我們經(jīng)常聊到物理學(xué)家都在追尋物理學(xué)的大一統(tǒng)，物理學(xué)的第一次大一統(tǒng)是麥克斯韋的麥克斯韋方程組，將電學(xué)與磁學(xué)相統(tǒng)一，建立了電磁學(xué)理論，后來，愛因斯坦想繼續(xù)完成麥克斯韋未竟之事業(yè)，將引力與電磁力相統(tǒng)一，最后失敗，而隨著弱力、強力的被發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)界早已在上世紀 70 年代，將電磁力與弱力、強力進行統(tǒng)一，就只剩下了引力，可以說只差臨門一腳。

而數(shù)學(xué)界也有許多的數(shù)學(xué)家想要實現(xiàn)數(shù)學(xué)各大分支之間的統(tǒng)一，其中最偉大的構(gòu)想就是——朗蘭茲綱領(lǐng)。

數(shù)學(xué)中有三個相對獨立發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支分別是：數(shù)論、代數(shù)幾何以及群表示論。

代數(shù)幾何是幾何學(xué)延伸出來的一個分支，是將抽象代數(shù)，特別是交換代數(shù)，同幾何結(jié)合起來。它可以被認為是對代數(shù)方程系統(tǒng)的解集的研究。代數(shù)幾何以代數(shù)簇為研究對象。代數(shù)簇是由空間坐標(biāo)的一個或多個代數(shù)方程所確定的點的軌跡。例如，三維空間中的代數(shù)簇就是代數(shù)曲線與代數(shù)曲面。代數(shù)幾何研究一般代數(shù)曲線與代數(shù)曲面的幾何性質(zhì)。

而群表示論則是群表示論用具體的線性群（矩陣群）來描述群的理論，是研究群的最有力的工具之一。群論的提出來源于伽羅瓦理論中，在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響之外，還生成了幾何群論這一新的數(shù)學(xué)分支。

“數(shù)論”其實在建立初期就叫“算術(shù)”，到20世紀初，才正式更名為“數(shù)論”。主要是研究整數(shù)的性質(zhì)，其中對于素數(shù)通項公式的研究，貫穿了整個數(shù)論發(fā)展史。

“數(shù)論”誕生于古希臘時期，而后來歐氏幾何一統(tǒng)數(shù)學(xué)江湖，數(shù)學(xué)的研究陷入停滯，直到15-16世紀到19世紀，“數(shù)論”的研究再次興起，涌現(xiàn)出了一大批投身于“數(shù)論”研究的數(shù)學(xué)家：費馬，梅森、歐拉、高斯、黎曼、希爾伯特等。費馬大定理是數(shù)論中最著名的世界難題之一

1801年，高斯以前人的研成果為基礎(chǔ)，發(fā)表了具有劃時代意義的數(shù)學(xué)著作《算術(shù)研究》，這部巨著被認為開啟了“現(xiàn)代數(shù)論”的新紀元。

而在《算術(shù)研究》中，高斯創(chuàng)立了“同余理論”，并發(fā)現(xiàn)了被譽為“數(shù)論之酵母”的“二次互反律”。在此基礎(chǔ)上，黎曼創(chuàng)立了“黎曼ζ函數(shù)”，黎曼猜想就是是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點 分布的猜想。

經(jīng)過對“黎曼ζ函數(shù)”的研究，黎曼發(fā)現(xiàn)“復(fù)變函數(shù)”的“解析性質(zhì)”似乎揭示了“素數(shù)的分布規(guī)律”。這一重大發(fā)現(xiàn)，將“數(shù)論”的研究領(lǐng)進了“分析領(lǐng)域”。

隨著新的“數(shù)學(xué)工具”不斷涌現(xiàn)， 數(shù)論開始和“代數(shù)幾何”建立了聯(lián)系， 直接導(dǎo)致了另一門具有重要意義新的學(xué)科“算術(shù)代數(shù)幾何”的誕生。（算數(shù)幾何是代數(shù)幾何的一個分支，是以 數(shù)論為背景或目的的代數(shù)幾何）

“算術(shù)代數(shù)幾何” 將幾個看似不相關(guān)的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一了起來。讓數(shù)學(xué)家意識到或許可能存在一個紐帶，將數(shù)學(xué)各大分支進行聯(lián)系統(tǒng)一起來。

1967 年的時候，30歲的普林斯頓數(shù)學(xué)家羅伯特·郎蘭茲曾試探性地給著名數(shù)學(xué)家韋伊寫了一封信，概述了一個宏偉的藍圖。

朗蘭茲在他的信中提出，數(shù)學(xué)上兩個差之千里的分支，數(shù)論和調(diào)和分析可能是相關(guān)的。

在朗蘭茲的信中，他在高斯發(fā)現(xiàn)的二次互反律基礎(chǔ)上，提出了更廣泛的延伸。高斯的定律適用于指數(shù)不高于2的二次方程。但朗蘭茲認為，在三次、四次等高階方程中產(chǎn)生的質(zhì)數(shù)，應(yīng)該會與調(diào)和分析成互反關(guān)系。

調(diào)和分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一，主要研究函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)或傅立葉積分，以及有關(guān)這種級數(shù)和積分的各種問題。

朗蘭茲綱領(lǐng)就將多項式方程的質(zhì)數(shù)值與分析和幾何學(xué)中研究的微分方程的譜相聯(lián)系到一起，并認為這兩者之間應(yīng)該存在互反關(guān)系。因此，我們應(yīng)該能通過了解哪些數(shù)字出現(xiàn)在相應(yīng)的光譜中，來表示哪些質(zhì)數(shù)出現(xiàn)在特定的情況中。不過這兩組數(shù)字不能被直接比較，它們必須都通過不同的數(shù)學(xué)對象進行翻譯。

朗蘭茲信中包含的思想種子由此萌生成了朗蘭茲綱領(lǐng)。

朗蘭茲綱領(lǐng)指出這三個相對獨立發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支：數(shù)論、代數(shù)幾何和群表示論，實際上是密切相關(guān)的，而連接這些數(shù)學(xué)分支的紐帶是一些特別的函數(shù)，被稱為L-函數(shù)。

L-函數(shù)主要有三部分內(nèi)容：解析延拓、零點的分布以及特殊點的值。 黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素數(shù)定理時,引出了和素數(shù)分布有關(guān)的復(fù)變量的黎曼ζ函數(shù)就是屬于L-函數(shù)。

對于一個研究對象X 如素數(shù), 伽羅瓦擴張, 橢圓曲線, 代數(shù)簇等等, 我們可根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出一個復(fù)變量的L-函數(shù)的解析性質(zhì): 零點和極點, 函數(shù)方程, 展開系數(shù), 特殊點的值等等, 往往能夠充分反映的算術(shù), 幾何, 或代數(shù)性質(zhì)。

數(shù)學(xué)界著名的七個“千禧年大獎問題”中有兩個就是關(guān)于L-函數(shù)的，它們分別是黎曼猜想和BSD猜想。它們的重要性由此可見一斑。

所以朗蘭茲認為為L-函數(shù)可以充當(dāng)將各數(shù)學(xué)分支聯(lián)系一起的紐帶。朗蘭茲提出了怎樣對一般的簡約群的自守表示定義一些L-函數(shù)，并猜測一般線性群自守表示的一些L-函數(shù)跟來自數(shù)論的伽羅瓦群的一些表示的L-函數(shù)是一樣的。

這個猜想被朗蘭茲本人和其他數(shù)學(xué)家進一步拓展、細化，逐漸形成了一系列揭示數(shù)論、代數(shù)幾何、表示論等學(xué)科之間深刻聯(lián)系的猜想。朗蘭茲綱領(lǐng)就是對這些猜想和相關(guān)問題的研究。

簡單而言，就是朗蘭茲提出一項雄心勃勃的革命性理論：將數(shù)學(xué)中兩大分支——數(shù)論和表示論聯(lián)系起來，其中包含一系列的猜想和洞見，最終發(fā)展出“朗蘭茲綱領(lǐng)”。它是一組意義深遠的猜想， 這些猜想精確地預(yù)言了數(shù)學(xué)中某些表面上毫不相干的領(lǐng)域之間可能存在的聯(lián)系。

而其中如果綱領(lǐng)成立的話，那么必須成立的數(shù)學(xué)公式。朗蘭茲把這個結(jié)果稱為“基本引理”。

從朗蘭茲綱領(lǐng)提出的那一刻，一代又一代的數(shù)學(xué)家開始接受并擴展了他的構(gòu)想。隨著數(shù)學(xué)家對朗蘭茲綱領(lǐng)的不斷深入，它所涵蓋的領(lǐng)域非常多，許多人相信，只要完成了朗蘭茲綱領(lǐng)中的工作，就可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)的大一統(tǒng)，即實現(xiàn)算術(shù)、幾何和數(shù)學(xué)分析三大核心學(xué)科的統(tǒng)一。就數(shù)學(xué)史而言，這可以說是革命性的。

著名的數(shù)學(xué)家愛德華·弗倫克爾在菲爾茲獎座談會上曾經(jīng)說過：

朗蘭茲綱領(lǐng)是一個很廣闊的問題，有許多專家工作于此。但正如我剛才所說，朗蘭茲綱領(lǐng)的思想已經(jīng)滲透到許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。所以有人鉆研數(shù)論，或調(diào)和分析，或幾何，或數(shù)學(xué)物理研究不同的對象，但是發(fā)現(xiàn)了相似的現(xiàn)象。對于我來說，就是研究同樣的模式怎么在不同的領(lǐng)域中表現(xiàn)的，從而找到這些領(lǐng)域是怎么聯(lián)系起來的。

這就像我們有一些來自不同語言的句子，我們知道這些句子說的是一件事。我們把它放在一塊，一一對應(yīng)這些句子的每個單詞，最后我們能編出一本翻譯不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的詞典。

用其他的話說，我們不把朗蘭茲綱領(lǐng)看成數(shù)學(xué)的“領(lǐng)域”，而是看成“超領(lǐng)域”，因為它橫貫整個數(shù)學(xué)世界。

懷爾斯對于費馬大定理的成功證明更是讓數(shù)學(xué)家們看到了朗蘭茲綱領(lǐng)的可行性，安德魯·懷爾斯在上世紀90年代初對費馬大定理的證明。

懷爾斯的證明與其他人的工作一起完成了谷山―志村―韋依猜想的解決。該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關(guān)系，證明了谷山―志村―韋依猜想，就證明了費馬大定理。

前者是具有深刻算術(shù)性質(zhì)的幾何對象，后者是來源于截然不同的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù)。而這就來源于朗蘭茲綱領(lǐng)提出了數(shù)論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個關(guān)系網(wǎng)。

由此，朗蘭茲綱領(lǐng)的影響近年來與日俱增，與它有關(guān)的每一個新的進展都被看作是重要的成果。直到如今，朗蘭茲綱領(lǐng)的研究也是數(shù)學(xué)界的一個大方向之一，許多數(shù)學(xué)家因為對朗蘭茲綱領(lǐng)的研究取得了突破而獲得了菲爾茲獎。

越南數(shù)學(xué)家吳寶珠通過引入新的代數(shù)-幾何學(xué)方法，證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式中的“基本引理”而獲得了菲爾茲獎，2009年，美國《時代》周刊將基本引理的證明列為年度十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。

而幾何和代數(shù)大統(tǒng)一研究的最新核心就是 p 進數(shù)，即任意給定的素數(shù) p 的替代表示。從一個任意正整數(shù)創(chuàng)建出一個 p 進數(shù)，就要將這個整數(shù)表示成 p 進制的數(shù)，然后再反向表達。

少年天才舒爾茨曾用3個學(xué)期學(xué)完了本科，接著，又用2個學(xué)期學(xué)完了研究生內(nèi)容，更可怕的是，他憑借碩士畢業(yè)論文而直接獲得了博士學(xué)位！

他通過引入擬完備空間把算術(shù)代數(shù)幾何轉(zhuǎn)換到p進域上，并應(yīng)用于伽羅瓦表示，被人們稱為“代數(shù)幾何未來幾十年最具潛力的幾大框架體系之一”。

憑借著這驕人的成績，舒爾茨 30 歲就獲得了菲爾茲獎，還被譽為代數(shù)幾何的上帝——格羅滕迪克的接班人。

我們國家對于朗蘭茲綱領(lǐng)的證明工作也取得了一些成績：

1. 證明了Theta對應(yīng)的三個最基本的論斷。羅杰·豪爾開創(chuàng)的Theta對應(yīng)理論有三個最基本的論斷，分別稱為豪爾對偶猜想、重數(shù)保守猜想和庫德拉-拉利斯守恒律猜想。

2. 完成了重數(shù)——猜想的證明，并證明了一系列與此相關(guān)的重要唯一性定理。

3. 對亞辛群系統(tǒng)研究了跡公式，特別地，建立了亞辛群的跡公式橢圓部分的穩(wěn)定化。

4. 證明了卡日丹和馬祖爾在上世紀70年代提出的一個局部zeta積分非零的假設(shè)。

可以說，朗蘭茲綱領(lǐng)為數(shù)學(xué)界的發(fā)展指引了一個方向，對于朗蘭茲綱領(lǐng)的證明將會是一個漫長的過程，如今幾何與代數(shù)的大統(tǒng)一就在眼前，未來，數(shù)學(xué)界真正意義的大一統(tǒng)還會遠嗎？