例，弦長已轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)）：

實(shí)際的弦表還有很多其他數(shù)據(jù)，利用這個(gè)表格就可以解決一系列天文學(xué)問題。

古希臘人通過弦表也發(fā)現(xiàn)了弧長與弦長的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這即是最早的三角函數(shù)。只不過古希臘人還沒有形成“函數(shù)”的概念，他們?cè)诓恢挥X中使用弧長作為三角函數(shù)的自變量，并且為了單位的統(tǒng)一，他們沿用了古巴比倫人的60進(jìn)制，將弧長的度量也用60進(jìn)制表示。

實(shí)際上，這也就是弧度的雛形，“弧長與弦長的對(duì)應(yīng)關(guān)系”可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“角的大小與弦長的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，由于用弧長作為自變量時(shí)需要給定圓的半徑，而用弧度（角的大小）作為自變量則無需給定半徑，避免了換算的繁復(fù)，這就不難理解后人發(fā)明并引入弧度制這件事是十分自然與必要的。

3 半弦表

公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多沿用了希帕科斯弦表的思想，進(jìn)一步制作了半弦表。在其中他把弦所對(duì)的弧的一半與半弦對(duì)應(yīng)。觀察下圖，你是否覺得有些熟悉？沒錯(cuò)，我們知道在單位圓中，這里的半弦也即為正弦。因此印度數(shù)學(xué)家發(fā)明的半弦表非常接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中正弦的定義。隨后幾百年，文明的交流使得半弦表在阿拉伯、印度、中國等地區(qū)廣為流傳，同時(shí)還首次出現(xiàn)了余弦、正切等三角學(xué)概念。

但是在這一段時(shí)期，各種三角函數(shù)表仍然是給定半徑情況下（半）弧長與（半）弦長的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在形式上大都以表格為主，角的范圍也僅僅局限在內(nèi)，沒有真正形成抽象的“三角函數(shù)”。

4 弧度制的出現(xiàn)與確立

時(shí)間來到了14世紀(jì)，隨著文藝復(fù)興在歐洲興起，數(shù)學(xué)與三角學(xué)也重新蓬勃發(fā)展起來。

哥白尼的學(xué)生，印度數(shù)學(xué)家利提克斯在學(xué)習(xí)古希臘數(shù)學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)在給定半徑的圓中角和弧長實(shí)際上是可以一一對(duì)應(yīng)的。因此他突破性地改變了正弦的定義，在他之前，正弦的定義是：

利提克斯將其改成了：

這真是一個(gè)非常偉大的突破！因?yàn)檫@樣一來三角學(xué)中的各種（三角比）定義就不再依賴于圓而可以僅在一個(gè)直角三角形中進(jìn)行討論了。也正是因?yàn)槿绱?，角成為了三角函?shù)的自變量，之后弧度制便逐漸登上了歷史舞臺(tái)。

時(shí)間又過去了好幾百年，直到那個(gè)被蘋果砸中的神一樣男人的出現(xiàn)，微積分終于成為了數(shù)學(xué)的主流，進(jìn)一步地，人們開始研究包括三角函數(shù)在內(nèi)的各種抽象的函數(shù)，而且人們?cè)缫蚜?xí)慣用10進(jìn)制，這當(dāng)然也包括對(duì)弦長的計(jì)算。

然而這樣就會(huì)造成一個(gè)問題：10進(jìn)制下的弦長與60進(jìn)制下的角并不統(tǒng)一，人們?cè)诓殚喨呛瘮?shù)表時(shí)感到無比的繁瑣。在這種情況下，角度制終于不再適宜人們對(duì)于數(shù)學(xué)研究的需要。

于是乎，人們開始考慮使用新的單位制來度量角的大小，弧度制終于應(yīng)運(yùn)而生！弧度大約是在1714年由英國數(shù)學(xué)家羅杰·柯特斯提出的，這位偉大的數(shù)學(xué)家深刻地意識(shí)到這種度量角度的方式的優(yōu)越性與必要性。

5 弧度制與數(shù)學(xué)公式的相容性

在弧度制下，許多微分、積分公式和級(jí)數(shù)公式在形式上都得到了簡化，這也是為什么后世的數(shù)學(xué)家更青睞弧度制的原因。

以數(shù)學(xué)分析中最為重要和基本的極限為例：

這個(gè)公式正是基于弧度制才顯得如此漂亮簡潔。若這里的角是在角度制下進(jìn)行討論的話，由于角度制下數(shù)據(jù)是弧度制下數(shù)據(jù)的倍，所以這時(shí)重要極限就變成了：

這樣公式就顯得非常不美觀。

再如正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

這種簡潔的形式仍然是在弧度制下才能夠出現(xiàn)，在角度制下就會(huì)變成：

你會(huì)選擇學(xué)習(xí)哪種公式呢？毫無疑問是前者。

還有包括最為經(jīng)典的“上帝公式”

它將數(shù)學(xué)中最為重要的常數(shù)以及兩個(gè)最為重要的實(shí)數(shù)完美結(jié)合在一起，而這么優(yōu)美的形式必須在弧度制下才能夠產(chǎn)生。

現(xiàn)在你知道為什么我們要學(xué)習(xí)弧度制了嗎？

參考文獻(xiàn)[1]江灼豪,何小亞.弧度制發(fā)展的歷史溯源[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016,55(07):14-17.[2]李忠.為什么要使用弧度制[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009,48(11):1-3 7.

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