淺析第五公設(shè)的證明及其影響與意義

由于歐幾里德的 第五公設(shè)陳訴不夠自明，又更像一條定理，因而引起人們的極大關(guān)注。數(shù)學(xué)家試圖從歐幾里德的其他公設(shè)與公理中將其推導(dǎo)出來。這種嘗試，使數(shù)學(xué)家忙碌了兩千多年，雖然提出了這樣或那樣的證明，但最終發(fā)覺在每個證明中或早或遲都使用了等價第五公設(shè)的一條命題（即是這些證明逃脫不了循環(huán)論證的命運）。盡管如此，在一些研究中還是孕育了積極的思想。

以下給出各時代有代表的數(shù)學(xué)家給出的第五公設(shè)證明過程。

首先歐幾里德第五公設(shè)：若一條直線與另外兩條直線相交，當(dāng)有一側(cè)的兩個同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角是，則這兩條直線就在這一側(cè)相交。

一、公元五世紀(jì)普羅克魯斯對第五公設(shè)的試證過程：設(shè)共面的兩條直線L1與L2被第三條直線L3所截，在直線L3的一側(cè)構(gòu)成同側(cè)內(nèi)角α和β，并且α＋β＜2d(d表示直角)，求證L1與L2兩直線必相交。

這樣就證明了兩條直線L1，L2必相交，并且交點在被第三條直線L3所截的同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角的一側(cè)（證畢）。

普羅克魯斯在這個證明中作了兩個假設(shè)。

（1）       當(dāng)C點沿直線無限遠離B點時，距離H=CD，將無限增大。

（2）       兩條平行線之間的距離是有限的，并且處處相等。

事實上，（1）是對的，它可利用《幾何原本》中的公設(shè)4和公理5推導(dǎo)出；而（2）是錯的，它是一個與第五公設(shè)等價的命題。普羅克魯斯的“證明”顯然沒有達到目的。

二、意大利數(shù)學(xué)家薩開里對第五公設(shè)的試證過程：薩開里考慮底邊AB上兩底角都是直角，并且兩條側(cè)邊AD和BC相等的四邊形ABCD（圖1.2）。他首先證明AB和CD的中點連線EF與上下底邊垂直，并且兩個底角∠C=∠D，這時三種可能：

(1)    ∠C和∠D都是鈍角（鈍角假設(shè)）

(2)    ∠C和∠D都是直角（直角假設(shè)）

(3)    ∠C和∠D都是銳角（銳角假設(shè)）

其中，鈍角假設(shè)易被否定，而直角假設(shè)可推導(dǎo)出第五公設(shè)成立，于是只要否定銳角假設(shè)即可。薩開里企圖由銳角假設(shè)成立而引出矛盾。他推導(dǎo)三十多步都沒有找出矛盾，在深入展開推論，則建立了復(fù)雜的幾何體系，其中有一部分結(jié)論于直覺不符，卻找不到在邏輯上的自相矛盾的地方。例如，他證明了，這兩條直線在它公垂線兩側(cè)相互無界的分離；或者沒有公共的垂線，這兩條直線在一個方向無限接近，而在另一方向則無界的分離。這些結(jié)論從邏輯上挑不出任何毛病，但他卻認(rèn)為這些結(jié)論不合情理，于是由此斷定銳角假設(shè)是不真實的。這樣，他自認(rèn)為自己證明了第五公設(shè)。實際上，薩開里得到的一系列異于直覺的推論正是屬于非歐幾何的可惜他自己并未察覺這一點而把他否定了。

三、德國數(shù)學(xué)家蘭伯特也有類似的對第五公設(shè)的試證。他于1766年在其著作《平行線理論》中考慮有三個內(nèi)角都是直角的四邊形ABCD(圖1.3).他對第四個內(nèi)角的三種可能性分別做了分析：直角假設(shè)等價于第五公設(shè)；銳角假設(shè)不可能，他與公設(shè)4，公理5矛盾；對于從銳角假設(shè)推導(dǎo)出的結(jié)論，他猜想可能應(yīng)用于虛半徑球面的圖形上，蘭伯特的幾何觀點是比較先進的，他認(rèn)為任何一組假設(shè)，如果不導(dǎo)致假設(shè)矛盾，那么一定提供一種可能的幾何。蘭伯特比他用時代的人走了更正確的途徑，他預(yù)感到第五公設(shè)問題的真正的答案

。

數(shù)學(xué)的特殊成果，一般不會只是個人的工作。這種數(shù)學(xué)積累的發(fā)展，特別適用于創(chuàng)立非歐幾里德幾何的情形。前面已經(jīng)介紹的是非歐幾何的先行者。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者，應(yīng)屬于以下三個數(shù)學(xué)家——德國的高斯；匈牙利的波爾約；俄國的羅巴切夫斯基。

高斯在19世紀(jì)初也曾試圖證明第五公設(shè)。他在1817年的同信中即談到“所要證明的部分是不可能的……”1824年，在一封信上說“三角形的三內(nèi)角之和小于180度這假定引導(dǎo)特殊的，與我們的幾何完全相異的幾何”。但是由于種種原因，高斯生前并未發(fā)表關(guān)于非歐幾何的任何研究成果。

波爾約在1823年已得到關(guān)于新的平行線理論的結(jié)果，1832年一附錄的形式在他父親的一本書后發(fā)表了他的研究成果《絕對空間的科學(xué)》，其中論述的“絕對幾何”就是非歐幾何。由于他的工作得不到同時代的數(shù)學(xué)家的理解，特別是得不到高斯的理解，從此他放棄了數(shù)學(xué)研究。

羅巴切夫斯基建立的非歐幾何在當(dāng)時沒有得到人們的承認(rèn)。在他去世后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米于1868年發(fā)表論文《關(guān)于非歐幾里德幾何的解釋》，其中給出了羅巴切夫斯基幾何的第一個模型——具有負(fù)常曲率的為球面，使得羅巴切夫斯基幾何有了現(xiàn)實的意義?？梢哉f這時人們對羅氏幾何看法的轉(zhuǎn)折點。此后又有克萊因和龐加萊關(guān)于羅巴切夫斯基幾何的解釋。使得羅氏幾何最終被人們所確立。

羅巴切夫斯基成功的建立了一種非歐幾何，解決了第五公設(shè)問題，即它不可能用除它以外的歐幾里德的其余公理加以證明的。1899年，數(shù)學(xué)家希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中最終彌補了歐幾里德公理系統(tǒng)的不足之處，提供了一個完善的公理系統(tǒng)。

這樣，兩千多年來歐幾里德幾何作為反映現(xiàn)實世界的唯一正確的幾何空間的地位被動搖，為創(chuàng)立不同的幾何學(xué)開辟了道路。而第五公設(shè)的證明所帶來的影響也是深遠的。

非歐幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)中導(dǎo)入了富有革命性的思想。一開始被視為離經(jīng)叛道，為人所不容，后經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家的努力才使人們最終接受和理解。17世紀(jì)初期，生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進步給數(shù)學(xué)不斷提出新的問題。如在變速運動中如何解決速度，路程與時間的變化問題等，解決這些問題，必須使用——變量數(shù)學(xué)，作為非歐幾何的解析幾何因運而生，他將代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來，使常量數(shù)學(xué)進入了變量數(shù)學(xué)；微分幾何創(chuàng)立與18世紀(jì)，當(dāng)時研究內(nèi)容只涉及用分析方法研究位于歐式空間中的曲線，曲面的性質(zhì)。1827年高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》，提出了內(nèi)蘊曲面理論，為微分幾何的研究注入了新的思想，即將參數(shù)表示的曲面本身視為一個空間，它的特性不依賴與他的包容空間，開創(chuàng)微分幾何的現(xiàn)代研究。1854年黎曼《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中，創(chuàng)立了黎曼幾何學(xué)。為物理與力學(xué)的研究提供了各種空間模式和數(shù)學(xué)工具，如愛因斯坦的廣義相對論就是一黎曼幾何為數(shù)學(xué)工具的例證。

15－16世紀(jì)文藝復(fù)興時期，隨著繪畫和建筑藝術(shù)的發(fā)展，歐洲學(xué)者發(fā)現(xiàn)透視原理。1639年法國數(shù)學(xué)家G.Desargues,在其著作《試圖處理圓錐與平面相交情況初稿》，通過對透視的研究，提出了射影幾何的一些概念