編輯本段數論概述

　　數論就是指研究整數性質的一門理論。整數的基本元素是素數，所以數論的本質是對素數性質的研 究。2000年前，歐幾里得證明了有無窮個素數。既然有無窮個，就一定有一個表示所有素數的素數通項公式，或者叫素數普遍公式。它是和平面幾何學同樣歷史悠久的學科。高斯譽之為“數學中的皇冠” 按照研究方法的難易程度來看，數論大致上可以分為初等數論（古典數論）和高等數論（近代數論）。 　　初等數論主要包括整除理論、同余理論、連分數理論。它的研究方法本質上說，就是利用整數環(huán)的整除性質。 初等數論也可以理解為用初等數學方法研究的數論。 其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。 　　高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大致包括代數數論、解析數論、算術代數幾何等等。

編輯本段數論門類

初等數論

　　同上所述， 初等數論主要就是研究整數環(huán)的整除理論及同余理論。此外它也包括了連分數理論和少許不定方程的問題。 本質上說，初等數論的研究手段局限在整除性質上。 　　初等數論中經典的結論包括 算術基本定理、歐幾里得的質數無限證明、中國剩余定理、歐拉定理（其特例是 費馬小定理）、高斯的二次互逆律 ， 勾股方程的商高定理、 佩爾方程的連分數求解法等等。 　　

解析數論

　　借助微積分及復分析 （即復變函數）來研究關于整數的問題，主要又可以分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分布的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。 　　解析數論的創(chuàng)立當歸功于黎曼。 他發(fā)現了黎曼zeta函數之解析性質與數論中的素數分布問題存在深刻聯系。確切的說， 黎曼ζ函數的非平凡零點的分布情況決定了素數的很多性質。黎曼猜測， 那些零點都落在復平面上實部為1/2的直線上。這就是著名的黎曼假設--被譽為千禧年七大世界數學難題之一。值得注意的是， 歐拉實際上在處理素數無限問題時也用到了解析方法。 　　解析數論方法除了圓法、篩法等等之外， 也包括和橢圓曲線相關的模形式理論等等。此后又發(fā)展到自守形式理論，從而和表示論聯系起來。

代數數論

　　代數數論，將整數環(huán)的數論性質研究擴展到了更一般的整環(huán)上，特別是代數數域。一個主要課題就是關于代數整數的研究，目標是為了更一般地解決不定方程 求解的問題。 其中一個主要的歷史動力來自于尋找費馬大定理的證明。 　　代數數論更傾向于從代數結構角度去研究各類整環(huán)的性質， 比如在給定整環(huán)上是否存在算術基本定理等等。 　　這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密， 它實際上也構成了交換代數理論的一部分。 它也包括了其他深刻內容，比如表示論、p-adic理論等等。 　　

幾何數論 數的幾何

　　主要在于通過幾何觀點研究整數（在此即格點， 也稱整點）的分布情形。最著名的定理為Minkowski 定理。 這門理論也是有閔科夫斯基所創(chuàng)。 對于研究二次型理論有著重要作用。

計算數論

　　借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。

超越數論

　　研究數的超越性，其中對于歐拉常數與特定的 Zeta 函數值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數的丟番圖逼近理論。

組合數論

　　利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的復雜結論。這是由艾狄胥開創(chuàng)的思路。比如蘭伯特猜想的簡化證明。

算術代數幾何

　　這是數論發(fā)展到目前為止最深刻最前沿的領域， 可謂集大成者。 它從代數幾何的觀點出發(fā)，通過深刻的數學工具去研究數論的性質。比如外爾斯證明費馬猜想就是這方面的經典實例。 整個證明幾乎用到了當時所有最深刻的理論工具。 　　當代數論的一個重要的研究指導綱領，就是著名的郎蘭茲綱領。 　　

其他的研究方法

　　除了上述傳統方法之外，也有其他一些研究數論之法， 但是沒有完全得到數學家的認可。 比如有物理學家，通過量子力學方法聲稱證明了黎曼假設。

編輯本段數論的發(fā)展簡況

古代時期

　　公元前300年，古希臘數學家歐幾里得就發(fā)現了數論的本質是素數，他自己證明了有無窮多個素數，公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法。

編輯本段數論的發(fā)展簡況

　　公元前300年，古希臘數學家歐幾里得就發(fā)現了數論的本質是素數，他自己證明了有無窮多個素數，公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法： 　?。ㄒ唬?#8220;要得到不大于某個自然數N的所有素數，只要在2---N中將不大于√N的素數的倍數全部劃去即可”?！。ǘ┽醽砣藗儗⑸厦娴膬热莸葍r轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1<d≤√N”。（《基礎數論》13頁，U杜德利著，上海科技出版社）。. 　?。ㄈ┰賹ⅲǘ┑膬热莸葍r轉換：“若自然數N不能被不大于(根號)√N的任何素數整除，則N是一個素數”。見（代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。 　?。ㄋ模┥厦孢@句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式： 　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

　　 　　其中 p1，p2，.....，pk表示順序素數2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是腳標，由于打印不出來，凡字母后面的數字或者i與k都是腳標] ，則N是一個素數。 　?。ㄎ澹┛梢园眩?strong>1）等價轉換成為用同余式組表示： 　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2)

　　 　　例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一個素數。 　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 　　由于（2）的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據孫子定理(中國剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范圍內有唯一解。 　　例如k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）區(qū)間的全部素數。 　　k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）區(qū)間的全部素數。 　　k=3時, 　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| 　　---------------------|---------|----------|--------|---------| 　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| 　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| 　　------------------------------------------------------------ 　　求得了（7，7*）區(qū)間的全部素數。仿此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。上圖是文章出處。 　　自古以來，數學家對于整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。

古希臘數學家——歐幾里得

　　自我國古代，許多著名的數學著作中都關于數論內容的論述，比如求最大公因數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對于數論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統的研究，關于質數、合數、約數、倍數等一系列概念也已經被提出來應用了。后來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。 　　在整數性質的研究中，人們發(fā)現質數是構成正整數的基本“材料”，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關于質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注?？梢哉J為， 質數是整個數論的研究基石。 　　到了十八世紀末，歷代數學家積累的關于整數性質零散的知識已經十分豐富了，但是仍然沒有找到素數產生的模式。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術研究》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。 在《算術研究》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理系統化并進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法。 高斯在這一著作中主要提出了同余理論， 并發(fā)現了著名的二次互反律， 被其譽之為“數論之酵母”。 　　黎曼在研究ζ函數時，發(fā)現了復變函數的解析性質和素數分布之間的深刻聯系， 由此將數論領進了分析的領域。這方面主要的代表人物還有英國著名數論學家哈代 、李特伍德、拉馬努金等等。在國內，則有華羅庚、陳景潤、王元等等。 　　另一方面， 由于此前人們一直關注費馬大定理的證明， 所以又發(fā)展出了代數數論的研究課題。 比如庫莫提出了理想數的概念--可惜他當時忽略了代數擴環(huán)的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了復整數環(huán)的理論--即高斯整數。他在3次情形的費馬猜想中也用了擴環(huán)的代數數論性質。 代數數論發(fā)展的一個里程碑，則是希爾伯特的《數論報告》。 　　隨著數學工具的不斷深化， 數論開始和代數幾何深刻聯系起來， 最終發(fā)展稱為當今最深刻的數學理論，諸如算術代數幾何， 它們將許多此前的研究方法和研究觀點最終統一起來， 從更加高的觀點出發(fā)，進行研究和探討。 　　由于近代計算機科學和應用數學的發(fā)展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。 　　素數與圓周率關系 　　∑1／k2=∏（1／p2）－1=∏2／6 　　歐拉給出了圓周率與素數的關系，k=1，2，3，，，。 　　p=素數，并且遍歷所有素數。 　　∏2／6分子表示圓周率的平方。 　　平方改成復數就是黎曼猜想了。真是神奇。

編輯本段整除問題

整除數的特征：

　　1.末位數是偶數能被2整除；末位數是0或5能被5整除。末兩位是4或25的倍數的數，能被4或25整除。末三位是8或125的倍數的數，能被8或125整除。 　　2.各個數位數字之和是3或9的倍數的數，能被3或9整除。 　　3.奇數位各個數字之和與偶數位的各個之和的差位11的倍數，，則這個數能被11整除。 　　4.一個多位數把他的末三位和其他位數分成兩部分，則兩部分的茶是7,11,13的倍數，則這個是能被7,11,13整除?！∪祟悘膶W會計數開始就一直和自然數打交道了，后來由于實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介于正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們合起來叫做整數。（注：現在，自然數的概念有了改變，包括正整數和0） 　　對于整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。又叫算術，它與幾何學是最古老的兩門數學分支。傳統的幾何學已經枯萎，而傳統的數論（即算術）還有大量的問題無法解決。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數范圍內可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數。但整數之間的除法在整數范圍內并不一定能夠無阻礙地進行，利用這一性質人們發(fā)明了大數密碼體系。至今仍然關系著國家的安全。 　　人們在對整數進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數的特性。比如，整數淺薄地劃分可分為兩大類—奇數和偶數（通常被稱為單數、雙數）；深刻地劃分可以分為素數，合數，“1”等。兩千多年來，數論學有一個重要的任務，就是尋找素數性質及分布規(guī)律，為此，花費了巨大的心血。 利用素數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數學規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數學家不斷地研究和探索。 　　數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。后來整數論又進一步發(fā)展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。 　　數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。”所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。　 　　自古以來，數學家對于整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。 自我國古代，許多著名的數學著作中都關于數論內容的論述，比如求最大公因數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對于數論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統的研究，關于質數、合數、約數、倍數等一系列概念也已經被提出來應用了。后來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。 　　在整數性質的研究中，人們發(fā)現質數是構成正整數的基本“材料”，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關于質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注?？梢哉J為， 質數是整個數論的研究基石。

十八世紀末時期

　　到了十八世紀末，歷代數學家積累的關于整數性質零散的知識已經十分豐富了，但是仍然沒有找到素數產生的模式。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術研究》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。 在《算術研究》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理系統化并進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法。 高斯在這一著作中主要提出了同余理論， 并發(fā)現了著名的二次互反律， 被其譽之為“數論之酵母”。 　　黎曼在研究ζ函數時，發(fā)現了復變函數的解析性質和素數分布之間的深刻聯系， 由此將數論領進了分析的領域。這方面主要的代表人物還有英國著名數論學家哈代 、李特伍德、拉馬努金等等。在國內，則有華羅庚、陳景潤、王元等等。 　　另一方面， 由于此前人們一直關注費馬大定理的證明， 所以又發(fā)展出了代數數論的研究課題。 比如庫莫提出了理想數的概念--可惜他當時忽略了代數擴環(huán)的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了復整數環(huán)的理論--即高斯整數。他在3次情形的費馬猜想中也用了擴環(huán)的代數數論性質。 代數數論發(fā)展的一個里程碑，則是希爾伯特的《數論報告》。 　　隨著數學工具的不斷深化， 數論開始和代數幾何深刻聯系起來， 最終發(fā)展稱為當今最深刻的數學理論，諸如算術代數幾何， 它們將許多此前的研究方法和研究觀點最終統一起來， 從更加高的觀點出發(fā)，進行研究和探討。

現代

　　由于近代計算機科學和應用數學的發(fā)展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。

編輯本段數論中的問題

　　數論在數學中的地位是獨特的，高斯曾經說過“數學是科學的皇后，數論是數學中的皇冠”。因此，數學家都喜歡把數論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們去“摘取”。下面簡要列出幾顆“明珠”：費馬大定理、孿生素數問題、歌德巴赫猜想、梅森素數問題、黎曼猜想……

編輯本段中國數論及專家

　　在我國近代，數論也是發(fā)展最早的數學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現了華羅庚、閔嗣鶴、柯召、潘承洞等第一流的數論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數論的研究的得到了更大的發(fā)展。陳景潤、王元等在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領先的優(yōu)秀成績；周海中在著名數論難題——梅森素數分布的研究中取得了世界領先的卓著成績。