“三角學(xué)trigonometry”是“三角形triangle”和“測量gonometry”兩詞的組合，原意為三角形的測量，或者說解三角形。這是亞歷山大時(shí)期希臘定量幾何學(xué)中的一門完全新的學(xué)科。

三角學(xué)是那個(gè)確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的。很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)聯(lián)，但首先看到有必要建立三角形的邊和角之間的精確關(guān)系的是希臘人。

由于人們想建立定量的天文學(xué)，以便用來預(yù)報(bào)天體的運(yùn)行路線和位置，幫助報(bào)時(shí)、計(jì)算日歷、航海和研究地理，三角學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。其中，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)。

一、三角學(xué)的孕育

在亞歷山大時(shí)期，古典時(shí)期純粹的幾何語言描述的局限性逐漸開始顯現(xiàn)，特別是在埃拉托斯特尼與阿利斯塔克對天文學(xué)的研究中，對“角度與弦長的系統(tǒng)知識”的需求變得越加迫切。

阿利斯塔克（Aristarchus，公元前310年-公元前230年）是來自薩摩斯島的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，是史上有記載的首位提倡日心說的天文學(xué)者，比哥白尼的學(xué)說早1500多年，被譽(yù)為“希臘的哥白尼”。

阿里斯塔克斯的日心地動(dòng)說

在他的一篇名為《論太陽和月亮的大小和距離》的文章里寫道：當(dāng)月亮剛好半滿的時(shí)候，太陽和月亮的視線之間的夾角小于四分之一圓的三十分之一。用現(xiàn)代語言來說，這意味著月亮與太陽的距離之比是sin3°，阿利斯塔克利用他那個(gè)時(shí)代的定理，得出這個(gè)值的范圍在1/20到1/18之間，于是他斷言：地球與太陽的距離之比大于它與月亮的距離18倍，但小于20倍。這個(gè)結(jié)果跟現(xiàn)代的“約400倍”相差甚遠(yuǎn)，但是阿利斯塔克的計(jì)算方法是無懈可擊的，錯(cuò)就錯(cuò)在觀察結(jié)果上：視線的夾角應(yīng)該是1/6°而不是3°。不過總比歐多克索斯的9倍和菲迪亞斯（阿基米德的父親）的12倍要好些。

不僅如此，阿利斯塔克還利用他的觀察計(jì)算出了太陽、月亮、地球的直徑之比，雖然結(jié)果與真實(shí)相差甚遠(yuǎn)，但其中涉及到的數(shù)學(xué)特別是三角知識，絕對具有標(biāo)志性。

僅僅得到大小的比值當(dāng)然不夠，人類還想得到太陽月亮的確切大小，所需要的自然是地球的大小數(shù)據(jù)，于是，對地球半徑的測量就變得必要起來。亞里士多德曾經(jīng)得到的半徑為40000英里，還有一些人的結(jié)果是30000英里。一個(gè)更為準(zhǔn)確、也更為著名的計(jì)算要?dú)w功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太陽的光線直射進(jìn)塞尼（Segni）城的一口深井里，而在同一時(shí)間、同一經(jīng)線上的亞歷山大城，太陽光的投影表面：太陽距離定點(diǎn)之間的角度是圓的五十分之一，如下圖所示：

這意味著∠S'AZ是圓的五十分之一，自然弧長AS也是地球周長的五十分之一，測出塞尼城與亞歷山大城之間的距離，就能得到地球的周長，大約為25000英里。

阿利斯塔克和埃拉托斯特尼的工作已經(jīng)讓大家感覺到，是有必要建立起專門的“角度”的學(xué)科了。

二、三角學(xué)的創(chuàng)立

希帕恰斯、梅涅勞斯和托勒密的工作創(chuàng)立了三角學(xué)。

1.希臘三角學(xué)的奠基人——希帕恰斯

希帕恰斯（Hipparchus，約公元前200年-前125年）是亞歷山大時(shí)期偉大的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他可能出生在比提尼亞（Bithynia）的尼西亞（Nicaea，即今土耳其伊茲尼克Iznik），生活于羅得斯（Rhodes）和亞歷山大。他的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了三角學(xué)，使希臘天文學(xué)由定性的幾何模型變成定量的數(shù)學(xué)描述，使天文觀測有效的進(jìn)入宇宙模型之中。自歐多克索斯發(fā)明同心球模型用以“拯救”天文現(xiàn)象以來，通過球的組合再現(xiàn)行星的運(yùn)動(dòng)，已成為希臘數(shù)理天文學(xué)的基本方法。但傳統(tǒng)的方法存在兩個(gè)問題：首先人們還不知道如何在球面上準(zhǔn)確表示行星的位置變化；其次，傳統(tǒng)的同心球模型不能解釋行星亮度的變化。希帕恰斯解決了這兩個(gè)重要的問題。

通過創(chuàng)立三角學(xué)，希帕恰斯解決了第一個(gè)問題。根據(jù)相似三角形的比例原理，以任一銳角為一角所組成的任何直角三角形，其對邊與斜邊之比、對邊與鄰邊之比、鄰邊與斜邊之比是一個(gè)常數(shù)，所以這些比是角的函數(shù)，與邊長無關(guān)。人們?yōu)榉奖闫鹨娋桶堰@些比分別稱作正弦、正切、余弦，是為三角函數(shù)。希帕恰斯第一次全面運(yùn)用三角函數(shù)，并推出了有關(guān)定理。更為重要的是，他制定了一張比較精確的三角函數(shù)表，以利于人們在實(shí)際運(yùn)算中使用。

希帕恰斯按照亞歷山大的許普西克爾斯（Hypsicles，約公元前150年）在其《論恒星的升起》一書中和公元前最后幾個(gè)世紀(jì)的巴比倫人所做的那樣，把圓周分為360°，把它的一直徑分為120份。圓周和直徑的每一分度再分成60份，每一小份再繼續(xù)按照巴比倫人的60進(jìn)制往下分成60等份。于是對于有一定度數(shù)的給定的弧，希帕恰斯給出了相應(yīng)弦的長度數(shù)——相當(dāng)于今天的正弦函數(shù)。

若弧AB的圓心角是2α，則按今天的說法有sinα=AC/OA。希帕恰斯給出的則不是sinα而是當(dāng)OA分成60份時(shí)2AC所含的長度數(shù)。例如，若2α的弦含40份，則按今天的說法有sinα=20/60，或更為一般的形式：sinα=1/120（2α所對弦）。

把平面三角術(shù)推廣到球面上去，也是希帕恰斯的工作，因?yàn)樗淖罱K目的在于計(jì)算行星的球面運(yùn)動(dòng)。

解決第二個(gè)問題的方法是拋棄同心球模型，創(chuàng)立本輪-均輪體系。一般人都知道這套體系是托勒密體系，但最早的發(fā)明者實(shí)際上是希帕恰斯。每個(gè)行星有一個(gè)大天球，它以地球?yàn)橹行霓D(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)天球叫均輪。但行星并不處在均輪上，而是處在另一個(gè)小天球之上，這個(gè)小天球的中心在均輪上，叫本輪。行星既隨本輪轉(zhuǎn)動(dòng)，又隨均輪轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以模擬出比較復(fù)雜的行星運(yùn)動(dòng)。此外，希帕克斯還引入了偏心運(yùn)動(dòng)，即行星并不繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，而是繞地球附近的某一空間點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.希臘三角學(xué)的頂峰——梅涅勞斯

梅涅勞斯（Menelaus，約98年）的主要著作是《球面學(xué)Sphaerica》，也是第一部三角學(xué)的系統(tǒng)作品。他還寫了《圓上的弦Chords in a Circle》和關(guān)于黃道帶弧的下沉（或升起）的著作。

現(xiàn)存阿拉伯譯本的《球面學(xué)》分為三篇。第一篇是研究球面三角的，其中有球面三角形的概念，即是球面上由小于半圓的三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的圖形。書中證明了可以類比平面三角形的相關(guān)定理，如：球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩直角，球面三角形的等邊對等角。然后證明了平面三角形里所不能類比的一個(gè)定理：若兩球面三角形的三個(gè)角彼此對應(yīng)相等，則此兩球面三角形全等。他還列出別的全等形定理和等腰三角形定理。

第二篇主要講天文學(xué)，只是間接涉及球面幾何。

第三篇含有一些球面三角的內(nèi)容，并把它建立在該篇第一個(gè)定理（著名的梅涅勞斯定理）的基礎(chǔ)上。

該定理的證明要依據(jù)平面三角形的梅涅勞斯定理。

第三篇的定理2（記三角形ABC的角對應(yīng)弧為a）可表述為：若ABC及A`B`C`為兩球面三角形，且若A=A`、C=C`（或C與C`互補(bǔ)），則sinc/sina=sinc`/sina`。

定理5利用了弧的一個(gè)性質(zhì)：若有四個(gè)大圓弧從一點(diǎn)O發(fā)出，而ABCD與A`B`C`D`是與四者相交的大圓弧，則有

使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。

3.希臘三角學(xué)的應(yīng)用大全——托勒密

“像我一樣的凡人，短暫的一生不過一瞬。但每當(dāng)看到繁密的銀河下群星掃過的優(yōu)雅軌跡，我心中便充滿了寧靜的喜悅，就好像我和它們?nèi)跒榱艘惑w。”

克羅狄斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus，約90年—168年），相傳生于埃及的托勒馬達(dá)伊（(Ptolemais Hermii），在亞歷山大藝術(shù)宮生活和工作的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家。一生著述甚多，其中《至大論Almagest》（13卷），是根據(jù)喜帕恰斯的研究成果寫成的一部西方古典天文學(xué)百科全書，主要論述宇宙的地心體系，認(rèn)為地球居于中心，日、月、行星和恒星圍繞著它運(yùn)行。此書在中世紀(jì)被尊為天文學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)著作，直到16世紀(jì)中哥白尼的日心說發(fā)表，地心說才被推翻。

亨廷頓圖書館收藏的1528年威尼斯印刷本《至大論》

托勒密在《至大論》中繼承了希帕恰斯和梅涅勞斯在三角和天文方面的工作，里面全部是數(shù)學(xué)性質(zhì)的內(nèi)容，只是在駁斥阿利斯塔克所提出的太陽中心說時(shí)他才應(yīng)用了亞里士多德的物理學(xué)。他說只有以虛心求知的態(tài)度獲得的數(shù)學(xué)知識才能給人以可靠的知識，因此他要盡其所能來培育這門理論學(xué)科。托勒密又說他想把他的天文學(xué)建立在“不容置辯的算術(shù)和幾何方法”的基礎(chǔ)之上。

《至大論》第一篇第9章開頭就計(jì)算圓?。?60份中的若干份）的一些弦的長，從而充實(shí)了希帕恰斯和梅涅勞斯的工作。他先計(jì)算36°弧和72°弧的對應(yīng)弦。

ADC是以D為中心的圓的至今，BD垂直于ADC。E是DC的中點(diǎn)，并取F使EF=EB。托勒密用幾何方法證明FD等于圓內(nèi)接十邊形的一邊，BF等于圓內(nèi)接正五邊形的一邊。但ED含30分，BD含60份。由于EB2=ED2+BD2，EB2=4 500，于是EB=67 4`55``（這表示67+4/60+55/602份），F(xiàn)D=EF-DE=67 4`55``-30=37 4`55``（即36°弧的對應(yīng)弦）。然后算出BF=70 32`3``（即72°弧的對應(yīng)弦）。

因?yàn)檎呅蔚倪呴L等于半徑，所以60°弧的對應(yīng)弦長是60份。再根據(jù)內(nèi)接正方形算出90°弧的對應(yīng)弦長是84 51`10``，根據(jù)內(nèi)接正三角形算出120°弧的對應(yīng)弦長為103 55`23``。

利用直徑AC上的直角三角形，則若知BC弧的弦，便能得出其相補(bǔ)弧AB的弦。例如已知36°弧的弦，即可得出144°弧的弦為114 7`37``。當(dāng)A為任一銳角時(shí)，該關(guān)系就相當(dāng)于sin2A+cos2A=1。

接著托勒密證明一引理（托勒密定理）：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，下圖左。然后托勒密利用下圖右所示一邊為直徑的特殊四邊形求出兩弧之差的弦（BC弧=AC弧-AB?。?，即已知sinA和sinB，就可算出sin（A-B）。

其次，指出怎樣從圓的任一給定弦求出相應(yīng)半弧的所對弦。用現(xiàn)代術(shù)語即從sinA求sinA/2。再指出若已知AB弧的弦和BC弧的弦，就可得AC弧的弦，即sin（A+B），包括從sinA求sin2A的特例。

由于托勒密能從12°的弦平分?jǐn)?shù)次得出（3/4）°弦，故他能給任一已知弦所對的弧加上或減去（3/4）°；并能用上述定理來算這樣的兩段弧之和或差所對應(yīng)的弦。這樣就能算每兩個(gè)相差（3/4）°的所有的弧。為了得出每步相差為（1/2）°的弧所應(yīng)對的弦，他很聰明地使用不等式來推理，得出（1/2）°的弦的近似值為0 31`25``。

于是他能把0°到180°間所有相差（1/2）°所對應(yīng)的弦都算出并列成表。這是第一個(gè)三角函數(shù)表。

然后托勒密在第一篇第11章中著手解決需要求出球面大圓上一些弧的天文問題。這些弧是球面三角形的邊，其中有些邊是通過觀測或先前計(jì)算已經(jīng)得出的。為定出這些弧，托勒密證明了球面三角定理中的一些關(guān)系式。

《至大論》把三角學(xué)定了型，并于此后一千多年保持不變。

下一講亞歷山大后期的幾何。