【數(shù)學(xué)】三角函數(shù)、三角形有關(guān)精選資料大匯總！

死亡之神sa 2018-08-19

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三角學(xué)像其他數(shù)學(xué)分支一樣，也不是任何一個人或一個民族的工作。關(guān)于相似三角形的邊之比的那些定理，古埃及人和巴比倫人早就知道并加以利用了。考慮到前希臘時代缺乏角的度量的概念，這樣的研究最好是稱作“三邊學(xué)”，或三邊形的度量，而不是“三角學(xué)”——《數(shù)學(xué)史》

　科普部分　

要說起幾何研究，從古埃及、巴比倫那里就已經(jīng)開始，不管是研究圓，還是研究其他幾何圖形，三角形的影子絕對是隨處可見。對三角形的研究應(yīng)該是最為系統(tǒng)才對，不過一開始，對“邊”的概念要比“角”的概念要深刻得多，所以早起的三角學(xué)嚴(yán)格來說更應(yīng)該稱之為“三邊學(xué)”，關(guān)于三角形的邊的很多定理早就被希臘人所熟悉，在研究圓的性質(zhì)時，涉及到圓心角的定理，都是以弦與弧的關(guān)系來建立的，這些結(jié)論若翻譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，那么你會發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上就是如今的三角公式，比如歐幾里得在《幾何原本》就用幾何語言描述了鈍角和銳角的余弦法則；在阿基米德的著作中，也用幾何方法描述了等同于“兩角和與差的正弦公式”的定理——折弦定理。然而在亞歷山大時代，這種純粹的幾何語言描述的局限性逐漸開始顯現(xiàn)，特別是在埃拉托斯特尼與阿里斯塔克斯對天文學(xué)的研究中，對“角度與弦長的系統(tǒng)知識”的需求變得越加迫切。

　　一、三角學(xué)的孕育

　　阿里斯塔克斯一個最有名的論斷，就是提出日心說，這比哥白尼的學(xué)說早1500多年，不過這一學(xué)說的著作全部都失傳，我們倒是有一篇名為《論太陽和月亮的大小和距離》的文章，這篇文章比提出日心說的時間要早，因為其內(nèi)容還是假定地球為中心。在這篇文章里，他觀察到：當(dāng)月亮剛好半滿的時候，太陽和月亮的視線之間的夾角小于四分之一圓的三十分之一。用現(xiàn)代語言來說，這意味著月亮與太陽的距離之比是sin3°，阿里斯塔克斯利用他那個時代的定理，得出這個值的范圍在1/20到1/18之間，于是他斷言：地球與太陽的距離之比大于它與月亮的距離18倍，但小于20倍。這個結(jié)果跟現(xiàn)代的“約400倍”相差甚遠(yuǎn)，但是阿里斯塔克斯的計算方法是無懈可擊的，錯就錯在觀察結(jié)果上：視線的夾角應(yīng)該是1/6°而不是3°。不過總比歐多克索斯的9倍和菲迪亞斯（阿基米德的老爸）的12倍要好些。

　　不僅如此，阿里斯塔克斯還利用他的觀察計算出了太陽、月亮、地球的直徑之比，雖然結(jié)果與真實相差甚遠(yuǎn)，但其中涉及到的數(shù)學(xué)特別是三角知識，絕對具有標(biāo)志性。

　　僅僅得到大小的比值當(dāng)然不夠，人類還想得到太陽月亮的確切大小，所需要的自然是地球的大小數(shù)據(jù)，于是，對地球半徑的測量就變得必要起來。亞里士多德曾經(jīng)得到的半徑為40000英里，還有一些人的結(jié)果是30000英里。一個更為準(zhǔn)確、也更為著名的計算，要歸功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太陽的光線直射進(jìn)塞尼城的一口深井里，而在同一時間、同一經(jīng)線上的亞歷山大城，太陽光的投影表面：太陽距離定點之間的角度是圓的五十分之一，如下圖所示：

　　這意味著∠S'AZ是圓的五十分之一，自然弧長AS也是地球周長的五十分之一，測出塞尼城與亞歷山大城之間的距離，就能得到地球的周長，大約為25000英里。

　　阿里斯塔克斯和埃拉托斯特尼的工作已經(jīng)讓大家感覺到，是有必要建立起專門的“角度”的學(xué)科了，而到這里，甚至于關(guān)于角度的測量都還沒建立起來，有兩個人的工作，把三角學(xué)向前推進(jìn)了一步，值得我們提起——希帕克斯和梅涅勞斯。

二、三角學(xué)的過渡

　　從希波克拉底到埃拉托斯特尼，希臘的數(shù)學(xué)家一直在研究直線與圓之間的關(guān)系，并且把這些關(guān)系應(yīng)用于天文學(xué)，但是都沒有產(chǎn)生系統(tǒng)的三角學(xué)，雖然人們已經(jīng)注意到圓里面弧與弦的關(guān)系。一直到公元前2世紀(jì)的下半葉，才由天文學(xué)家希帕克斯編制出了第一章三角函數(shù)表，他因此獲得了“三角學(xué)之父”的資格。其實阿里斯塔克斯就已經(jīng)注意到，弧長與弦長之比，隨著他們所對的圓心角的遞減（從180°到0°）而遞減，趨近于極限值1，我估計也不止他一個人知道，但不管怎么樣，始終沒有一個人把整個一系列角度所對應(yīng)的弧弦之比列出一個表格出來。也許是因為天文觀測的需要，埃拉托斯特尼完成了這一任務(wù)，這就是人類數(shù)學(xué)史上的第一章三角函數(shù)表——實際上就是不同角度的弦長與弧長之比。

　　而梅涅勞斯這個名字，相信大家首先想到的就是那著名的“梅涅勞斯定理”，這個定理如此美妙，如果考慮進(jìn)當(dāng)時連系統(tǒng)的角度制都還沒有建立的社會背景，我們就不得不佩服他的工作。他對球面三角和平面幾何的研究，在古代天文學(xué)中扮演著重要角色，他的著作是第一部三角學(xué)的系統(tǒng)作品，里面所涉及到的三角學(xué)結(jié)論也是開創(chuàng)性的。在希帕克斯和梅涅勞斯的工作下，三角學(xué)的系統(tǒng)建立猶如黎明前的最后一絲黑暗，最終在托勒密的怒吼下逐漸清晰可見。

　三、托勒密和海倫的工作

　　托勒密是一位非常了不起的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，我們對他的生平信息的了解依然很少，就好像我們對阿基米德和歐幾里得的生平也基本上是一無所知一樣。提起這個名字，大家印象最深的恐怕要數(shù)幾何中著名的托勒密定理了。托勒密利用他所制定的法則，成功建立起一個更為詳細(xì)的三角函數(shù)表，雖然這個表很有可能是參考了希帕克斯的成果。360度的角度制也就是從他這里開始走向正軌，雖然這并非托勒密的發(fā)明。

　　在天文學(xué)中，他設(shè)計出了“均輪”的設(shè)想，以此來解決前輩們思想上的一些矛盾。但是這個思想太過于偏激，以致后來哥白尼看了以后也大呼受不了。他不接受埃拉托斯特尼估算的25000英里的地球周長，而采用波西多尼烏斯的18000英里，并且認(rèn)為已知的歐亞世界占據(jù)地球圓周的180度以上，而不是130度，這個巨大的錯誤讓后來的航海家們（包括哥倫布）誤認(rèn)為，從歐洲向西航行到印度也許并不遠(yuǎn)。倘若哥倫布知道托勒密對地球尺寸的低估是多么離譜的話，他可能就不起航了。托勒密不僅熱衷于天文學(xué)，還對光學(xué)感興趣，在他的《光學(xué)》一書中，論述了反射幾何學(xué)，以及探索早期折射定律的早期努力。

　　海倫這個名字大概也是因那著名的三角形面積公式而出名，這表明海倫在幾何學(xué)中應(yīng)該有頗深的造詣。我們從他的作品中得知，海倫的數(shù)學(xué)研究看來多偏向于實用性，不過正是他，將三角學(xué)玩弄得越發(fā)成熟。另外，他在科學(xué)史上被人銘記的原因，乃是因為他發(fā)明了一種原始型號的蒸汽機。

　　但是，不管是你讀了這篇文章也罷，還是讀過托勒密和海倫的著作也罷，他們的工作實際上并沒有對三角形的系統(tǒng)發(fā)展做出過多大貢獻(xiàn)。實際上三角學(xué)也沒有大的進(jìn)展，只不過三角學(xué)作為一門學(xué)科的界限開始清晰起來而已。到了這里，也就是公元150年前后，希臘數(shù)學(xué)實際上已經(jīng)開始停滯，即便三角學(xué)有了一些發(fā)展，他的地位也僅僅是充當(dāng)天文學(xué)的測量工具而已。希臘數(shù)學(xué)從畢達(dá)哥拉斯就開始的“純理論”上的發(fā)展，慢慢地向?qū)嵺`靠攏，這正是希臘數(shù)學(xué)開始衰落的結(jié)果。有人把希臘數(shù)學(xué)的衰落歸咎于希臘幾何代數(shù)的不足和困難，另一些人則把他歸因于羅馬的寒冷氣息。不管怎么說，希臘數(shù)學(xué)的確是開始停滯甚至于衰落了。不過在最終衰落之前，希臘數(shù)學(xué)卻又一次得到了一次復(fù)蘇，雖然此時的輝煌遠(yuǎn)不如“黃金時代”，這是希臘數(shù)學(xué)的小陽春，有時候被稱作希臘數(shù)學(xué)的“白金時代”。這個時期的代表人物，有包括丟番圖、帕普斯、普羅克洛斯在內(nèi)的數(shù)學(xué)家。

重點部分

經(jīng)過在百度文庫、豆丁文庫、道客巴巴、網(wǎng)盤搜索及部分QQ群，通過相應(yīng)關(guān)鍵詞的檢索，進(jìn)一步通過內(nèi)容對比、排版對比、清晰對比等。篩選出以下幾個文檔，都是精煉再簡練之后。至少在目前本人覺得，這幾個文檔，不管應(yīng)付數(shù)學(xué)高考、數(shù)學(xué)競賽還是對三角學(xué)有興趣的人，都是蠻不錯的參考資料。

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