近幾年開設(shè)《初等數(shù)論》課程，我總是要抽出一定的時(shí)間專門給學(xué)生科普一下關(guān)于素?cái)?shù)的故事。這篇科普文章正是基于這些講稿整理出來的。

素?cái)?shù)是整個(gè)數(shù)論的靈魂。然而多數(shù)學(xué)生對(duì)素?cái)?shù)的了解非常少。很多人不明白：為什么我們要研究素?cái)?shù)？素?cái)?shù)如何與眾不同?素?cái)?shù)到底有趣在哪里?素?cái)?shù)對(duì)數(shù)學(xué)很重要嗎?……如果學(xué)生在上完一個(gè)學(xué)期的數(shù)論課后，卻仍然對(duì)素?cái)?shù)茫然無知，那無疑是一種諷刺——這就好比你看完一場(chǎng)戲，不知道主角做了些什么。

寫這篇文章的另一目的也是為了給那些依然執(zhí)著于證明哥德巴赫猜想的民科們做一次掃盲的嘗試——盡管他們中的大多數(shù)會(huì)繼續(xù)執(zhí)著下去。然而我們不得不承認(rèn)這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)：民科們對(duì)素?cái)?shù)的熱情與執(zhí)著確實(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過很多數(shù)學(xué)系的本科生——這多少會(huì)讓我們這些老師感到沮喪。

2 素?cái)?shù)有多少？

我們說一個(gè)整數(shù)能被另一個(gè)整數(shù)整除，就是指是整數(shù)。有時(shí)我們也把稱作的因子。

一個(gè)素?cái)?shù)（Prime Number）是指這樣一種正整數(shù)：除了1和它本身之外，其它任何正整數(shù)都不可能整除它。我們也可以這么定義素?cái)?shù)：它不能寫成兩個(gè)大于1的正整數(shù)的乘積。有時(shí)我們也將素?cái)?shù)稱作質(zhì)數(shù)。通常我們不承認(rèn)1是素?cái)?shù)。這樣做的好處下面會(huì)介紹。除了和素?cái)?shù)之外，其他的正整數(shù)統(tǒng)稱為合數(shù)。

最初的幾個(gè)素?cái)?shù)是2,3,5,7,11,…。顯然6不是素?cái)?shù)，因?yàn)?，所有的素?cái)?shù)中只有2是偶數(shù)!這件看似平凡的事，其實(shí)很重要。在許多數(shù)學(xué)研究中，2和其他素?cái)?shù)會(huì)對(duì)我們所考慮的問題產(chǎn)生不同的影響。你可能會(huì)問：為什么我們把這樣的數(shù)命名為“素?cái)?shù)”呢?這實(shí)際上來自于素?cái)?shù)最基本的結(jié)論——算術(shù)基本定理：

任何大于1的正整數(shù)都可以唯一地分解成一些素?cái)?shù)的乘積, 這里都是素?cái)?shù)（允許相同）。

無論如何，素?cái)?shù)本身不能再進(jìn)一步分解成一些更小的正整數(shù)乘積，因此它在此意義下是最基本或最本質(zhì)的數(shù)——類似于樸素的原子論——從而命名它們?yōu)椤八財(cái)?shù)”或者“質(zhì)數(shù)”。容易看到，假如我們承認(rèn)1是素?cái)?shù)，那么算術(shù)基本定理就不能保證分解是唯一的了。因?yàn)?可以寫為任意多個(gè)自身的乘積。

接下去，一個(gè)最自然不過的問題當(dāng)然是：究竟有多少素?cái)?shù)?無限多個(gè)還是僅有有限個(gè)?這個(gè)問題的答案早由歐幾里德在兩千多年前解決了。他用初等方法巧妙地證明：存在無限多個(gè)素?cái)?shù)!具體言之，我們假設(shè)所有正整數(shù)中只有有限個(gè)素?cái)?shù)，那么可以構(gòu)造一個(gè)正整數(shù)

很容易發(fā)現(xiàn)，左邊的分解成素?cái)?shù)乘積的話，不可能包含任何素?cái)?shù)，因此它的分解式中必定含有這些之外的新素?cái)?shù)。這就和我們的假設(shè)矛盾!

這個(gè)證明包含了富有啟發(fā)性的思想。事實(shí)上，證明本身并沒有提供構(gòu)造出所有素?cái)?shù)的具體方法。但是它卻能告訴我們素?cái)?shù)有無限個(gè)!這就是數(shù)學(xué)中所謂的“存在性證明”：它告訴你某些對(duì)象存在，但是卻沒有具體構(gòu)造出來?！按嬖谛浴笔菙?shù)學(xué)哲學(xué)中的一個(gè)深刻話題，涉及到數(shù)學(xué)大廈的根基。數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)關(guān)于這類問題有過廣泛而激烈的爭(zhēng)論，有人反對(duì)這種類型的證明，有人卻支持它們。這場(chǎng)爭(zhēng)論涉及了許多重要的數(shù)學(xué)家，產(chǎn)生了許多和數(shù)學(xué)、邏輯、哲學(xué)相關(guān)的理論。有興趣的讀者可以參考相關(guān)書籍，此處不再贅述。

類似歐幾里德的證明，你也可以輕松斷言：所有被4除余數(shù)為3的素?cái)?shù)有無限個(gè)!換言之，就是等差數(shù)列3,7,15,19,…中包含無窮多個(gè)素?cái)?shù)。這就產(chǎn)生了一個(gè)有趣的問題：

一個(gè)等差數(shù)列中是否包含無限多個(gè)素?cái)?shù)?

數(shù)學(xué)家狄利克雷回答了這一問題（狄利克雷定理）：

假如和是互素的（就是說它們不能同時(shí)被一 個(gè)大于1的正整數(shù)整除），那么答案是肯定的 !

不要以為歐幾里德的方法可以輕松解決這一問題哦。事實(shí)上，除了少數(shù)情形之外，這個(gè)問題是不可能用它來簡(jiǎn)單解決的。

如果我們把等差數(shù)列換成其他數(shù)列，結(jié)論會(huì)怎樣呢?比如考慮以下的數(shù)列：

其中是否有無限多個(gè)素?cái)?shù)呢?讓人頗為失望的是，這至今仍是一個(gè)未解決的難題。

3素?cái)?shù)是怎么分布的?

知道“素?cái)?shù)有無限多個(gè)”僅僅是個(gè)開始。我們還想知道更多!比如，素?cái)?shù)在所有自然數(shù)中所占的比率多大?當(dāng)然，我們首先要說明“比率”在這里意味著什么。對(duì)任何正實(shí)數(shù)，我們用表示不超過的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。比如,,等等。我們用來反映所有不超過的正整數(shù)中，素?cái)?shù)所占的比率——也稱作平均分布密度。

一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論告訴我們：當(dāng)非常非常大時(shí)，幾乎就等于0。換句話說，素?cái)?shù)在所有正整數(shù)中極為罕見，可以說少得幾乎沒有——盡管我們知道它們有無窮多個(gè)！這就好比宇宙中有生命的星球也許有無限多個(gè)，但是它們相隔得太遠(yuǎn)，相對(duì)整個(gè)宇宙來說實(shí)在是十分稀疏罕見的。

對(duì)一般人來說，這個(gè)結(jié)論似乎已經(jīng)讓我們走到了問題的盡頭。但是天才數(shù)學(xué)家高斯卻不這么認(rèn)為。在那個(gè)沒有計(jì)算機(jī)的年代（1792-1793年間），他通過大量的手工計(jì)算，單憑超人的直覺，竟然得到了一個(gè)讓人吃驚的猜測(cè)（但其本人并未證明）：

當(dāng)非常大時(shí)，素?cái)?shù)出現(xiàn)的比率約等于。換言之，約等于1，這里是的對(duì)數(shù)函數(shù)。

高斯原始的猜測(cè)要比上面的表述式更為精確。在高斯之后，數(shù)學(xué)家勒讓德實(shí)際上也通過數(shù)值計(jì)算得到過類似的猜測(cè)公式（1800年左右），但沒有高斯的精確。證明這一結(jié)論是極其困難的工作。直到 19 世紀(jì)中葉，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫才有了突破性進(jìn)展，他證明了 ：

這里和是確定的常數(shù)。此猜想大約到19世紀(jì)末，才由法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪和Paussin幾乎同時(shí)獨(dú)立證明。人們將它稱作素?cái)?shù)定理。阿達(dá)瑪?shù)热说淖C明是建立在天才數(shù)學(xué)家黎曼的研究基礎(chǔ)上的，用到了極為高深的函數(shù)理論。到了1949年前后，才由數(shù)學(xué)家愛爾特希和塞爾伯格給出了初等證明。請(qǐng)注意，這里所謂的“初等”只是說沒有用到太多高深的數(shù)學(xué)理論，但是證明本身是很復(fù)雜的，也較為難懂。數(shù)學(xué)中有很多這樣的問題（比如哥德巴赫猜想），它們表面上很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上要證明它們往往是極其困難的。

素?cái)?shù)定理只是在大樣本范圍內(nèi)描述了一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。素?cái)?shù)本身的分布位置極不規(guī)則。當(dāng)你確定一個(gè)素?cái)?shù)之后，很難預(yù)測(cè)在它之后的下一個(gè)素?cái)?shù)是多少。盡管如此，我們?nèi)杂幸恍┎聹y(cè)和結(jié)論來描繪素?cái)?shù)在整數(shù)集中分布性態(tài)。有趣的是，猜想要比結(jié)論多得多。

首先是著名的伯特蘭猜想（后被切比雪夫證明），它斷言：

對(duì)任何大于1的正整數(shù)，必定有素?cái)?shù)落在和之間。

比如取4，那么在4到8之間我們可以找到素?cái)?shù)5和7。當(dāng)非常大時(shí)，這一結(jié)論顯然是素?cái)?shù)定理的直接推論。你可以隨手舉出很多類似伯特蘭-切比雪夫定理的猜想，比如在和之間是否必有素?cái)?shù)存在？這一看似簡(jiǎn)單的問題實(shí)際上至今仍未解決！

其次是著名的孿生素?cái)?shù)猜想：

是否存在無限多個(gè)素?cái)?shù)，使得也是素?cái)?shù)?

我們將這樣的一對(duì)素?cái)?shù)稱為孿生素?cái)?shù)對(duì)。比如(3,5),(5,7),(11,13)等等都是孿生素?cái)?shù)對(duì)。類似地，你也可以定義三生素?cái)?shù)對(duì)，亦即要求這三個(gè)數(shù)同時(shí)為素?cái)?shù)。三生素?cái)?shù)猜想就是問：是否存在無限個(gè)三生素?cái)?shù)對(duì)？回答仍是“不知道”。我們也可以定義生素?cái)?shù)對(duì)，并提出類似的猜測(cè)。有趣的是，有人證明：生素?cái)?shù)猜想和以下的三角不等式猜測(cè)互為矛盾——也就是說不可能同時(shí)正確：

這里定義同前。

另一個(gè)著名的猜想就是在國(guó)內(nèi)廣為人知的哥德巴赫猜想：

任何大于等于6的偶數(shù)必定能寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和 ；任何大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

這個(gè)猜想和陳景潤(rùn)的名字聯(lián)系在一起，帶有很多現(xiàn)代歷史的色彩。許多民科投身于哥德巴赫猜想的證明也與此有關(guān)。哥德巴赫只是一個(gè)普通的數(shù)學(xué)家，除了提出這個(gè)猜想之外沒有什么數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。他將這一猜測(cè)告訴了天才數(shù)學(xué)家歐拉。遺憾的是，后者未能證明它，但是該猜想?yún)s得以被很多人知道。容易看到，哥德巴赫猜想第二部分只不過是第一部分的簡(jiǎn)單推論。但有趣的是，第二部分反而先被證明了（稱作三素?cái)?shù)定理），第一部分卻遲遲得不到解決。目前最好的結(jié)果是陳景潤(rùn)的“1+2”定理，即充分大的偶數(shù)都可以寫成一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)乘積的數(shù)之和。哥德巴赫猜想的研究是十分艱難的，它本質(zhì)上涉及到十分深刻的函數(shù)論知識(shí)，不可能如那些民科所妄想的那樣，拍拍腦袋就能用初等方法做出來。

雖然我們無法徹底證實(shí)這個(gè)猜想，但是卻可以退而求其次，用所謂的密率方法得到以下的有趣結(jié)論：

任何大于1的正整數(shù)必可寫成不超過26個(gè)素?cái)?shù)之和。

4如何構(gòu)造素?cái)?shù)?

上面的討論只是介紹了素?cái)?shù)在整數(shù)中的分布情況，但是我們至今還沒有具體構(gòu)造出這些素?cái)?shù)來。一個(gè)基本的問題就是：如何構(gòu)造素?cái)?shù)?最原始的辦法就是古典篩法。比如我們要找出所有不超過100的素?cái)?shù)，那么首先將所有從開始的偶數(shù)全部從這100個(gè)數(shù)中去除掉；接著將所有從開始的3的倍數(shù)全部去除掉；再將所有從開始的5的倍數(shù)全部去除掉……以此類推，最終通過篩選剩下的數(shù)恰好就是所有不超過100的素?cái)?shù)。

上面的篩法雖然可以逐一列出不超過某個(gè)上限N的全部素?cái)?shù)，但是當(dāng)N很大時(shí)，其工作量也是巨大的。因此人們開始尋找其他方法來構(gòu)造素?cái)?shù)。通常的思路是構(gòu)造一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是素?cái)?shù)。這樣的數(shù)列稱作素?cái)?shù)公式。比如費(fèi)馬構(gòu)造了以下數(shù)列（費(fèi)馬數(shù)），并猜測(cè)它們都是素?cái)?shù)：

他計(jì)算了前五項(xiàng)，即3,5,17,257,65537，確實(shí)都是素?cái)?shù)。然而歐拉以其高超的計(jì)算能力手算驗(yàn)證了不是素?cái)?shù)。事實(shí)上，由目前的計(jì)算機(jī)驗(yàn)算可知，從到都不是素?cái)?shù)。是否存在無限多個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)?這是一個(gè)未解之謎。盡管歐拉的計(jì)算粉碎了利用費(fèi)馬數(shù)構(gòu)造素?cái)?shù)公式的企圖，但是這并不表示研究費(fèi)馬數(shù)沒有意義。高斯在年少時(shí)期，證明了一個(gè)讓人無比驚嘆的奇妙結(jié)論，讓費(fèi)馬素?cái)?shù)聲名大噪。這個(gè)結(jié)論（正邊形尺規(guī)作圖）是說：

一個(gè)正邊形能用尺規(guī)作圖得到的充分必要條件 是 ：，這里諸是費(fèi)馬素?cái)?shù)，且兩兩不同。

比如是費(fèi)馬素?cái)?shù)，因此可以用尺規(guī)作圖得到正十七邊形!要知道，在高斯之前的幾百年，有那么多人研究尺規(guī)作圖問題，但誰也沒有想到正十七邊形居然可以尺規(guī)作圖得到。這個(gè)結(jié)論的重要性在于，它將幾何（代數(shù)）問題和數(shù)論問題這兩個(gè)看似無關(guān)的領(lǐng)域奇妙地結(jié)合起來。

與費(fèi)馬數(shù)對(duì)應(yīng)的是著名的梅森數(shù)列：

這里依次取遍所有的素?cái)?shù)。人們也曾猜測(cè)梅森數(shù)都是素?cái)?shù)。比如前幾項(xiàng)分別為3,7,31,127都是素?cái)?shù)。但是不是素?cái)?shù)。一個(gè)有趣的結(jié)論斷言：

如果素?cái)?shù)被4除余數(shù)為3，并且也是素?cái)?shù)，那么必定不是素?cái)?shù)。

梅森數(shù)的遭遇與費(fèi)馬數(shù)類似，盡管沒有能夠達(dá)到原始的構(gòu)造素?cái)?shù)公式的目的，但是它卻和另一個(gè)著名的定理聯(lián)系起來。為了敘述該定理，我們做些準(zhǔn)備工作。給一個(gè)正整數(shù)n，我們把它的所有可能的因子（就是能整除的那些正整數(shù)）加起來得到的總和記作。如果滿足，那么我們就稱是完全數(shù)。比如就是完全數(shù)，因?yàn)榈囊蜃又挥?,2,3,6,加起來正好是12。同樣地，也是完全數(shù)。我們有如下的偶完全數(shù)定理:

所有的偶完全數(shù)都可以寫成，這里是梅森素?cái)?shù)。反之，這樣的表達(dá)式得到的數(shù)也必定是偶完全數(shù)。

上面說的恰好寫成，其中3是梅森素?cái)?shù)；28可以寫為，其中7是梅森素?cái)?shù)。

由此產(chǎn)生另一個(gè)有趣的問題：奇完全數(shù)存在嗎?這又是數(shù)論中一個(gè)至今懸而未決的著名猜想。人們借助計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)了以內(nèi)所有數(shù)，竟然都沒能找到奇完全數(shù)!另外一個(gè)同樣讓人沮喪的事實(shí)是，至今我們還不知道是否有無窮多個(gè)梅森素?cái)?shù)。

歐拉提出了另一類構(gòu)造素?cái)?shù)的方式。比如考慮多項(xiàng)式。當(dāng)從0取到40時(shí)，多項(xiàng)式的值皆素?cái)?shù)。我們同樣可以考慮多項(xiàng)式

這里是素?cái)?shù)，使得當(dāng)從0開始直至某個(gè)數(shù)為止逐一代入時(shí)，上述多項(xiàng)式取值始終為素?cái)?shù)。對(duì)任意，我們是否總能找到這樣的滿足上面的要求呢?這個(gè)有趣的問題也是未解決的難題之一。讓我們?cè)谏鲜龆囗?xiàng)式中分別取那么得到的三個(gè)值恰好為。如果上面的問題答案是肯定的話，這就立刻證實(shí)了前文所述的孿生素?cái)?shù)猜想和三生素?cái)?shù)猜想!因此很顯然上面的問題要遠(yuǎn)遠(yuǎn)難于孿生或三生素?cái)?shù)猜想。

有趣的是，假如我們要求上述的話，那么這個(gè)歷史上著名的難題有一個(gè)極為漂亮的解答（Rabinovtch定理）：

（注記：上面的的六種取值是有深刻背景的，它們恰好對(duì)應(yīng)所有類數(shù)為1的虛二次域。）

看了這樣幾個(gè)例子之后，你也許會(huì)問：是否真有素?cái)?shù)公式呢?有是有的，但這類公式通常意義不大。我們這里舉一個(gè)例子來說明。為此需要一些準(zhǔn)備。對(duì)任何實(shí)數(shù)x，我們用表示不超過的最大整數(shù)。比如,,。這個(gè)記號(hào)是高斯引進(jìn)的，稱作的取整函數(shù)或高斯函數(shù)。此外我們用表示乘積，它稱作的階乘。

現(xiàn)在我們可以構(gòu)造素?cái)?shù)公式

對(duì)任何大于1的正整數(shù)，項(xiàng)都是素?cái)?shù)，比如最前面的幾項(xiàng)分別為2,3,2,5,2,7,…這個(gè)素?cái)?shù)公式表面上看似乎很神奇，其實(shí)并沒有太多的新東西。它只是利用了和素?cái)?shù)有關(guān)的威爾遜定理：

一個(gè)大于1的正整數(shù)是素?cái)?shù)的充分必要條件為：是整數(shù)。

比如是素?cái)?shù)，顯然是5的倍數(shù)。另一方面，對(duì)任何非整數(shù)的實(shí)數(shù)，總有；而對(duì)整數(shù)，則有?，F(xiàn)在我們能夠看到，實(shí)際上在是素?cái)?shù)時(shí)就等于，在其他情況下都取值。

5 素?cái)?shù)和方程

素?cái)?shù)的很多有趣的性質(zhì)都是從方程開始的。在經(jīng)典數(shù)論（即研究整數(shù)性質(zhì)的理論）中，人們關(guān)心的一個(gè)問題就是某些多項(xiàng)式方程是不是有整數(shù)解。比如著名的勾股方程或者佩爾方程 等。

當(dāng)我們只關(guān)心這類方程的整數(shù)解（或有理數(shù)解等等）時(shí)，這樣的方程通常就稱為不定方程或者丟番圖方程。我們這里介紹一些和素?cái)?shù)有關(guān)的方程。它們中的一些對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了很大的作用。以下設(shè)是素?cái)?shù)。

(1) 我們考慮不定方程

對(duì)任一整數(shù)，假設(shè)它被除的余數(shù)是。那么顯然被整除。因此對(duì)任何整數(shù)總是能整除連乘積。這樣，當(dāng)我們把代入上述方程的左邊，則可求出整數(shù)解。利用這個(gè)簡(jiǎn)單的不定方程和下面的費(fèi)馬小定理，人們可以得到前面提及的威爾遜定理。

(2) 費(fèi)馬小定理斷言：不定方程

對(duì)任何整數(shù)，都有整數(shù)解存在。換句話說，對(duì)任何整數(shù)，素?cái)?shù)總是能整除。費(fèi)馬小定理的“小”字是相對(duì)費(fèi)馬大定理（也稱費(fèi)馬最后的定理或者費(fèi)馬猜想）而言的，他聲稱方程

沒有非零的整數(shù)解。但費(fèi)馬只證明了的情形。其余情形經(jīng)過許許多多數(shù)學(xué)家的艱苦努力，終于在1994年前后由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯徹底解決。如果我們將素?cái)?shù)換成一般的整數(shù)，那么費(fèi)馬小定理可以推廣到一般情形——即歐拉定理。我們這里不打算討論它。

(3) 假設(shè)是一個(gè)整數(shù)，并且不為整除。我們來求解不定方程

的整數(shù)解。由費(fèi)馬小定理，我們?nèi)。纯汕蟮谜麛?shù)。從幾何的角度看，上面的方程在平面上描繪了一條直線。因此我們相當(dāng)于要找出該直線上的整數(shù)點(diǎn)。

(4)（平方剩余） 求解以下方程的整數(shù)解是初等數(shù)論的核心問題之一：

這里是給定的正整數(shù)。高斯在其名著《算術(shù)研究》中對(duì)此作了深入研究，給出了一系列漂亮的研究成果。與前面幾個(gè)方程不同的是，該方程有可能無整數(shù)解，比如

如果有解，我們就說在模下是平方剩余的——這里不打算解釋該術(shù)語的意思。為了表示該方程是否有解，勒讓德引進(jìn)了一個(gè)方便的符號(hào)

若的話，方程當(dāng)然有解，因此我們只關(guān)心是奇素?cái)?shù)的情形。此時(shí)高斯用巧妙的初等方法（但并不顯而易見）首先得到以下結(jié)果

這就是說，如果被8除余數(shù)為1或7，那么方程必定有解；否則就無解。類似地還有

當(dāng)q也是奇素?cái)?shù)時(shí)，高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)論史上具有里程碑意義的重要結(jié)果，即著名的二次互反律：

高斯將此定理比喻為“數(shù)論之酵母”，意思是說這個(gè)深刻定理對(duì)數(shù)論的研究極其重要。近代數(shù)學(xué)的研究也驗(yàn)證了這一觀點(diǎn)。事實(shí)上這一定理經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家——比如希爾伯特、高木貞治等——的努力，推廣到代數(shù)數(shù)論研究中，發(fā)展成了深刻的理論——類域論。二次互反律也可以這樣解釋：當(dāng)中有一個(gè)被4除余數(shù)是1時(shí)，以下兩個(gè)方程

要么同時(shí)有解要么同時(shí)無解；當(dāng)被4除余數(shù)都是3時(shí)，那么其中一個(gè)方程有解而另一方程無解。

對(duì)一般的整數(shù)，由算術(shù)基本定理，我們可以將它寫成素因子乘積，從而可以通過以下關(guān)系求出勒讓德符號(hào)的值以判斷方程是否有解：

從幾何角度看，平方剩余問題對(duì)應(yīng)的方程就是平面上的一條拋物線。因此我們等價(jià)于尋找拋物線上的整數(shù)點(diǎn)。

(5)兩平方和問題： 一個(gè)素?cái)?shù)什么時(shí)候可以寫成兩個(gè)平方數(shù)之和?比如

容易檢驗(yàn)，不可能寫成兩平方數(shù)之和。這個(gè)問題等價(jià)于求不定方程

的整數(shù)解。從幾何上看，相當(dāng)于尋找一個(gè)圓周上的整數(shù)點(diǎn)。費(fèi)馬早在1640年前后就得到了以下的結(jié)論，但是并未正式發(fā)表；歐拉最早給出了其正式證明。

這個(gè)結(jié)論的第一部分可以從平方剩余問題(4)簡(jiǎn)單地得到。事實(shí)上，由方程(3)，我們可以找到一個(gè)整數(shù)，使得能被整除。

因此上面方程有解也就意味著

這就相當(dāng)于p被4除余數(shù)為1。

無論如何，要具體求出的平方數(shù)之和的精確表達(dá)式并非易事。這就需要用到更加高深的工具了。

上面這些不定方程的研究為古典數(shù)論提供了許多重要的原動(dòng)力，發(fā)展出了很多重要的數(shù)學(xué)工具。如何求解一般的不定方程實(shí)際上是個(gè)很困難的問題。希爾伯特在他著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問題中也作了探討。近代的一種重要思想是：先退而求其次，求方程的有理數(shù)解。對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)，將方程放到p-adic數(shù)域情形去求解（p-adic數(shù)是和素?cái)?shù)有關(guān)的一類很特殊的“數(shù)”）。我們將相應(yīng)的p-adic解綜合起來，根據(jù)這些解的信息，試圖構(gòu)造出真正的有理數(shù)解。這一思想曾被成功地應(yīng)用到二次不定方程上。它可以歸結(jié)成著名的Hasse-Minkowski定理：

假設(shè)是二次多項(xiàng)式 (比如

等等 )，方程有有理數(shù)解的充分必要條件是 ：它有實(shí)數(shù)解，并且對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)，它也有p-adic解。

本節(jié)最后，我們?cè)俳榻B一個(gè)與素?cái)?shù)和方程有關(guān)的重要猜想——abc猜想：

任意給定正實(shí)數(shù)，則最多只有有限個(gè)三元組，滿足以下條件 ：

(1) 皆整數(shù)，并且兩兩之間互素，

(2) ，

(3) ，此處是乘積abc中所有互不相同的素因子的乘積。

如果abc猜想正確，那么立刻可以推出費(fèi)馬猜想對(duì)充分大的方冪都成立。這還不止，其實(shí)有許許多多重要的猜想和定理竟然都能從abc猜想推出來，而后者本身看上去卻如此簡(jiǎn)單!

6 素?cái)?shù)和代數(shù)

素?cái)?shù)在整數(shù)中具有如此特殊的地位，它除了包含許多有趣深刻的性質(zhì)之外，也留下諸多未解之謎。人們自然會(huì)想到將素?cái)?shù)的概念推廣到更一般的數(shù)域上來研究，比如實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等等。高斯首先研究了這樣一些復(fù)數(shù)（稱為高斯整數(shù)）：

這里都取整數(shù)。所有這些復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合記為。我們可以像在整數(shù)情形一樣定義高斯整數(shù)的加減乘運(yùn)算，甚至我們還可以定義兩個(gè)高斯整數(shù)的帶余數(shù)除法等。完全類似地，我們自然也可以定義中的“素?cái)?shù)”概念。

整數(shù)集合里的素?cái)?shù)在中不一定是素?cái)?shù)哦。比如當(dāng)被4除余數(shù)為1時(shí)，根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論，它可以寫成兩平方數(shù)之和

因此在中可以寫為兩個(gè)高斯整數(shù)的乘積

高斯的一項(xiàng)有趣的工作，就是找出了中的所有素?cái)?shù)：

(1) ；

(2) ，使得是整數(shù)集合里被4除余數(shù)為1的素?cái)?shù) ;

(3)就是整數(shù)集合里被4除余數(shù)為3的素?cái)?shù)。

在整數(shù)中我們不把這樣的數(shù)作為素?cái)?shù)；同樣地，在中我們也不考慮以下諸如,這樣的數(shù)——單位數(shù)。如果兩個(gè)高斯整數(shù)只相差一個(gè)單位數(shù)，它們的數(shù)論性質(zhì)一般沒什么差別，所以我們有時(shí)只挑選其中的一個(gè)代表來討論。接著，我們同樣可以得到高斯整數(shù)的算術(shù)基本定理等等一系列的數(shù)論性質(zhì)。

高斯對(duì)于的研究可以說是代數(shù)數(shù)論的重要起源之一。為什么高斯要研究高斯整數(shù)呢?原來高斯一開始在研究四次剩余問題（即不定方程求解）時(shí)，沒有能夠找到類似二次互反律那樣的有效算法來判斷方程是否有解。他在研究中逐漸意識(shí)到，這一問題不能只局限于整數(shù)范圍內(nèi)考慮，而應(yīng)該擴(kuò)展到上研究其算術(shù)性質(zhì)，用高觀點(diǎn)來探討這一問題。這是一種富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)人們把視野擴(kuò)大后，很多問題的答案也許就會(huì)變得清晰起來。事實(shí)正是如此，很快高斯就在中找到了四次互反律。不過他并未給出證明，而是由雅可比和艾森斯坦后來分別獨(dú)立給出了證明。

進(jìn)一步，如果我們考慮除法，整數(shù)集合可以擴(kuò)張到有理數(shù)域上。因此類似地，高斯整數(shù)集合也可以擴(kuò)張到高斯有理數(shù)域上，里面的數(shù)無非是兩個(gè)高斯整數(shù)的比值而已。很自然地，我們也可以考慮更一般的數(shù)域

這里是任意整數(shù)，并且我們可以假設(shè)不含平方因子。就是高斯有理數(shù)域。中的“整數(shù)”是什么樣的呢?答案與我們想象的稍微不同：

情形一： 如果m被4除余數(shù)是2或者3，那么二次域中的“整數(shù)”（稱作代數(shù)整數(shù)）都可以寫為，

這里是整數(shù)。

情形二： 如果被4除余數(shù)是1，那么二次域中的“整數(shù)”可以寫為

這里是整數(shù)。

同樣地，人們可以考慮這樣的“整數(shù)”什么時(shí)候能稱作“素?cái)?shù)”等等基本問題，這里我們不再詳細(xì)展開。那么著名的算術(shù)基本定理在這時(shí)是否一定成立呢?答案是否定的!這里我們舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。在中，21竟然有兩種完全不同的素因子分解：

在歷史上，人們一開始并未意識(shí)到這一問題。最初，人們之所以引進(jìn)這樣的數(shù)域，是為了研究著名的費(fèi)馬猜想，就是證明不定方程

當(dāng)是大于2的正整數(shù)時(shí)沒有非零整數(shù)解。比如我們可以在高斯整數(shù)的意義下證明的情形沒有非零解，因此在通常整數(shù)意義下就更不可能有非零解了。類似地，高斯在數(shù)域中也巧妙地證明了的情形也沒有非零解——這一證法遠(yuǎn)比歐拉的證明更簡(jiǎn)潔且更具啟發(fā)性。一般情形下，人們將有理數(shù)域擴(kuò)展到由次單位根生成的數(shù)域上（所謂單位根就是方程的根）。這樣，費(fèi)馬方程的左邊在該數(shù)域下就可以分解為一次因式的乘積。如果我們事先知道這樣的數(shù)域中也有算術(shù)基本定理，那就很容易推出矛盾，從而證明費(fèi)馬猜想。

當(dāng)這一想法第一次被正式提出時(shí)，遭到了很多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑和反對(duì)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家?guī)炷饲霸缫岩庾R(shí)到這一問題，即復(fù)數(shù)情形下“素因子”分解不一定唯一!為了彌補(bǔ)這一缺陷，庫莫引入了理想數(shù)的概念，證明理想數(shù)有類似于算術(shù)基本定理那樣的唯一分解性質(zhì)，從而成功證明費(fèi)馬猜想在時(shí)成立。

其實(shí)理想數(shù)并不是真正的數(shù)，而是一組數(shù)的集合。但有趣的是，我們也可以定義這種集合之間的乘法運(yùn)算，并且定義出類似素?cái)?shù)的東西——素理想，最終證明理想數(shù)唯一分解定理——算術(shù)基本定理的推廣。理想數(shù)的引入可以說是極為關(guān)鍵的。它使數(shù)論的研究觀點(diǎn)和方法產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，促使了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展。繼庫莫的工作之后，戴德金將理想數(shù)推廣到了更一般情形，從而發(fā)展成了系統(tǒng)的理想理論。這一理論是交換代數(shù)等學(xué)科中的核心內(nèi)容之一。它不但對(duì)數(shù)論發(fā)展極為重要，而且還深入到其他各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，特別是對(duì)代數(shù)幾何等等學(xué)科有著重要的影響。

7 素?cái)?shù)和函數(shù)

上一節(jié)我們從一個(gè)側(cè)面看到素?cái)?shù)及算術(shù)基本定理對(duì)于數(shù)學(xué)的重要影響，它們的推廣促進(jìn)了代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域的發(fā)展。同樣地，素?cái)?shù)對(duì)于函數(shù)的研究也有極為深刻的影響。如前所述，除了算術(shù)基本定理，素?cái)?shù)另一重要的基本結(jié)論就是“素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無限”。我們?cè)?jīng)介紹了歐幾里德關(guān)于這一結(jié)論的存在性證明。實(shí)際上，歐拉還給了另一個(gè)巧妙的證明，這個(gè)證明極富啟發(fā)性，常被人們視為解析數(shù)論之發(fā)端。下面我們用不太嚴(yán)格的方式來介紹一下。歐拉的證明利用了下面幾個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)

(1) ：對(duì)任何介于0和1之間的實(shí)數(shù)，都有無限求和公式

(2) ：將下式左邊展開并利用算術(shù)基本定理得到左邊的大寫希臘字母在這里表示求乘積符號(hào)，就是把每個(gè)素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)都相乘起來。

(3) ：結(jié)合上面兩個(gè)式子，則有

<左右滑動(dòng)>

如果素?cái)?shù)只有有限個(gè)，那么上式左邊是個(gè)有限的數(shù)。但無論如何，上式右邊的值是無窮大（數(shù)學(xué)上叫做發(fā)散），這就推出矛盾!因此素?cái)?shù)個(gè)數(shù)必定無限。

從上面的討論，我們可以定義一個(gè)重要的函數(shù)——黎曼函數(shù)

稍微推廣一下前面的恒等式，就得到有趣的恒等式

黎曼函數(shù)是數(shù)學(xué)中極其重要的函數(shù)。黎曼首先研究了這種函數(shù)的諸多深刻性質(zhì)，并且第一次發(fā)現(xiàn)了黎曼函數(shù)居然和素?cái)?shù)之間存在著極為深刻的內(nèi)在聯(lián)系!按照上述方式定義的黎曼函數(shù)的定義域還比較小。通過一定的數(shù)學(xué)技巧，我們可以把它的定義域擴(kuò)大到除了以外的整個(gè)復(fù)平面上（即對(duì)所有不等于1的復(fù)數(shù)都有定義）。人們感興趣方程的根——通常稱作零點(diǎn)。黎曼函數(shù)有許許多多零點(diǎn)，其中一部分很容易求出來，我們把它們叫做平凡零點(diǎn)。剩下那部分非平凡零點(diǎn)落在哪里呢?黎曼做出了一個(gè)重要的猜測(cè)：

的非平凡零點(diǎn)一定可以寫成形如的復(fù)數(shù)（是實(shí)數(shù)）。換言之，所有的非平凡零點(diǎn)都落在直線上，這里 Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

這個(gè)猜想被稱為黎曼猜想，它被列為千禧年七大數(shù)學(xué)猜想之一，也被希爾伯特收入到23個(gè)著名數(shù)學(xué)問題中。這是個(gè)極其困難的問題，它遠(yuǎn)比費(fèi)馬猜想艱深得多。我們注意到，《數(shù)學(xué)文化》刊登的盧昌海博士的系列文章對(duì)黎曼猜想作了非常生動(dòng)的介紹。

為什么黎曼猜想如此重要呢?黎曼以其深刻的洞察力，發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)的許多性質(zhì)和黎曼函數(shù)的解析性質(zhì)密切相關(guān)。黎曼函數(shù)也可以稍稍變化，改成更一般的狄利克雷級(jí)數(shù)

此外還有許多更復(fù)雜的函數(shù)。研究表明，許許多多重要的數(shù)論猜想或定理本質(zhì)上都和研究這類函數(shù)的零點(diǎn)位置有關(guān)。比如前面說的素?cái)?shù)定理等等。因此從這樣的深刻背景來看，我們有理由預(yù)見，那些表面上看似簡(jiǎn)單的未解決之難題，即使有證明也必定是極其艱深的，絕不可能用簡(jiǎn)單的初等方法獲得。

黎曼的這一杰出工作，可以說是開了解析數(shù)論之先河，給數(shù)論研究提供了強(qiáng)有力的研究工具和技巧。盡管我們至今無法證實(shí)黎曼猜想，但是可以退而求其次，想辦法證明所有這些零點(diǎn)落在一條狹窄的區(qū)域里面——這個(gè)區(qū)域當(dāng)然要包含整條直線。我們要做的是將這個(gè)區(qū)域不斷地縮小。如果最終能壓縮成直線，那就等于證明了黎曼猜想。一個(gè)十分有趣的現(xiàn)象是：區(qū)域縮得越小，那么就能得到越多的關(guān)于素?cái)?shù)的深刻定理。

另一種迂回的方式，則是企圖在函數(shù)域情形探討黎曼猜想的一個(gè)模擬。事實(shí)上，Weil在有限域代數(shù)曲線上建立了這樣的類似猜想——Weil猜想。Weil本人于1948年證明了該情形的猜想。對(duì)有限域上高維代數(shù)簇情形，Weil也提出了類似猜想。數(shù)學(xué)家Deligne利用代數(shù)幾何等理論工具于1973年證明了它。盡管這一猜想離原始的黎曼猜想還相差很遠(yuǎn)，但這一杰出的工作已經(jīng)影響深遠(yuǎn)，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的發(fā)展，特別是代數(shù)幾何理論。

8一些題外話

我最早是通過湯濤教授的新浪微博了解《數(shù)學(xué)文化》的，并立刻被深深吸引住了，成為其忠實(shí)粉絲。在這里，我要感謝《數(shù)學(xué)文化》各位老師給我這次難得的鍛煉機(jī)會(huì)，也要感謝他們?cè)诳破諅鞑シ矫娴男燎趧谧?，讓我們能夠看到?shù)學(xué)有如此生動(dòng)有趣的一面。