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還剩下一個(gè)初等函數(shù)沒有談，這個(gè)函數(shù)就是“角函數(shù)”。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，可能沒有其他分支學(xué)科能像三角學(xué)一樣始終占據(jù)著中心位置?！?赫伯特

▌角和圓

? 角代表了什么？

在紙上隨便畫出個(gè)角，很容易就發(fā)現(xiàn)角是由兩條射線確定的，或者說是由一條射線轉(zhuǎn)動(dòng)形成的。轉(zhuǎn)動(dòng)的幅度就是角度。

?你有沒有想起一個(gè)幾何圖形？

圓是怎么定義的呢？線段轉(zhuǎn) 1 圈，軌跡就是圓。

角和圓關(guān)系很大，都是轉(zhuǎn)動(dòng)形成的，只不過形成圓的線長度是固定的；形成角，只要是線就可以。

? 圓和角有什么關(guān)系呢？

圓是角的特殊情況，但增加了三個(gè)限制條件：

1. 轉(zhuǎn)動(dòng)主體是線段，而不是射線。也就是說轉(zhuǎn)動(dòng)的主體長度是有限的，是收斂的。

2. 在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，線段的長度是不變的。

3. 轉(zhuǎn)動(dòng)幅度有限制，當(dāng)轉(zhuǎn)回原點(diǎn)時(shí)停止，也就是轉(zhuǎn)了一圈。

? 第 1 個(gè)限制產(chǎn)生了什么作用？

這會(huì)讓轉(zhuǎn)動(dòng)的過程形成曲線軌跡。

這個(gè)限制產(chǎn)生了一種“收斂”的作用，角和圓弧的關(guān)系，就好像射線和線段的關(guān)系一樣，“弧”是在角上增加均勻的距離限制產(chǎn)生的。

所以，很容易就會(huì)想到“弧”和“角”是對(duì)應(yīng)的，“弧”只不過是把“角”這個(gè)發(fā)散的形狀收斂了。

? 第 2 個(gè)限制產(chǎn)生了什么作用？

這會(huì)讓轉(zhuǎn)動(dòng)的過程形成優(yōu)美簡潔的“圓弧”曲線。圓給人一種簡潔優(yōu)美的感覺，因?yàn)樗蔷鶆虻模厦娴拿恳粋€(gè)點(diǎn)到中心的距離都是一致的。如果沒有這個(gè)限制，那么運(yùn)動(dòng)軌跡可能是一團(tuán)亂麻。

? 第 3 個(gè)限制產(chǎn)生了什么作用？

剛好轉(zhuǎn)了一圈，如果從靜止角度來看，平面上最大的角就是圓所對(duì)應(yīng)的角，任何其他的角都可以表示在圓中。

自然而然的就要把“周角” 平均分割 來作為“角度”的單位；又因?yàn)閳A是均勻變化的簡潔優(yōu)美的圖案，所以研究角的時(shí)候經(jīng)常要放到圓形中去研究。

所以說，“圓”是一個(gè)研究“角”的平臺(tái)，早期的三角學(xué)是建立在“單位圓”基礎(chǔ)上的。習(xí)慣上把“圓”這種特殊的角叫做“周角”。

?怎么樣度量角的？

最常見的單位就是“度”，在右上角有一個(gè)小圓圈 °。把一個(gè)周角等分 360 等份，其中的每一份就叫做    。

其實(shí)仔細(xì)想一下就覺得很奇怪，因?yàn)槠渌茊挝欢疾皇?360 進(jìn)制的，唯獨(dú)角度是 360 進(jìn)制。這到底是怎么回事呢？具體的緣由已不可考，但可以知道的是這種表示方法是古巴比倫人最先使用的，他們的計(jì)量進(jìn)制正好是 60 進(jìn)制，也許與此有關(guān)吧。[3]

? 弧度是怎么出現(xiàn)的？有什么好處呢？

在數(shù)學(xué)和物理中，我們最常用的其實(shí)是弧度而不是角度；國際單位制中就是用的弧度(rad)。

之所以用弧度，是因?yàn)椤盎【€”它是個(gè)兩面派，從度量角度來說，它是“線”，可以用公制度量“長度”來描述，但是從性質(zhì)上來說屬于轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)榛∈墙窍拗凭嚯x形成的，幾乎就是一回事。

所以就直接用單位圓()的弧長來描述角度，這和國際單位兼容得很好，在弧度制下，公式變得非常簡潔，所以弧度制這才是數(shù)學(xué)和科學(xué)中最主流的。

比如，用弧度描述半徑為 r 的圓的周長 s 就是：，因?yàn)榛《?nbsp; 就是單位圓的弧長，我們要描述的是半徑為 r 的圓，自然就是  ；如果用角度來描述就麻煩多了， 。

? 為什么會(huì)這么麻煩呢？

單位圓的周長是 ，所以 ，1 弧度就是 ，故  。

弧就是圓的一部分，所以在描述最基礎(chǔ)的圖形之一——圓的時(shí)候，就非常簡潔；而用角度就占不到任何優(yōu)勢(shì)了。

▌弦

不過就算是弧度制，想知道角的具體度數(shù)也是非常難的。如果角度很小，就畫在一張紙上，那可以簡單的用尺子量一下。

但如果要建造一個(gè)建筑物，怎么樣才能保證墻壁的傾斜角度是一致的呢？

尺度稍微放大一點(diǎn)，之前測(cè)量角度的方法就不靈了，所以我們急需一個(gè)更簡單的角度測(cè)量和比較。

? 那為什么不直接測(cè)量弧長呢？

因?yàn)榛∈且粋€(gè)曲線，曲線的長度并不好測(cè)量。既然是這樣，我們很自然的就會(huì)想到，彎的不好了，那我們可以量直的呀。

這個(gè)想法如此自然，以至于世界各地的古文明幾乎都會(huì)想到弦這個(gè)概念。我們中國人用弓弦來命名這條弦；西方人則用琴弦(Chord)。[4]

?怎么通過弦長得知角度？

角度的變化和弧線的長度變化是對(duì)應(yīng)的，它們都是旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，是成比例的，所以他們之間的關(guān)系也就是正比例函數(shù)(一次函數(shù))：。如果半徑確定，那么角度和弦長就一一對(duì)應(yīng)。

但是線和它們并不是一伙的，線屬于延長，角屬于旋轉(zhuǎn)，所以長度的增加和角度的增加并沒有一個(gè)簡單的比例。

定量的描述并不容易，不過定性就簡單多了。

在半徑確定的情況下，如果兩個(gè)弦長是一樣的，角也是一樣的；或者說通過半徑和弦長(兩個(gè)線段)的比值[2]，就可以定性的判斷角是否相等。

▌金字塔中的原始三角學(xué)

仔細(xì)看看金字塔的圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它居然是一個(gè)非常完美的正四棱錐，對(duì)于 4000 年前的人來說，在施工中保持墻壁傾角的統(tǒng)一，似乎是一件不怎么容易的事情，他們到底是如何做到的呢？

有 4000 年歷史的金字塔身上有很多謎團(tuán)，不過幸運(yùn)的是這個(gè)問題，我們已經(jīng)知道了答案。

?金字塔的秘密是如何被揭開的呢？

因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了一本古埃及的數(shù)學(xué)教科書，而最后一個(gè)問題又和數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，這本書就是《萊因德數(shù)學(xué)紙草書 》，是已知年代最久遠(yuǎn)，內(nèi)容最廣泛的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，第56題到第60題都是關(guān)于金字塔的內(nèi)容。[1]

金字塔高 250 腕尺，底邊長 360 腕尺，它的“塞克特”是多少？

?“塞克特”是什么意思？

從后面的解答來看，“塞克特”是金字塔 高度 h 與 邊長的一半 ，的比值。知道了這兩條線段的長度，也就確定了傾角  。

?那么具體是如何操作的呢？

之所以不通過測(cè)量斜邊，而是通過測(cè)量高度和底邊長度來比較傾角，是因?yàn)樵谑┕ぶ泻竺娴膬蓚€(gè)量是容易得到的。

仔細(xì)看金字塔的圖篇，會(huì)發(fā)現(xiàn)其表面并不是光滑的，而是臺(tái)階狀的。每當(dāng)施工出一個(gè)臺(tái)階之后，就會(huì)知道這個(gè)臺(tái)階的高度 Δh ，從上面垂下繩子，就能測(cè)量 Δh 對(duì)應(yīng)的底邊長度 Δa ，從而計(jì)算出“塞克特”，保證這個(gè)值和預(yù)期的一致，也就保證了施工的質(zhì)量。

建造金字塔時(shí)保證傾角相等，就是通過兩條線段來測(cè)量推算角度的過程。

古埃及人用三角學(xué)建造金字塔，中國人則用它計(jì)時(shí)。

日晷所要測(cè)量的是太陽與地平線的夾角，已知日晷“規(guī)”的長度，再測(cè)其影子的長度，太陽的夾角知道了，背后對(duì)應(yīng)的時(shí)間也就知道了。

原始的三角學(xué)不僅讓金字塔得以施工，還能夠讓后世的法老知道金字塔到底有多高。

測(cè)量金字塔高度的過程，就是通過角度和一條線段的長度，來推算另一條線段長度的過程。

▌總結(jié)

1. 角的度量：角的常用單位有兩個(gè)，角度是等分周角360份產(chǎn)生的；弧度是圓弧的長度?；《仍诳茖W(xué)中更常用，因?yàn)闀?huì)讓公式更簡潔。

2. 圓弧和角的關(guān)系：圓弧是角均勻收斂產(chǎn)生的軌跡。

3. 原始三角學(xué)：祖先們意識(shí)到了角度和長度之間是有關(guān)系的，并且利用這種關(guān)系來計(jì)時(shí)和建造金字塔，但是他們的認(rèn)識(shí)僅限于定性。

▌注釋

[1] 其實(shí)最初的時(shí)候，人們并不知道上面的文字代表什么，因?yàn)榘＜暗南笮挝淖衷缇鸵呀?jīng)失傳了，沒有人能夠讀懂。用文字破譯之后，大量的埃及文獻(xiàn)才得以被翻譯。象形文字的破譯又是一段傳奇的故事，是托馬斯 · 楊、商博良和羅塞塔石碑之間的故事。

[2] 任何兩條線段都可以看成是圓的半徑 r 和弦 s ，半徑確定圓的大小后，弦決定就決定旋轉(zhuǎn)角度。值得注意的是，我們的討論幾乎都是在“單位圓”(比例)中進(jìn)行的，為的就是排除“半徑不確定”(等比放大)這個(gè)干擾因素，直接討論這個(gè)關(guān)系的本質(zhì)。這種思考方法非常像科學(xué)研究中的“控制變量”。

[3] 時(shí)間單位也是 60 進(jìn)制，估計(jì)是因?yàn)殓姳砭褪菆A形的。

[4] “正弦”并不是這里的“弦”，后面會(huì)談到。

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