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歐幾里得 遼寧師范大學(xué) 梁宗巨 歐幾里得(Euclid，拉丁文為 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活躍于古希臘文化中心亞歷山大．?dāng)?shù)學(xué)． 歐幾里得以其所著的《幾何原本》(Elements，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《原本》)聞名于世，他的名字在20世紀(jì)以前一直是幾何學(xué)的同義詞，而對(duì)于他的生平，現(xiàn)在知道的卻很少．他生活的年代，是根據(jù)下列的記載來(lái)確定的．雅典柏拉圖學(xué)園晚期的導(dǎo)師普羅克洛斯(Proclus，約公元412—485年)在450年左右給歐幾里得《原本》卷1作注，寫(xiě)了一個(gè)《幾何學(xué)發(fā)展概要》，常稱(chēng)為《普羅克洛斯概要》(Proclus's summary)，簡(jiǎn)稱(chēng)《概要》，是研究希臘幾何學(xué)史的兩大重要原始參考資料之一．另一種資料是帕波斯(Pappus)的《數(shù)學(xué)匯編》(Mathematical collection)，下面簡(jiǎn)稱(chēng)《匯編》．《概要》中指出，歐幾里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，約公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)時(shí)代的人，早年求學(xué)于雅典，深知柏拉圖的學(xué)說(shuō)．他著《原本》時(shí)引用許多柏拉圖學(xué)派人物如歐多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，約公元前417—前369年)的成果，可能他也是這個(gè)學(xué)派的成員．《概要》又說(shuō)阿基米德(Archimedes)的書(shū)引用過(guò)《原本》的命題，可見(jiàn)他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)． 通過(guò)亞里士多德(Aristotle)的著作，也可以核對(duì)歐幾里得的年代．《原本》中建立公設(shè)、公理，顯然受到亞里士多德邏輯思想的影響．亞里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中給出“等腰三角形兩底角相等”的“證明”，和《原本》卷Ⅰ命題5完全不同，也沒(méi)有提到歐幾里得．可見(jiàn)《原本》的證明是歐幾里得后來(lái)完成的，他的活動(dòng)年代應(yīng)在亞里士多德之后． 另一方面，歐幾里得的天文著作《觀測(cè)天文學(xué)》(Phaenomena)曾引用奧托利科斯(Autolycus of Pitane，約公元前300年)《運(yùn)行的天體》(On moving sphere)的命題．而奧托利科斯是阿塞西勞斯(Arcesilaus，約公元前315—前241年，曾是柏拉圖學(xué)園的導(dǎo)師)的老師． 此外，帕波斯在《匯編》(卷7)中提到阿波羅尼奧斯(Apollo-nius)長(zhǎng)期住在亞歷山大，和歐幾里得的學(xué)生在一起．這說(shuō)明歐幾里得在亞歷山大教過(guò)學(xué)． 綜上所述，歐幾里得活躍時(shí)期應(yīng)該是公元前 300—前295年前后． 《概要》還記述了這樣一則軼事：托勒密王問(wèn)歐幾里得，除了他的《原本》之外，有沒(méi)有其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑．歐幾里得回答道： 這句話(huà)后來(lái)推廣為“求知無(wú)坦途”，成為傳誦千古的箴言．斯托比亞斯(Stobaeus，約公元500年)的記載略有差異，他認(rèn)為是門(mén)奈赫莫斯(Menaechmus)對(duì)亞歷山大王說(shuō)的話(huà)：“在國(guó)家里有老百姓走的小路，也有為國(guó)王鋪設(shè)的大道，但在幾何里，道路只有一條！”現(xiàn)多數(shù)學(xué)者取前說(shuō)．理由是在門(mén)奈赫莫斯的時(shí)代，幾何學(xué)尚未形成嚴(yán)整的獨(dú)立學(xué)科． 斯托比亞斯還記載另一則故事，說(shuō)一個(gè)學(xué)生才開(kāi)始學(xué)習(xí)第一個(gè)命題，就問(wèn)學(xué)了幾何學(xué)之后將得到些什么．歐幾里得說(shuō)：“給他三個(gè)錢(qián)幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲取實(shí)利”．由此可知?dú)W幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研，不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng)，也反對(duì)狹隘實(shí)用觀點(diǎn)．帕波斯特別贊賞歐幾里得的謙遜，他從不掠人之美，也沒(méi)有聲稱(chēng)過(guò)哪些是自己的獨(dú)創(chuàng)．而阿波羅尼奧斯則不然，他過(guò)分突出自己，明明是歐幾里得研究過(guò)的工作，他在《圓錐曲線(xiàn)論》中也沒(méi)有提到歐幾里得． 除《原本》之外，歐幾里得還有不少著作，可惜大都失傳．幾何著作保存下來(lái)的有《已知數(shù)》(The data)、《圖形的分割》(Ondivisions of figures)，此外還有光學(xué)、天文學(xué)和力學(xué)等，多已散失． 《原本》產(chǎn)生的歷史背景 歐幾里得《原本》是一部劃時(shí)代的著作．其偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范．過(guò)去所積累下來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)，是零碎的、片斷的，可以比作木石、磚瓦．只有借助于邏輯方法，把這些知識(shí)組織起來(lái)，加以分類(lèi)、比較，揭露彼此間的內(nèi)在聯(lián)系，整理在一個(gè)嚴(yán)密的系統(tǒng)之中，才能建成巍峨的大廈．《原本》完成了這一艱巨的任務(wù)，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響． 《原本》的出現(xiàn)不是偶然的，在它之前，已有許多希臘學(xué)者做了大量的前驅(qū)工作．從泰勒斯算起，已有 300多年的歷史(見(jiàn)［11］)．泰勒斯是希臘第一個(gè)哲學(xué)學(xué)派——伊奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)建者．他力圖擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，對(duì)一切科學(xué)問(wèn)題不僅回答“怎么樣”？還要回答“為什么這樣”？他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是開(kāi)始了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了可貴的第一步． 接著是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，用數(shù)來(lái)解釋一切，將數(shù)學(xué)從具體的事物中抽象出來(lái)，建立自己的理論體系．他們發(fā)現(xiàn)了勾股定理，不可通約量，并知道五種正多面體的存在，這些后來(lái)都成為《原本》的重要內(nèi)容．這個(gè)學(xué)派的另一特點(diǎn)是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來(lái)，為《原本》算術(shù)的幾何化提供了線(xiàn)索． 希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典成為人文薈萃的中心．雅典的智人(sophist)學(xué)派提出幾何作圖的三大問(wèn)題：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍；(3)化圓為方——求作一正方形，使其面積等于一已知圓．問(wèn)題的難處，是作圖只許用直尺(沒(méi)有刻度，只能劃直線(xiàn)的尺)和圓規(guī)．希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問(wèn)題．這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向演繹體系靠攏的又一步．作圖只能用尺規(guī)的限制最先是伊諾皮迪斯(Oeno－pedes，約公元前465年)提出的，后來(lái)《原本》用公設(shè)的形式規(guī)定下來(lái)，于是成為希臘幾何的金科玉律． 智人學(xué)派的安蒂豐(Antiphon)為了解決化圓為方問(wèn)題，提出頗有價(jià)值的“窮竭法”(method of exhaustion)，孕育著近代極限論的思想．后來(lái)經(jīng)過(guò)歐多克索斯的改進(jìn)，使其嚴(yán)格化，成為《原本》中的重要證明方法，較有代表性的是卷Ⅻ的命題 2．(見(jiàn)［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．) 埃利亞(意大利半島南端)學(xué)派的芝諾(Zeno of Elea)提出四個(gè)著名的悖論，迫使哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家深入思考無(wú)窮的問(wèn)題．無(wú)窮歷來(lái)是爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，在《原本》中，歐幾里得實(shí)際上是回避了這一矛盾．例如卷Ⅸ命題20說(shuō)：“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)比任意給定的素?cái)?shù)都多”，而不用我們現(xiàn)在更簡(jiǎn)單的說(shuō)法：素?cái)?shù)無(wú)窮多．只說(shuō)直線(xiàn)可任意延長(zhǎng)而不是無(wú)限延長(zhǎng)． 原子論學(xué)派的德謨克利特(Democritus，約公元前410年)用原子法得到的結(jié)論：錐體體積是同底等高柱體的 1/3，后來(lái)也是《原本》中的重要命題． 柏拉圖學(xué)派的思想對(duì)歐幾里得無(wú)疑產(chǎn)生過(guò)深刻的影響．柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實(shí)用價(jià)值．他主張通過(guò)幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因?yàn)閹缀文芙o人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中． 這個(gè)學(xué)派的重要人物歐多克索斯創(chuàng)立了比例論，用公理法建立理論，使得比例也適用于不可通約量．《原本》卷Ⅴ比例論大部分采自歐多克索斯的工作． 柏拉圖的門(mén)徒亞里士多德是形式邏輯的奠基者，他的邏輯思想為日后將幾何整理在嚴(yán)密的體系之中創(chuàng)造了必要的條件． 到公元前4世紀(jì)，希臘幾何學(xué)已經(jīng)積累了大量的知識(shí)，邏輯理論也漸臻成熟，由來(lái)已久的公理化思想更是大勢(shì)所趨．這時(shí)，形成一個(gè)嚴(yán)整的幾何結(jié)構(gòu)已是“山雨欲來(lái)風(fēng)滿(mǎn)樓”了． 建筑師沒(méi)有創(chuàng)造木石磚瓦，但利用現(xiàn)有的材料來(lái)建成大廈也是一項(xiàng)不平凡的創(chuàng)造．公理的選擇，定義的給出，內(nèi)容的編排，方法的運(yùn)用以及命題的嚴(yán)格證明都需要有高度的智慧并要付出巨大的勞動(dòng)．從事這宏偉工程的并不是個(gè)別的學(xué)者，在歐幾里得之前已有好幾個(gè)數(shù)學(xué)家做過(guò)這種綜合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，約公元前460年)，勒俄(Leo或Leon，公元前4世紀(jì))，修迪奧斯(Theudius，公元前4世紀(jì))等．但經(jīng)得起歷史風(fēng)霜考驗(yàn)的，只有歐幾里得《原本》一種．在漫長(zhǎng)的歲月里，它歷盡滄桑而能流傳千古，表明它有頑強(qiáng)的生命力．它的公理化思想和方法，將繼續(xù)照耀著數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路． 《原本》的版本和流傳 歐幾里得本人的《原本》手稿早已失傳，現(xiàn)在看到的各種版本都是根據(jù)后人的修訂本、注釋本、翻譯本重新整理出來(lái)的．古希臘的海倫(Heron)、波菲里奧斯(Porphyrius，約公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世紀(jì)前半葉)等人都注釋過(guò)．最重要的是賽翁(Theon of Alexandria，約公元 390年)的修訂本，對(duì)原文作了?？焙脱a(bǔ)充，這個(gè)本子是后來(lái)所有流行的希臘文本及譯本的基礎(chǔ)．賽翁雖生活在亞歷山大，但離開(kāi)歐幾里得已有7個(gè)世紀(jì)，他究竟作了多少補(bǔ)充和修改，在19世紀(jì)以前是不清楚的． 19世紀(jì)初，拿破侖稱(chēng)雄歐洲，1808年他在梵蒂岡圖書(shū)館找到一些希臘文的手稿，帶回巴黎去．其中有兩種歐幾里得著作的手抄本，以后為 F．佩拉爾(Peyrard， 1760—1822)所得．(見(jiàn)［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉爾將兩種書(shū)用希臘文、拉丁文、法文三種文字出版，一種就是《原本》，另一種是《已知數(shù)》，通常叫做梵蒂岡本．《原本》的梵蒂岡本和過(guò)去的版本不同，過(guò)去的版本都聲稱(chēng)來(lái)自賽翁的版本，而且包含卷Ⅵ命題33(在等圓中，無(wú)論是圓心角或圓周角，兩角之比等于所對(duì)弧之比)．賽翁在注釋托勒密(Ptolemy)的書(shū)時(shí)自稱(chēng)他在注《原本》時(shí)曾擴(kuò)充了這個(gè)命題并加以證明．而梵蒂岡本沒(méi)有上述這些內(nèi)容，可見(jiàn)是賽翁之前的本子，當(dāng)更接近歐幾里得原著． 9世紀(jì)以后，大量的希臘著作被譯成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文譯本主要有三種：(1)赫賈季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世紀(jì))譯；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)譯，后來(lái)為塔比伊本庫(kù)拉(Thābit ibn Qurra，約826—901)所修訂，一般稱(chēng)為伊沙格-塔比本；(3)納西爾丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)譯． 現(xiàn)存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)從阿拉伯文譯過(guò)來(lái)的．后來(lái)杰拉德(Gerard ofCremona，約1114—1187)又從伊沙格-塔比本譯出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)參考數(shù)種阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新將《原本》譯成拉丁文．兩百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，這是西方最早印刷的數(shù)學(xué)書(shū)．在這之后到19世紀(jì)末，《原本》的印刷本用各種文字出了一千版以上．從來(lái)沒(méi)有一本科學(xué)書(shū)籍象《原本》那樣長(zhǎng)期成為廣大學(xué)子傳誦的讀物．它流傳之廣，影響之大，僅次于基督教的《圣經(jīng)》． 15世紀(jì)以后，學(xué)者們的注意力轉(zhuǎn)向希臘文本，B．贊貝蒂(Zamberti，約生于1473)第一次直接從賽翁的希臘文本譯成拉丁文，1505年在威尼斯出版． 目前權(quán)威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麥人)、 H．門(mén)格(Menge)校訂注釋的“Euclidis opera omnia”(《歐幾里得全集》，1883—1916出版)，是希臘文與拉丁文對(duì)照本．最早完整的英譯本(1570)的譯者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．現(xiàn)在最流行的標(biāo)準(zhǔn)英譯本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英國(guó)人)譯注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《歐幾里得幾何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修訂版)，這書(shū)譯自上述的海伯格本，附有一篇長(zhǎng)達(dá)150多頁(yè)的導(dǎo)言，實(shí)際是歐幾里得研究的歷史總結(jié)，又對(duì)每章每節(jié)都作了詳細(xì)的注釋?zhuān)畬?duì)其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麥以及現(xiàn)代希臘等語(yǔ)種，此書(shū)導(dǎo)言均有所評(píng)論． 中國(guó)最早的漢譯本是1607年(明萬(wàn)歷35年丁未)意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci， 1552—1610)和徐光啟(1562—1633)合譯出版的．這是中國(guó)近代翻譯西方數(shù)學(xué)書(shū)籍的開(kāi)始，從此打開(kāi)了中西學(xué)術(shù)交流的大門(mén)．所根據(jù)的底本是德國(guó)人C．克拉維烏斯(Clavius，1537—1612)校訂增補(bǔ)的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV”(《歐幾里得原本 15卷》， 1574初版，以后再版多次)．徐、利譯本只譯了前6卷，定名為《幾何原本》，“幾何”這個(gè)名稱(chēng)就是這樣來(lái)的． 有的學(xué)者認(rèn)為元代(13世紀(jì))《原本》已經(jīng)傳入中國(guó)，根據(jù)是元代王士點(diǎn)、商企翁《元秘書(shū)監(jiān)志》卷7“回回書(shū)籍”條有《兀忽列的四擘算法段數(shù)十五部》的書(shū)目，其中兀忽列的應(yīng)是Euclid的音譯．(見(jiàn)[15]，p．139；[16]．)但也有可能仍是阿拉伯文本，只是譯出書(shū)名而已．后說(shuō)似更可信． 克拉維烏斯本是增補(bǔ)本，和原著有很大出入．原著只有13卷，卷XIV，XV是后人添加上去的．卷XIV一般認(rèn)為出自許普西克勒斯(Hypsicles，約公元前180)之手，而卷XV是6世紀(jì)初大馬士革烏斯(Damascius，敘利亞人)所著．(見(jiàn)［12］，p．119，182．) 利瑪竇、徐光啟共同譯完前6卷之后，徐光啟“意方銳，欲竟之”，利瑪竇不同意，說(shuō)：“止，請(qǐng)先傳此，使同志者習(xí)之，果以為用也，而后徐計(jì)其余．”三年之后，利瑪竇去世，留下校訂的手稿．徐光啟據(jù)此將前6卷舊稿再一次加以修改，重新刊刻傳世．他對(duì)未能完成全部的翻譯而感遺憾，在《題＜幾何原本＞再校本》中感嘆道：“續(xù)成大業(yè)，未知何日，未知何人，書(shū)以俟焉．” 整整250年之后，到1857年，后9卷才由英國(guó)人偉烈亞力(Alexander Wylie， 1815—1887)和李善蘭(1811—1882)共同譯出．但所根據(jù)的底本已不是克拉維烏斯的拉丁文本而是另一種英文版本．偉烈亞力在序中只提到底本是從希臘文譯成英文的本子，按照英譯本的流傳情況，可能性最大的是I．巴羅(Barrow，1630—1677，牛頓的老師)的15卷英譯本，他在1655年將希臘文本譯成拉丁文，1660年又譯成英文． 李、偉譯本(通稱(chēng)‘清譯本”)至今已有100多年，現(xiàn)已不易看到，況且又是文言文，名詞術(shù)語(yǔ)和現(xiàn)代有很大差異，這更增了研讀的困難，因此重新翻譯是十分必要的． 徐、利前6卷的譯本(通稱(chēng)“明譯本”)在“原本”之前加上“幾何”二字，稱(chēng)譯本為《幾何原本》．清譯本的后9卷沿用這個(gè)名稱(chēng)一直到現(xiàn)在．這“幾何”二字是怎樣來(lái)的？目前有三種說(shuō)法：(1)幾何是拉丁文geometria字頭geo的音譯．此說(shuō)頗為流行，源出于艾約瑟(Joseph Edkins，1825—1905，英國(guó)人)的猜想，記在日本中村正直(1832—1891)為某書(shū)所寫(xiě)的序中．(2)在漢語(yǔ)里，“幾何”原是多少、若干的意思，而《原本》實(shí)際包括了當(dāng)時(shí)的全部數(shù)學(xué)，故幾何是“mathematica”(數(shù)學(xué))或“magnitude”(大小)的意譯．(3)《原本》前6卷講幾何，卷Ⅶ—Ⅹ是數(shù)論，但全用幾何方式來(lái)敘述，其余各章也講幾何，所以基本上是一部幾何書(shū)．內(nèi)容和中國(guó)傳統(tǒng)的算學(xué)很不相同．為了區(qū)別起見(jiàn)，應(yīng)創(chuàng)新詞來(lái)表達(dá)．幾何二字既和“geometria”的字頭音近，又反映了數(shù)量大小的關(guān)系，采用這兩個(gè)字可以音、意兼顧．這也許更接近徐、利二氏的原意． 《原本》內(nèi)容簡(jiǎn)介 明、清譯本因?yàn)槭切抻喸鲅a(bǔ)本，和現(xiàn)行的希思英譯本有相當(dāng)大的出入，下面以希思本為主，兼顧明、清譯本，作一簡(jiǎn)要的介紹． 卷1首先給出23個(gè)定義．如1．點(diǎn)是沒(méi)有部分的(A point isthat which has no part)； 2．線(xiàn)只有長(zhǎng)而沒(méi)有寬(A line is bread－thless length)，等等．還有平面、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線(xiàn)等定義．前7個(gè)定義實(shí)際上只是幾何形象的直觀描述，后面的推理完全沒(méi)有用到． 明譯本(即克拉維烏斯增補(bǔ)本)在原文的基礎(chǔ)上加入很多說(shuō)明，將23個(gè)定義拆成“界說(shuō)三十六則”．一開(kāi)頭還對(duì)“界說(shuō)”加以界說(shuō)：“凡造論，先當(dāng)分別解說(shuō)論中所用名目，故曰界說(shuō)．”下面指出幾何研究的對(duì)象：“凡論幾何，先從一點(diǎn)始，自點(diǎn)引之為線(xiàn)，線(xiàn)展為面，面積為體，是名三度．”可見(jiàn)在明譯本中，幾何(幾何學(xué))研究的是由點(diǎn)、線(xiàn)、面、體構(gòu)成的圖形，和數(shù)學(xué)研究的對(duì)象不同，兩者有廣狹之分．但在別的地方，幾何就是“大小”、“多少”的意思，即通常所說(shuō)的“量”，和“數(shù)”是有區(qū)別的．如卷Ⅴ第2界：“若小幾何能度大者，則大為小之幾倍”，現(xiàn)可譯為“當(dāng)一個(gè)較大的量能被較小的量量盡時(shí)，較大的量叫做較小量的倍量(multiple)”． 定義之后，是5個(gè)公設(shè)，頭3個(gè)是作圖的規(guī)定，第4個(gè)是“凡直角都相等”．這幾個(gè)都是顯而易見(jiàn)的，沒(méi)有引起什么爭(zhēng)論，第5個(gè)就很復(fù)雜：“若一直線(xiàn)與兩直線(xiàn)相交，所構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角小于二直角，那么，把這兩直線(xiàn)延長(zhǎng)，一定在那兩內(nèi)角的一側(cè)相交”．這就是后來(lái)引起許多糾紛的“歐幾里得平行公設(shè)”或簡(jiǎn)稱(chēng)第5公設(shè)． 公設(shè)后面，還有5條公理，如1．等于同量的量彼此相等；5．整體大于部分；等等．以后各卷不再列其他公理．在《原本》中，公設(shè)(postulate)主要是關(guān)于幾何的基本規(guī)定，而公理(axiom)是關(guān)于量的基本規(guī)定．將兩者分開(kāi)是從亞里士多德開(kāi)始的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)則一律稱(chēng)為公理． 由于平行公設(shè)不象其他公理那么簡(jiǎn)單明了，人們自然會(huì)懷疑，歐幾里得把它列為公設(shè)，不是它不可能證明，而是沒(méi)有找到證明．這實(shí)在是這部千古不朽巨著的白璧微瑕．從《原本》的產(chǎn)生到19世紀(jì)初，許多學(xué)者投入無(wú)窮無(wú)盡的精力，力圖洗刷這唯一的“污點(diǎn)”，最后導(dǎo)致非歐幾何的建立． 這一卷在公理之后給出48個(gè)命題．前4個(gè)是： 1．在已知線(xiàn)段上作一等邊三角形． 2．以已知點(diǎn)為端點(diǎn)，作一線(xiàn)段與已知線(xiàn)段相等． 3．已知大小二線(xiàn)段，求在大線(xiàn)段上截取一線(xiàn)段與小線(xiàn)段相等． 4．兩三角形兩邊與夾角對(duì)應(yīng)相等，則這兩三角形相等． 這里兩三角形“相等”，指的是“全等”，但在這一卷命題35以后，相等又有另外的含義，它可以指面積相等．現(xiàn)在已把圖形全等(congruent)與等積(equiareal或equivalent)區(qū)分開(kāi)來(lái)，而在《原本》中是用同一個(gè)字眼(equal)來(lái)表示的．不過(guò)歐幾里得從來(lái)沒(méi)有把面積看作一個(gè)數(shù)來(lái)運(yùn)算，面積相等是“拼補(bǔ)相等”． 命題5頗有趣：等腰三角形兩底角相等，兩底角的外角也相等． 現(xiàn)在通常是用引頂角平分線(xiàn)來(lái)證明的，但作角的平分線(xiàn)是命題9，這里還不能用，只能用前4個(gè)命題以及公設(shè)、公理來(lái)證． 證法是延長(zhǎng)AB至D，AC至E［公設(shè)2］，在AD上任取一點(diǎn)B＇，在AE上截取AC＝AB＇［命題3］，連接B＇C，BC＇［公設(shè)1］．接著證△AB＇C≌△ABC＇［命題4］，故知B＇C＝BC＇，∠BB＇C＝∠CC＇B，又BB＇＝CC＇，于是△BB＇C≌△BC＇C．由此就不難推出命題的結(jié)論． 中世紀(jì)時(shí)，歐洲數(shù)學(xué)水平很低，學(xué)生初讀《原本》，學(xué)到命題5，覺(jué)得線(xiàn)和角很多，一時(shí)很難領(lǐng)會(huì)，因此這個(gè)命題被戲稱(chēng)為“驢橋”(pons asinorum，asses’ bridge，意思是“笨蛋的難關(guān)”) 后面的命題包括三角形、垂直、平行、直線(xiàn)形(面積)相等等關(guān)系． 命題44：用已知線(xiàn)段為一邊，作一個(gè)平行四邊形，使它等于已知三角形，且有一個(gè)角等于已知角． 設(shè)AB是已知線(xiàn)段，S是已知三角形，α是已知角． 延長(zhǎng)AB，作∠EBC=α，根據(jù)43命題，可作一個(gè) EBCD=S．過(guò)A作 FA∥EB交 ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于 F，連FB并延長(zhǎng)之，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G(因∠EDC與∠DEB互補(bǔ)，但∠EFB＜∠DEB，故∠EDC＋∠EFB小于二直角，按平行公設(shè)，F(xiàn)B與DC延線(xiàn)必相交)，過(guò)G作GN∥BC交 EB，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線(xiàn)于 M，N．因 AM= EC=S，故 AM即為所求． 歐幾里得的術(shù)語(yǔ)是“將平行四邊形AM貼合到線(xiàn)段AB上去”．普羅克洛斯評(píng)注《原本》時(shí)指出，“面積的貼合”(application of areas)是古希臘幾何學(xué)的一種重要方法，它是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的．(見(jiàn)［2］，vol．I，p．343．) 如果已知角α是直角，則所求的平行四邊形是矩形，矩形另一邊未知，設(shè)為x．命題化為解一次方程ax=S的問(wèn)題，或用幾何作圖進(jìn)行除法S÷a運(yùn)算的問(wèn)題． 命題47就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形．”這里相等仍然是指拼補(bǔ)相等，不牽涉到長(zhǎng)度、數(shù)的關(guān)系．本卷最后一個(gè)命題(命題48)是勾股定理的逆定理． 卷Ⅱ包括14個(gè)命題，用幾何的形式敘述代數(shù)的問(wèn)題，即所謂“幾何代數(shù)學(xué)”(geometrical algebra)．一個(gè)數(shù)(或量)用一條線(xiàn)段來(lái)表示，兩數(shù)的積說(shuō)成兩條線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形，數(shù)的平方根說(shuō)成等于這個(gè)數(shù)的正方形的一邊． 命題1：設(shè)有兩線(xiàn)段，其中之一被截成若干部分，則此兩線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形等于各個(gè)部分與未截線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形之和． 相當(dāng)于恒等式 a(b＋c+d +…)=ab＋ac＋ad＋… 命題4：將一線(xiàn)段任意分為兩部分，在整個(gè)線(xiàn)段上的正方形等于在部分線(xiàn)段上的兩個(gè)正方形加上這兩部分線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形的二倍．相當(dāng)于(a＋b)2=a2＋2ab+b2． 命題5是值得注意的，它相當(dāng)于二次方程的解法．今用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)、符號(hào)解釋如下： 設(shè)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，D是另一任意點(diǎn)，則AD與DB所構(gòu)成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形． 證明］完成□CEFB，連對(duì)角線(xiàn)EB，作DG∥CE交EB于H，過(guò)H作 KM∥AB，作 AK⊥KM．因 AL= CM， CH= HF，DB=HD，故AD與DB所構(gòu)成的矩形= AH= AL＋ CH= CM+ HF，同加上CD(=LH)上的正方形□LG，即得命題的結(jié)論． 1756年，R．西姆森(Simson，1687—1768)注釋《原本》的英譯本時(shí)指出，將本命題(記為Ⅱ5)稍加改變，即相當(dāng)于二次方程的解法． 已知線(xiàn)段AB=a，求其上一點(diǎn)D，使AD與DB所構(gòu)成的矩形等于已知□b2(以b為邊的正方形)．設(shè)DB=x，列成方程得(a-x)x=b2或x2-ax+b2=0．由Ⅱ5，AD與DB所構(gòu)成的 AH=□CF-□LG，利用勾股定理(147)，作一個(gè)正方形等于二正方形的差是輕而易舉的，現(xiàn)□CF，□b2已知，作兩者之差即得□LG，由此得CD及x．具體的作法是：取AB中點(diǎn)C，作CE⊥AB，在CE上取O點(diǎn)，使OC=b，以O(shè)為心，CB為半徑作弧交AB于D，D＇，則 D就是所求的點(diǎn)，由于對(duì) ?、?的另一種形式是恒等式 用的恒等式． 若令 a=(2n+1)2，b=1，代入上式化簡(jiǎn)為 (2n+1)2＋(2n2+2n)2=(2n2＋2n+1)2． 可得由畢達(dá)哥拉斯求出的勾股數(shù)組(用正整數(shù)表示直角三角形的三邊)：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1． 與此相仿，命題6相當(dāng)于求解另一種類(lèi)型的方程x2＋ax-b2=0． 命題11：分已知線(xiàn)段為兩部分，使它與一小線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形等于另一小線(xiàn)段上的正方形．相當(dāng)于解方程x2＋ax-a2=0．這就是將線(xiàn)段分成“中末比”，后來(lái)叫做“黃金分割”的著名問(wèn)題．后面卷Ⅳ命題10“作一等腰三角形，使底角是頂角的兩倍”，也就是作出36°及72°角，從而能作出正5邊形和正10邊形．卷Ⅵ命題30：“截已知線(xiàn)段成中末比”，都是同一問(wèn)題的不同表現(xiàn)形式．卷 命題9再次提出正10邊形、正6邊形與中末比的關(guān)系，可見(jiàn)歐里幾得很重視這個(gè)分割． 命題12，13是三角學(xué)中的余弦定理： c2=a2＋b2-2abcos C， 不過(guò)也是用幾何的語(yǔ)言來(lái)敘述的，沒(méi)有出現(xiàn)三角函數(shù)． 卷Ⅲ有37個(gè)命題，討論圓、弦、切線(xiàn)、圓周角、圓內(nèi)接四邊形及有關(guān)圓的圖形等． 較引人注目的是命題16：過(guò)直徑AB端點(diǎn)A的垂線(xiàn)AD必在圓外，半圓周ACB與AD之間不可能再插入其他直線(xiàn)，半圓周ACB與AB之間的角比任何銳角都大，剩下的角( 與AD間的角)比任何銳角都?。? 與AD間的角究竟算不算角？在歷史上有很大爭(zhēng)論．在普羅克洛斯的評(píng)注中稱(chēng)它為“牛角”(horn－like angle)，這綽號(hào)在歐幾里得以前早已有，在《原本》中沒(méi)有使用，也沒(méi)有說(shuō)它的值是零．若作一系列切于A點(diǎn)的圓，似乎圓越小，“牛角”越大，但命題的結(jié)論并非如此．如果說(shuō)它的值是零，角邊應(yīng)處處重合，而圖形不是這樣．這些疑問(wèn)按現(xiàn)在曲線(xiàn)交角的定義已經(jīng)解決，“牛角”的值是零． 卷Ⅳ有16個(gè)命題，包括圓內(nèi)接與外切三角形、正方形的研究，圓內(nèi)接正多邊形(5邊、10邊、15邊)的作圖． 最后一題是正15邊形的作圖．普羅克洛斯認(rèn)為和天文學(xué)有關(guān)，因?yàn)樵诎＠腥?Eratosthenes，約公元前276—前195)之前，希臘天文家認(rèn)為黃赤交角(黃道與天球赤道交角)是24°，即圓周角360°的 1/15．后來(lái)埃拉托塞尼測(cè)出是180°的11/83，約23°51＇20″． 卷Ⅴ是比例論．后世的評(píng)論家認(rèn)為這是《原本》的最高的成就．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派過(guò)去雖然也建立了比例論，不過(guò)只適用于可公度量．如果A，B兩個(gè)量可公度，即存在兩個(gè)正整數(shù)m，n使 為A與B無(wú)法相比．這樣就很難建立關(guān)于一切量的比例理論．?dāng)[脫這一困境的是歐多克索斯(Eudoxus of Cnidus，公元前4世紀(jì))，他用公理法重新建立了比例論，使它適用于所有可公度與不可公度的量．可惜他的著作已全部失傳，好在還有相當(dāng)一部分保存在《原本》中，如卷Ⅴ就主要取材于歐多克索斯的工作，當(dāng)然也有歐幾里得本人的加工整理，有的還散見(jiàn)于卷Ⅻ，Ⅵ，Ⅹ， 之中． 卷Ⅴ首先給18個(gè)定義．定義3：比是兩個(gè)同類(lèi)量之間的大小關(guān)系．定義4：如果一個(gè)量加大若干倍之后就可以大于另一個(gè)量，則說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)“比”(ratio)．這樣就突破了畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為只有可公度量才可以比的限制．實(shí)際上，如果承認(rèn)了“阿基米德公理”或“歐多克索斯公理”(在卷Ⅹ命題1正式使用)：“兩個(gè)有限的同類(lèi)量，任一個(gè)加大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)后就能大于另一個(gè)”，任何兩個(gè)有限量都有比，不必考慮可否公度．盡管不承認(rèn)這個(gè)“比”是數(shù)，仍然不妨礙以此為起點(diǎn)建立適用于一切量的比例論． 現(xiàn)在已經(jīng)有嚴(yán)格建立的實(shí)數(shù)理論和完整的比例論，如果A∶B=C∶D，則有 A∶nB=mC∶nD (m，n是任意正整數(shù))，從而 由mA＞nB可推出mC＞nD， 由mA＜nB可推出mC＜nD， 由mA=nB可推出mA=nB． 這是比例的基本性質(zhì)．《原本》巧妙地利用這一性質(zhì)來(lái)作比例的定義，即 定義4：設(shè)有A，B，C，D4個(gè)量， A與C，B與D分別乘以同樣的倍數(shù)m，n，如果 則說(shuō)兩個(gè)比A∶B與C∶D相等，即4個(gè)量可構(gòu)成比例A∶B=C∶D． 這定義是整個(gè)理論的基礎(chǔ)，由此推出25個(gè)有關(guān)比例的命題． 近代實(shí)數(shù)理論中的“戴德金分割”實(shí)際上受這比例定義的啟發(fā)． m1A＞n1B， m2A＜n2B， 于是全體有理數(shù)構(gòu)成一個(gè)“戴德金分割”．如果mA=nB，說(shuō)明 看出來(lái)，分劃的思想和上述比例定義是一脈相承的．盡管兩者的思想很接近，但歐幾里得始終不把A∶B和數(shù)聯(lián)系起來(lái)考慮，因而從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)A∶B與C∶D相加或相乘的情況．這是時(shí)代的局限性，無(wú)理數(shù)理論的產(chǎn)生，足足拖延了兩千多年． 卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理論用到平面圖形上去，共33個(gè)命題．處理相似直線(xiàn)形中的各種成比例的線(xiàn)段等．其中命題27—30頗重要． 命題27：設(shè)C是線(xiàn)段AB中點(diǎn)，在AC上作 ACDE [原文的說(shuō)法是將平行四邊形貼合(apply)到AB上]，又在AB的部分線(xiàn)段KB上作 KBFG∽ AD，延長(zhǎng) FG交 CD于P，交AE于H，求證AG＜AD． 因 KF∽ AD∽ CM，故對(duì)角線(xiàn)BG，BD重合． KM= CF= AP，兩端同加上 CG，即知 AG=磬折形PCBMLG＜ CM= AD．本題給出求極大極小的一種途徑．和代數(shù)方法比較： 即 這2次方程有實(shí)根的充要條件是判別式非負(fù)，即 這正是命題的結(jié)論．x=b時(shí)S取最大值． 是矩形，它的周長(zhǎng)是常數(shù)2a．于是推出有相同周長(zhǎng)的矩形中，以正方形面積最大的結(jié)論． 命題29相當(dāng)于某種類(lèi)型的2次方程解法：作 ADFC貼合到AB上，使其等于已知面積S，且AC邊超出AB的部分BC上的 BEFC與已知 P相似． 作法是取AB中點(diǎn)G，在GB上作 GBMK∽ P，另作 QR，使其面積等于 GM與S之和(根據(jù)Ⅵ，25)，延長(zhǎng)KM至N，KG至H，使KN=LR，KH=LQ，完成 KHFN，連對(duì)角線(xiàn)KF，完成 BEFC， ADFC．因?yàn)?BN= HB= DG，又 HN= QR= GM＋S，故知磬折形GHFNMB=S= HC+ BN= HC＋ DG= DC．故 DC即為所求． 本命題就是這2次方程的幾何解法． 個(gè)詞，命題27所作的平行四邊形未占滿(mǎn)整個(gè)線(xiàn)段，這叫做“不足” 羅尼奧斯用到圓錐曲線(xiàn)上，希臘文“不足”轉(zhuǎn)化成 ellipes(橢圓)，“過(guò)?！鞭D(zhuǎn)化為 hyperbola(雙曲線(xiàn))，“貼合”變成parabola(拋物線(xiàn))． 卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ是數(shù)論，分別有39，27，36個(gè)命題，討論正整數(shù)的性質(zhì)與分類(lèi)．?dāng)?shù)被看作是線(xiàn)段，兩數(shù)的乘積叫做平面(pla－ne)或平面數(shù)(定義16)，這兩個(gè)數(shù)叫做平面的邊．三個(gè)數(shù)的乘積叫做立體(solid)或立體數(shù)(定義17)，這三個(gè)數(shù)叫做立體的邊． 這一卷許多內(nèi)容和卷Ⅴ相同，歐幾里得為什么不把卷Ⅴ的結(jié)論直接搬過(guò)來(lái)用，而非要重新論證一遍不可？這大概是他不把數(shù)看作普通的量，因?yàn)榫恝踔杏懻摰牧堪晒群筒豢晒攘?，而這一卷只牽涉到有理數(shù)．也可能他認(rèn)為數(shù)論可以建立在較簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)上，所以單獨(dú)處理． 卷首共給出22個(gè)定義．定義20：如果第1數(shù)之為第2數(shù)的某個(gè)倍數(shù)或某個(gè)部分，與第3數(shù)之為第4數(shù)的某個(gè)倍數(shù)或某個(gè)部分相同，則這4個(gè)數(shù)成比例．這定義完全回到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派可公度量的比例論上去． 定義22：一個(gè)數(shù)等于它自身的部分(即真因子)之和，這數(shù)叫做完全數(shù)． 命題1，2就是“歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法”(Euclidean algorithm)的出處．兩數(shù)輾轉(zhuǎn)相除，最后得到最大公約數(shù)，如最大公約數(shù)是1，則兩數(shù)互素．命題4—20是數(shù)的比例問(wèn)題，命題21—32是關(guān)于素?cái)?shù)的問(wèn)題． 命題30：某素?cái)?shù)能整除兩數(shù)之積，則此素?cái)?shù)至少能整除兩數(shù)之一．這在數(shù)論中是很重要的． 命題31：任何合數(shù)必被某一素?cái)?shù)整除．在證明中提出“任何正整數(shù)集必有最小數(shù)”(現(xiàn)在叫做良序性)的假定． 命題33—39討論最小公倍數(shù)． 卷Ⅷ講連比例(實(shí)際就是等比數(shù)列)，平面數(shù)、立體數(shù)的性質(zhì)． 卷Ⅸ有幾個(gè)命題是值得注意的．命題14：如果某一數(shù)是被某些素?cái)?shù)所整除的數(shù)中之最小者，則這一數(shù)不能被這些素?cái)?shù)以外的任何素?cái)?shù)整除．這就是算術(shù)基本定理：合數(shù)的素因子分解是唯一的． 命題20：素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)比任意給定的素?cái)?shù)都多．證明是用反證法，設(shè) A， B， C是給定的素?cái)?shù)，則 ABC+ 1者是素?cái)?shù)或者含有異于A，B，C的素因子，兩者都可以推出有多于A，B，C的素?cái)?shù)存在． 命題35導(dǎo)出等比數(shù)列的求和公式，在形式上和現(xiàn)在常見(jiàn)的不同． 設(shè)a1，a2，a3，…，an，an+1是等比數(shù)列，命題結(jié)論是 如將數(shù)列改寫(xiě)為a，ar，ar2，…，arn-1，arn，前n項(xiàng)和記作Sn，上式即化為常見(jiàn)的形式 接著命題36證明了數(shù)論中一個(gè)有名的定理：若2n-1是素?cái)?shù)，則(2n-1)2n-1是完全數(shù)． 事實(shí)上，設(shè)等比數(shù)列1，2，22，…，2n-1的和P=1+2+22+…+2n-1=2n-1是素?cái)?shù)，則2n-1P被下列各數(shù)整除：1，2，…，2n-1，P，2P，…，2n-2P且不被任何其他小于它自身的數(shù)整除，而這些因子的和正好等于2n-1P， 1＋2+…+2n-1+P+2P+…＋2n-2P =P＋P(2n-1-1)=(2n-1)2n-1． 現(xiàn)在形如2n-1(n是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)叫做“梅森素?cái)?shù)”，因M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾深入研究而得名．有一個(gè)梅森素?cái)?shù)就相應(yīng)有一個(gè)完全數(shù)．前4個(gè)完全數(shù)6，28，496，8128已為希臘人所知． 卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，約占全書(shū)的1/4，和其他各卷不很相稱(chēng)．包含115個(gè)命題，有的版本是117個(gè)命題(如清譯本)．主要討論無(wú)理量 即2次或4次不盡根，這只是無(wú)理量的極小一部分，歐幾里得使用“有理”、“無(wú)理”的術(shù)語(yǔ)，和現(xiàn)代的意義不同．“有理”的原文是 的”(rational)．如果給定一個(gè)叫做有理的線(xiàn)段A，若另一線(xiàn)段B和A有公度，就說(shuō)B是“線(xiàn)段可公度有理量”．用現(xiàn)代的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是設(shè)A是有理量(線(xiàn)段)，m是任意有理數(shù)，則mA是“線(xiàn)段可公度有理量”．但 “正方形可公度”(commensurable in square)是《原本》的特殊用語(yǔ)．“線(xiàn)段可公度有理量”顯然都是“正方形可公度有理量”，但反過(guò)來(lái)，“正 種情形特別叫做“僅正方形可公度有理量”．不管那一種情形，都叫有 本卷將無(wú)理量分為13大類(lèi)，各給專(zhuān)門(mén)的名稱(chēng)．當(dāng)時(shí)沒(méi)有符號(hào)，敘述起來(lái)相當(dāng)困難．用現(xiàn)代的眼光看，這種分類(lèi)沒(méi)有多少用處，甚至可以說(shuō)是“作繭自縛”，它沒(méi)有推進(jìn)無(wú)理量的發(fā)展． 這一卷命題1非常重要：給定大小兩個(gè)量，從大量中減去它的一大半，再?gòu)氖Ｏ碌牧恐袦p去它的一大半，這手續(xù)重復(fù)下去，可使所余的量小于所給的小量． 這是極限論的雛形，也是“窮竭法”的理論基礎(chǔ)，和后面各卷有密切關(guān)系．在證明中實(shí)際默認(rèn)了阿基米德公理． 有的版本最后還有命題117，證明正方形一邊與對(duì)角線(xiàn)不可公度，有時(shí)叫做“歐幾里得奇偶數(shù)證法”，經(jīng)考證這是后人攙入的，所以后來(lái)的校訂注釋者只將它放入附錄中． 卷Ⅺ是立體幾何，講空間中的平面、直線(xiàn)、垂直、平行、相交等關(guān)系，還有多面角、平行六面體、棱錐、棱柱、圓錐、圓柱、球等問(wèn)題，共39個(gè)命題． 卷Ⅻ是窮竭法(method of exhaustion)的應(yīng)用．這是希臘人創(chuàng)造的強(qiáng)有力的證明方法，一般認(rèn)為經(jīng)歐多克索斯的手而臻于完善，以后被收入《原本》的卷Ⅻ中． 命題2是相當(dāng)?shù)湫偷?，從中可以看到窮竭法的基本精神．要證明的是：圓與圓之比等于其直徑平方之比． 作圓內(nèi)接□AC，外切□EF，因□EF=2□AC，又□EF大于圓，故□AC包含圓而積的一半以上．取 中點(diǎn) M，完成 AMB，因 AMB=2△AMB，又 AMB大于弓形AMB，故△AMB包含弓形AMB一半以上．□AC的每一邊都加上這樣的△，就得到內(nèi)接正8邊形，它包含□AC以及圓與□AC之差的一半以上．同理作正16邊形，它包含正8邊形及圓與正8邊形之差的一半以上．重復(fù)這個(gè)手續(xù)，每次邊數(shù)加倍，根據(jù)卷Ⅹ命題1，可得到一個(gè)邊數(shù)足夠多的內(nèi)接正多邊形，與圓面積之差小于任給的小量． 現(xiàn)有圓面積S1，S2，直徑各為d1，d2，要證明 設(shè)等式不成立而有 S3是大于或小于S2的某一面積．不妨設(shè)S3＜S2，作S2的邊數(shù)足夠多的內(nèi)接正多邊形P2，使得S2-P2＜S2-S3，即S3＜P2＜S2．在S1內(nèi)作與 P2相似的內(nèi)接正多邊形P1，根據(jù)卷Ⅻ第1命題， 于是有 P1∶P2=S1∶S3 或 P1∶S1=P2∶S3， 但S1＞P1，故S3＞P2，與前面不等式P2＞S3矛盾．同理可證若S3＞S2也一樣產(chǎn)生矛盾． 下面用類(lèi)似的方法證明了“錐體體積等于同底等高的柱體的1/3”(命題7，10)，“球體積的比等于直徑立方的比”(命題 18)等．全卷共18個(gè)命題． 卷 是最后一卷，共18個(gè)命題．前一部分研究了中末比的若干性質(zhì)，最后6個(gè)命題討論5種球內(nèi)接正多面體的作圖法． 《原本》的一些存在問(wèn)題 (一)公理化結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)的主要特征．而《原本》是完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范，它產(chǎn)生于兩千多年前，這是難能可貴的．不過(guò)用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)去衡量，也還有不少缺點(diǎn)．首先，一個(gè)公理系統(tǒng)都有若干原始概念或稱(chēng)不定義概念．點(diǎn)、線(xiàn)、面就屬于這一類(lèi)．而在《原本》中一一給出定義，這些定義的本身就是含混不清的．例如卷Ⅰ的定義4：“直線(xiàn)是這樣的線(xiàn)，在它上面的點(diǎn)都是高低相同地放置著的”就很費(fèi)解，而且這定義在以后的證明中完全沒(méi)有用到．其次是公理系統(tǒng)不完備，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)、順序、連續(xù)性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀．此外，有的公理不是獨(dú)立的，即可以由別的公理推出(如第4公設(shè)“凡直角都相等”)．這些缺陷直到1899年D．希爾伯特(Hilbert)的《幾何基礎(chǔ)》(Grundlagen der Geometrie)([14])出版才得到了補(bǔ)救．盡管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化的正確道路，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響超過(guò)了歷史上任何其他著作． (二)全書(shū)的組織安排也是可以改進(jìn)的．如卷Ⅴ已建立了一般量的比例論，而且在卷Ⅵ中已用之于幾何，但后面的卷Ⅶ的數(shù)論卻沒(méi)有用它．這幾卷數(shù)論基本上是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成果，在理論水平上遠(yuǎn)遜于卷Ⅴ．其實(shí)卷Ⅱ已提出幾何代數(shù)學(xué)，接下去講數(shù)論是順理成章的． 卷Ⅹ份量過(guò)于龐大，而且大部分和前后沒(méi)有聯(lián)系，現(xiàn)在證明其用處甚微．整個(gè)《原本》并不企圖將當(dāng)時(shí)已有的幾何知識(shí)納入其中(例如三角形三個(gè)高交于一點(diǎn)這樣普通的定理也未收入)，只是精選最基本的命題作為《原本》的內(nèi)容．本著這種精神，卷Ⅹ應(yīng)大大壓縮． (三)有的書(shū)指出，《原本》的證明常常是以偏概全的，即對(duì)一般性定理只給出特例的證明，或者只用了某些具體數(shù)據(jù)而忽略了普遍性，這種情況的確比比皆是．不過(guò)批評(píng)者可能不了解歐幾里得的用意．《原本》當(dāng)時(shí)是作為教科書(shū)或講義來(lái)使用的，如果一個(gè)問(wèn)題有若干種情形，證明了其中一種之后，其余的留給學(xué)生自證，這在今天也是司空見(jiàn)慣的．以卷Ⅰ命題7為例，從線(xiàn)段AB的兩端分別作一直線(xiàn)交于一點(diǎn)C，則在同一側(cè)不可能再有交于另一點(diǎn)D的兩線(xiàn)段AD，BD，使得AC=AD，BC=BD．證明是用反證法，設(shè)D點(diǎn)落在△ABC之外，由此推出矛盾．而D點(diǎn)落在△ABC內(nèi)的情形就沒(méi)有討論．后世有的注釋者如克拉維烏斯認(rèn)為不夠全面，把所有可能情形都增補(bǔ)上去(見(jiàn)明譯本)，包括D點(diǎn)落在AC或BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上以及△ADB完全被包含在△ABC之中等等．希思譯本保留了原書(shū)的面貌，只在注釋中加以說(shuō)明． 還有一種以偏概全的情形是只用某個(gè)具體的數(shù)字來(lái)證明一般性的結(jié)論．如卷Ⅸ命題20：素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)比任意給定的素?cái)?shù)都多．證明時(shí)只給定A，B，C三個(gè)素?cái)?shù)，由此推出還有別的素?cái)?shù)存在．現(xiàn)在的嚴(yán)格證法無(wú)非是將三個(gè)改為任意n個(gè)，這在方法上并沒(méi)有什么區(qū)別． 《原本》對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)的影響 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最明顯的特點(diǎn)是以算為中心．雖然也有邏輯證明，但卻沒(méi)有形成一個(gè)嚴(yán)密的公理化演繹體系，這也許是最大的弱點(diǎn)．明末《原本》傳入，應(yīng)該是切中時(shí)弊，正好彌補(bǔ)中算之不足．可是實(shí)際情況并不理想． 徐光啟本人對(duì)《原本》十分推崇，也有深刻的理解．他認(rèn)為學(xué)習(xí)此書(shū)可使人“心思細(xì)密”．在譯本卷首的《幾何原本雜議》中 說(shuō)：“人具上資而意理疏莽，即上資無(wú)用；人具中材而心思縝密，即中材有用；能通幾何之學(xué)，縝密甚矣，故率天下之人而歸于實(shí)用者，是或其所由之道也．”在他的大力倡導(dǎo)下，確實(shí)也發(fā)揮一定的作用，可惜言者諄諄，聽(tīng)者藐藐，要在群眾中推廣，仍然有很大的困難，他在《雜議》中繼續(xù)寫(xiě)道：“而習(xí)者蓋寡，竊意百年之后，必人人習(xí)之．”他只好把希望寄托于未來(lái)． 明末我國(guó)正處在數(shù)學(xué)發(fā)展的低潮，《原本》雖已譯出，學(xué)術(shù)界是否看到它的優(yōu)點(diǎn)，大有疑問(wèn)．事實(shí)上，明清兩代幾乎沒(méi)有人對(duì)《原本》的公理化方法及邏輯演繹體系作過(guò)專(zhuān)門(mén)的研究．康熙以后，清統(tǒng)治者實(shí)行閉關(guān)鎖國(guó)、盲目排外的政策．知識(shí)分子喪失了思想、言論自由，為了逃避現(xiàn)實(shí)，轉(zhuǎn)向古籍的整理和研究，以后形成以考據(jù)為中心的乾嘉學(xué)派．徐光啟之后，數(shù)學(xué)界的代表人物是梅文鼎(1633—1721)，他會(huì)通中西數(shù)學(xué)，對(duì)發(fā)揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)及傳播西方數(shù)學(xué)均有貢獻(xiàn)，然而卻沒(méi)有認(rèn)識(shí)到公理方法的重要性．他認(rèn)為西方的幾何學(xué)，無(wú)非就是中國(guó)的勾股數(shù)學(xué)，沒(méi)有什么新鮮的東西．他在《幾何通解》中寫(xiě)道：“幾何不言勾股，然其理并勾股也．故其最難通者，以勾股釋之則明．……信古《九章》之義，包舉無(wú)方．”又在《勾股舉隅》中說(shuō)：“勾股之用，于是乎神．言測(cè)量至西術(shù)詳矣．究不能外勾股以立算，故三角即勾股之變通，八線(xiàn)乃勾股之立成也．”類(lèi)似的說(shuō)法還有多處．他見(jiàn)到的只是幾何的一些命題，至于真正的精髓——公理體系及邏輯結(jié)構(gòu)，竟熟視無(wú)睹．梅文鼎這種“古已有之”的觀點(diǎn)，也是妄自尊大和保守思想的反映．由于他當(dāng)時(shí)的威望，確實(shí)產(chǎn)生了一些消極的影響． 其他著作 歐幾里得還有好幾種著作，可惜流傳下來(lái)的不多． (一)《已知數(shù)》(The data)是除了《原本》以外唯一保存下來(lái)的希臘文 純粹幾何著作，包含94個(gè)命題，后來(lái)被收入帕波斯的《分析薈萃》(Treasury of Analysis)中．內(nèi)容和《原本》卷Ⅰ—Ⅵ相仿，但問(wèn)題的提法不同．例如開(kāi)頭所給出的定義，是解釋何謂“已知的”．定義1：面積、線(xiàn)段、角叫做已知的，如果可以作出和它們相等的同類(lèi)量．定義5：一個(gè)圓叫做已知的，如果它的半徑已知．等等． 全篇的中心內(nèi)容是指出圖形內(nèi)的某些元素若為已知，則另外的元素也是已知的(即可以確定)．如命題84：若兩條線(xiàn)段以一定的夾角構(gòu)成一個(gè)已知面積，又兩線(xiàn)段的差已知，則兩線(xiàn)段即為已知．這相當(dāng)解聯(lián)立方程 y－x=a xy=b2 或2次方程 x2＋ax-b2=0． (二)《圖形的分割》(On divisions of figures)是另一本幾何著作，但不是希臘文本．現(xiàn)有的兩種存本都來(lái)自阿拉伯文本．第一種的拉丁文本由J．迪伊(Dee，1527—1608)發(fā)現(xiàn)并于 1570年出版，這種版本不甚完整．另一種為F．韋普克(Woepcke，1826—1864)在巴黎所發(fā)現(xiàn)，于1851年出版，現(xiàn)有英譯校訂本(［3］)．此書(shū)的中心思想是作直線(xiàn)將已知圖形分為相等的部分、成比例的部分或分成滿(mǎn)足某種條件的圖形．共36個(gè)命題．如命題1：作平行于底邊的直線(xiàn)將三角形分成相等的兩部分．命題4：作平行于上下底的直線(xiàn)將梯形分為相等的兩部分．命題29：作二平行弦將已知圓分成給定的比例． (三)下面幾種幾何著作已失傳．《糾錯(cuò)集》(Pseudaria，或Book of fallacies)目的在指出初學(xué)幾何者常見(jiàn)的錯(cuò)誤，引導(dǎo)他們走上正確的道路，普羅克洛斯曾提到此書(shū)．《推論集》(Porisms)是一部較高級(jí)的幾何學(xué)，在帕波斯的《分析薈萃》中有較詳細(xì)的描述．“Porism”這個(gè)詞有雙重意義，一是普通的推論(corollary)，二是指某些與定理不同的命題，定理一般要求證明某個(gè)結(jié)論，而“porism”是要找出某種事物而不僅僅證明它成立或存在．如要根據(jù)給定條件找出圓心等．按帕波斯的說(shuō)法，歐幾里得曾寫(xiě)了四卷的《圓錐曲線(xiàn)》(Conics)，它是后來(lái)阿波羅尼奧斯8大卷《圓錐曲線(xiàn)論》的基礎(chǔ)．另一本失傳的著作《曲面軌跡》(Surface loci)是討論軌跡的問(wèn)題． (四)幾本應(yīng)用數(shù)學(xué)著作．《觀測(cè)天文學(xué)》(Phaenomena)是一本幾何天文學(xué)，最先使用地平圈(Horizon)，子午圈(meridian)等術(shù)語(yǔ)，參考了奧托利科斯的工作及不知名作者的球面幾何學(xué)．《光學(xué)》(Optics)是希臘文的第一本透視學(xué)，從12個(gè)假設(shè)(公設(shè))出發(fā)推出61個(gè)命題．假設(shè)1是“人看到物體，是光線(xiàn)從眼睛出發(fā)射到所看的物體上去”．這是從柏拉圖以來(lái)的傳統(tǒng)觀點(diǎn)．命題6是“處于平行位置，大小相同但距離不同的物體，在眼中看到的大小并不與遠(yuǎn)近成比例”．這相當(dāng)于證明了當(dāng)α＜β＜π/2時(shí) 此外，歐幾里得還寫(xiě)過(guò)音樂(lè)和力學(xué)的書(shū)．看來(lái)他是很博學(xué)的，不象人們通常認(rèn)為的那樣，歐幾里得的貢獻(xiàn)只是初等幾何．不過(guò)經(jīng)過(guò)兩千多年的歷史考驗(yàn)，影響最大的仍然是《原本》． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
