什么是證明？ 哲學(xué)家已經(jīng)爭論近一個世紀(jì)之久。如何去證明？無可置疑的是他們會繼續(xù)質(zhì)疑下去。另一方面，數(shù)學(xué)家很久以來也使用證明的運(yùn)用來提高數(shù)學(xué)認(rèn)知。

在這個問題的開始，想要先來看一系列文章來介紹一些證明背后的基本思想和邏輯推理，看現(xiàn)實中證明在數(shù)學(xué)中的重要性。

在這篇文章當(dāng)中，我們必須先簡單介紹演繹推理，再來看一下一些早期的數(shù)學(xué)證明的例子。

演繹推理

假設(shè)一些事實或者前提是正確的。演繹推理是拓展一系列事實很重要的一個方法。在演繹推理中，我們假設(shè)一些前提是已知條件P，然后得到一個結(jié)論C。例如，假設(shè)前提：

P：所有的人都是凡人。

P：蘇格拉底是一個人。

得出結(jié)論

C：蘇格拉底是凡人。

這就是演繹推理。 在這種情況下，演繹步驟是基于邏輯原理，如果A預(yù)示著B，A是真的，那么B是真的 ，這是一個中世紀(jì)邏輯學(xué)家稱為 modus ponens（模態(tài)的原則）。

當(dāng)然，演繹推理不是絕對可靠的：前提可能不是真的，或者推理本身是錯誤的！這時候你“證明”的東西，實際上不是真的。 比如說“證明”1 = 2的方式。 這里是一個老話題：

假如a=b，

因此，

a2=ab

a2+a2=a2+ab

2a2-2ab=a2+ab-2ab

2a2-2ab=a2-ab

提取括號：

2（a2-ab）=1（a2-ab）

兩邊除以 a2-ab，我們因此可以得到：

2=1

你能看出這個證明過程中的錯誤嗎？

現(xiàn)在，假設(shè)這個結(jié)論不是從前提推理來的，那么這個證明被稱為無效。無論前提是否正確。

如果論證是有效的，但前提不是真的，那么同樣結(jié)論可能是真的，也可能不是真的，但是論證不能幫助我們決定這一點。

思考題：你能找到上圖的問題嗎？

如果證明是有效的，并且前提是正確的，這個證明才是合理的。從實際的角度來看，如果我們能找到一個合理的論據(jù)，我們可以說是證明了一些東西。

表1總結(jié)了這些不同類型的演繹推理證明情況，表2提供了每種情況的示例。

正如表2中的兩個無效論證所表明的，無效證明的結(jié)論不一定是假的 - 它只是在特定的論證中沒有被正確的證明。

開始于：歐幾里得幾何

歐幾里得誕生于公元前365年在埃及亞歷山大。并在公元前300年去世。 很少知道他的生活，除了他在亞歷山大教數(shù)學(xué)。Euclid寫了一些論文，但最有名的是他的Elements ，已經(jīng)被用做幾何教科書超過2000年！ Elements代表了數(shù)學(xué)史上證明的最早使用之一。

在他的Elements中 ，Euclid列出了二十三個定義，描述點，線，平面，圓，鈍角和銳角等。Euclid的定義既不是真的也不是假的：它們只是作為一種字典，解釋他將使用的各種術(shù)語的含義。

然后他提出一組十個假設(shè)。其中五個不是幾何特有的，他稱之為常見的概念 ：

1. 等量間彼此相等

2. 等量加等量和相等

3. 等量減等量差相等

4. 完全重合的東西是相等的

5. 整體大于部分

其他五個假設(shè)是幾何的，他稱之為公設(shè) ：

1. 任意兩個點可以通過一條直線連接。

2. 任意線段能無限延伸成一條直線。

3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4. 所有直角都全等。

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

這些共同的公理和公設(shè)代表歐幾里德幾何的公理。 公理是一個邏輯原則，它被認(rèn)為是真實的而不是被證實的，并且可以在演繹論證中被用作前提。

歐幾里德的公理集或公理系統(tǒng)代表了“第一原則”的集合，從中可以使用演繹推理來產(chǎn)生其他原則。 當(dāng)然，任何演繹論據(jù)只有在Euclid的常見概念和公設(shè)真的是真實的時候才是正確的！

命題證明的一個例子

Euclid在他的Elements中展示了各種幾何命題，并且在他的公理系統(tǒng)中使用演繹推理表明它們是真實的。

一個例子是命題6：“如果在三角形中兩個角度彼此相等，相等的角所對應(yīng)的邊也相等。

Euclid的這個命題的實際論證如下：

上圖：歐幾里德的命題6。

△ABC， 假設(shè)∠ABC=∠ACB，證明AB等于邊AC。

證明： 若AB≠AC, 不妨設(shè) AB＞AC

在AB 上截取一段BD 等于較小的AC,

鏈接DC,

由 DB=AC, BC=CB, ∠DBC=∠ACB

可知 △DBC等于△ACB,

即部分等于整體，矛盾。

因此AB等于AC。（反證法）

歐幾里得的命題是正確的嗎

歐幾里德時代的希臘人和后來的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家都有一個直覺，第五個公設(shè)實際上可以使用常見的概念和前四個公設(shè)來證明。

事實上，第五個公設(shè)不是從其他公設(shè)和概念推導(dǎo)出來的，也不是普遍真實的。 數(shù)學(xué)家對數(shù)世紀(jì)以來的第五個公設(shè)繼續(xù)著迷，但直到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)（通過許多著名數(shù)學(xué)家的努力，包括Legendre ， Gauss ， Bolyai ， Lobachevsky ， Riemann ， Beltrami和Klein ），我們了解了非歐幾何之后，知道第五個公設(shè)不是真的。

空間簡史之黎曼幾何

第五個假設(shè)可以在平面 （或歐幾里德 ）幾何中顯示為真。 然而，有許多其他幾何，它是不是真的。 令人驚訝的是，這很容易說明！ 考慮球體表面的簡單情況。芽編有在前面的羅氏幾何和黎曼幾何中解釋過。

第五個公設(shè)的失敗的后果之一是，三角形的角度之和總是180度不再是真的。

思考題：事實上，有一個著名的橫向思維謎語，隱含地依賴于非歐幾里德幾何：

一天早晨獵人離開他的房子，向南走一英里。 然后向西走了一英里，打了一頭熊，然后向北走了一英里，然后回來他的房子。問熊的顏色？

歐幾里得和它的邏輯推理

歐式幾何，還有后來非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，表明了使用公理作為證明基礎(chǔ)進(jìn)行演繹推理的優(yōu)勢和缺陷。

使用歐幾里得的定義，常見概念和公設(shè)作為推理基礎(chǔ)，能夠產(chǎn)生一些重要的幾何命題的演繹證明。 他的公理和證明是許多后來幾代數(shù)學(xué)家的有用的工具集，并顯示演繹推理是如何的強(qiáng)大和有用。

然而，發(fā)現(xiàn)非歐幾里得幾何的漫長和痛苦的過程已經(jīng)顯示了在公理系統(tǒng)中演繹推理的局限性。在歐幾里得平面中，歐幾里德的第五個公設(shè)是真實的，他的有效證明是正確的。 然而，在非歐幾里德幾何形狀（例如球體的表面）中，第五個公設(shè)不是真的，因此歐幾里德的證明是不健全的。