（轉(zhuǎn)載請注明出處）

趁著一絲沖動記下一些經(jīng)歷，也趁著現(xiàn)在還能想起來，寫寫路途中遇到的人和碰到的一些書。

其實標題起得不準確，怎么樣也不能叫做“選擇”，現(xiàn)在做代數(shù)幾何數(shù)論這個方向其實有好多好多偶然。其實更多是回憶學生時代的我是怎么學代數(shù)幾何和數(shù)論。

現(xiàn)在回憶起來我這個人貌似不是目的性特別強，但不知道怎么的，走著走著最后做著代數(shù)幾何和數(shù)論的研究還混得不算太不堪，這方向看起來很高不可攀的樣子，其實沒有想象中那樣，現(xiàn)在回想起來就是誤打誤撞，只能算是緣分。倒是現(xiàn)在我很認真的回想一下怎么我就走上這條路了。

考大學時第二志愿進了武大，服從分配去了自動化系。其實一直想去的是數(shù)學系，從高中時就一直挺喜歡數(shù)學，特別是平面幾何，覺得作幾條輔助線漂亮的證一個命題特別有意思。當我媽還在后悔當初怎么就沒能讓我接受復旦或南開的數(shù)學系保送的時候，我就心里起了轉(zhuǎn)系的念頭，還是想去學數(shù)學。原因挺直接的，就是學了半個學期，感覺在自動化學到的課程太簡單了，幾乎不用動腦筋就搞定了，這樣太沒挑戰(zhàn)性了。那時候轉(zhuǎn)系和現(xiàn)在相比還不是個特別容易的事情，連個正式的轉(zhuǎn)系程序都沒有特別明確，我只是看了學生手冊上一句話提到了可以轉(zhuǎn)系！于是我就不知天高地厚的去了。。。其實到了后來實際辦手續(xù)的時候，才了解到轉(zhuǎn)的人基本上是從冷門專業(yè)轉(zhuǎn)到一些熱門專業(yè)，也不需要什么成績要求，就交錢，然后教務處簽名。這其實完全在我想象之外。我那時想的特別簡單，就自己自學數(shù)學分析，到了期末到數(shù)學院的數(shù)學基地班參加數(shù)學分析的期末考試，我還記得我考了95，幾乎是最高分?？纪旰笪揖透鷰н@門課的吳方同老師說了我想轉(zhuǎn)數(shù)學系想來基地班學數(shù)學。之后辦了一通行政手續(xù)，找各式領導簽了不下十個名字。我當時就想，如果讓我交錢我就不轉(zhuǎn)了，爸媽即使再有錢也不是這樣花的，其實爸媽基本不知道我轉(zhuǎn)系的事，我就只是學期中跟他們提了一下我想轉(zhuǎn)，然后轉(zhuǎn)好了再通知了他們一下。有點沒想到的是簽名過程居然算是順利，數(shù)學系那邊顯然吳老師跟我說了不少好話，我沒遇到什么阻攔，自動化那邊倒是勸說轉(zhuǎn)數(shù)學系干嘛，還不如轉(zhuǎn)軟件學院呢。當我把最后一步辦好了，那個行政老師發(fā)現(xiàn)我根本沒交過一分錢卻拿到所有簽名一臉驚訝，還當面打電話給教務部驗證了，她放下電話那一刻我的心才算是真正放了下來。這樣我終于來到了數(shù)學系，向數(shù)學走近了一步！武大還算是個有良心的學校，不至于打擊一個為著自己興趣而不是為著更容易就業(yè)而學習的學生。

不過，我還不能直接到數(shù)學院特殊關照的基地班，只能先到應用數(shù)學班，不過數(shù)學院內(nèi)部只要成績好就能轉(zhuǎn)入基地班這是很明確的。雖然我是應用數(shù)學班的，但基地班每門基礎課都是單獨開課，于是我就完全不顧應用數(shù)學那邊上什么課，全到基地班上課和考試，這是因為我很明白一點：只要我考得足夠好，有任課老師的大力支持，教務那邊的亂七八糟的手續(xù)我壓根不用去管，任課老師們自然會幫我擺平，事實證明我想對了。接下來那個學期我特別努力學習，之前缺了一個學期的線性代數(shù)課，我自己努力惡補。恰好碰上任課老師陳恭亮是法國畢業(yè)的，他的教法就法國人那套，先講群，然后線性空間，然后再到矩陣。其實這對于我而言特別難接受，不過這是硬著頭皮啃下來的。這是我第一次接觸法國式的數(shù)學，一點好感也沒有。線性代數(shù)老師卻給我留下很深的印象，他笑得特別甜特別純真，我想是不是學數(shù)學的人就是這樣的。我第一次從他那知道有個叫l(wèi)atex的東西，但我對他說這東西特麻煩，還不如用word。教習題課的助教也是法國畢業(yè)的，是個女老師應該叫余一彥，教的特別清楚，我也特別喜歡上黑板做題，和班里的若干女學霸搶著把習題都包了。其實原來我一直離法國學派那么近，不過我一直沒有想過我會有朝一日來到了法國，我那時的英語就很一般般，更加沒想過學第二外語。現(xiàn)在我看到來到巴黎高師念書的學弟學妹們他們的實力，數(shù)學上的見識和流利的外語，跟當年的我一對比簡直感覺自己是弱爆了。順利考試順利轉(zhuǎn)到基地班。于是自己的一個小小愿望終于實現(xiàn)了，終于能學數(shù)學了。

大二大三我上了數(shù)學系的標準的課程，幾乎全國各地都差不多吧。那時候覺得復變函數(shù)里頭的結(jié)果一個一個都這么漂亮，不過我也記得復變的任課老師涂振漢跟大家說，復變函數(shù)是上兩個世紀研究的主流，現(xiàn)在已經(jīng)什么人再研究這個了。他研究的是多復變，他是莫毅明的學生，于是后來他開多復變的時候我就去學了學，沒怎么學懂所以到現(xiàn)在幾乎全部忘記光了，僅有一點殘留的：有個D-bar算子全純就是它的解，多圓盤跟球不是全純等價的，還有跟單復變很不一樣的：兩個全純函數(shù)在一個有聚點的序列上重合并不能推出這兩個函數(shù)是一樣的。。。寫道現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)要是認真回憶一下還是能夠想起來一點點的，畢竟當年是認真過的。他沒讓我覺得多復變是個漂亮的玩意，我記得我最后應該是沒有去考試的，不過收獲也是有的，我應該是從他那第一次學到了流形的概念。抽象代數(shù)是一個姓邱的老師教的，慢慢地講聶靈沼丁石孫那書，一個學期下來把群論講完了。。。我徹底無語，我當時連理想是什么都不知道。我試著做課后的習題，發(fā)現(xiàn)很難，有些題目費好長時間確實能做出來，不過還有不少題目根本做不動。其實我并不是個特別聰明的人吧。抽象代數(shù)給我之后很長時間留下的印象就真是抽象，而且難。實變函數(shù)和泛函分析都是劉培德教的，教的確實算不錯了，光在課堂上我就覺得學了不少東西。我考分考很高，只是我覺得自己并不是特別好理解了這兩門分析課。陳文藝教了古典的微分幾何，活動標架法，于是我知道了愛因斯坦記號，以及算得煩死人的式子，什么克里斯多夫符號，從此微分幾何在我心里留下了很糟糕的印象。陳文藝說高斯最喜歡的定理是那個什么第一形式第二形式跟坐標無關之類的，不過我心想難道不應該是我高中競賽時學過的二次互反律嗎，他給了好多個證明。拓撲其實是個特別有意思的東西，杜乃林講課還算有趣，不過可惜的是一個學期時間有限，講完了點集拓撲剩下講代數(shù)拓撲的時間已經(jīng)還少了。我曾經(jīng)想過是不是以后去研究拓撲，畢竟這東西真的很有意思。不過很打擊的是我期末考好像才考了個六七十分，是我數(shù)學課唯一沒上90的。matlab的課我也很樂意的去上了，后來在玩文曲星里頭的一個智力游戲的時候發(fā)現(xiàn)一直玩不出來，于是我把它弄成一個有限域上的線性方程組的問題，然后上matlab把它徹底干掉了，為此我還開心了好久！數(shù)學建模的課講的十分無聊，但我很開心的和幾個同學一起參加了數(shù)學建模競賽。那是我第一次和別人合寫了文章，雖然沒有發(fā)表但值得紀念。那次沒得什么大獎。然而我的隊友后來去了普林斯頓念博士，我心里羨慕了好久，她也畢業(yè)了在斯坦福博后。由于大家都還混數(shù)學界，也因此還有了見面的機會，其實還有機會見面的本科同學幾乎絕跡了。那時候的我學數(shù)學并不是覺得我以后就一定要去做數(shù)學研究的，我的想法和大部分人一樣俗，先好好學數(shù)學畢竟是自己很感興趣的東西，再學點計算機或者金融，以后好找工作也給自己留一條后路?，F(xiàn)在回想起來我一直不是那種狠了心一定要干純數(shù)學的那種人。于是我選修了個華中科技大學的第二學位，每周六日就跑過去學計算機。也不知道是不是由于是第二學位，教學要求不是特別嚴格，我也就上課學習，平時不怎么看，然后期末隨便一考試就是幾乎滿分。武大的pde一直算是傳統(tǒng)，我也上了陳化院長的課，不過pde沒有能打動我的地方，內(nèi)容過于瑣碎。我倒是記得陳院長說的一句話，做的人多的數(shù)學必定是好的數(shù)學。他當時是用來形容pde這個方向的。我不知道這句話是對的還是錯的，但至少有一定的道理，在全世界范圍內(nèi)做數(shù)論的人挺多的。。。說到這完全沒有任何跡象我以后會研究數(shù)論，就連繼續(xù)做數(shù)學也挺玄的。。。雖然我數(shù)學課的成績很好幾乎都是班上前幾名，但是當我和寢室的同學討論數(shù)學的時候我就會發(fā)現(xiàn)他們的見識比我廣多了，他們對數(shù)學的理解也比我深得多。雖然光看考試成績，他們沒我高，但是我覺得他們的數(shù)學水平比我高。不過我寢室里跟我一起討論數(shù)學的同學們現(xiàn)在都沒有在做數(shù)學研究了，不過我還是特別感謝你們，讓我收獲了很多。于是在我博士論文里也有了特別的一頁中文，對你們的特別致謝。

正是由于修了個這樣的雙學位，我對數(shù)學以外的學問真的死心了，實在意思不大?？赡芤簿筒畈欢嗍悄莻€時候我決定要繼續(xù)學數(shù)學吧。記得那是大三，我跟我的可愛的前女友分手了之后，姚家燕開了一門交換代數(shù)的課。正是那個時刻，為了忘掉傷心我一頭扎進到學交換代數(shù)上，越學越帶勁，花了無數(shù)時間把Atiyah的習題一個接一個幾乎全做掉了。也許正是多年以前的武大，當時中法班和法國聯(lián)合培養(yǎng)了很優(yōu)秀的一批人，恰巧讓我遇上了他們，可能已經(jīng)不自覺的接受了很多他們帶回來的觀念。姚老師又是一個法國畢業(yè)的老師，呵呵，看來我跟法國是有緣。姚老師課上的十分精彩，不過上課人數(shù)僅僅是五六個人，可能是大家都覺得抽象代數(shù)已經(jīng)夠難了，現(xiàn)在來個交換代數(shù)就更難，而且很多人也不缺學分了所以選這樣的課的人很少。而學校教學還有少于五人選課就不能開課的無聊規(guī)定。不過幸運的是，就有那么幾個還是對數(shù)學感興趣的同學，使得這門課能開。在我眼里姚老師是個特別了不起的老師，當時課上完了，但是那本書還沒教完，最后好像剩下兩三章。我提出我還想學完，于是姚老師就給我單獨把最后剩下的內(nèi)容梗概給我上完了。那可能是我上過的唯一幾次只有一個學生上課的課了吧。姚老師有時候是個不講道理的人，有一次暑假數(shù)學系的教室鎖門了，他覺得這不合理，他居然從門上半部分那個已經(jīng)沒了玻璃的窗帶領我爬了進去，給我一個人上課。這樣的認真勁讓我對法國數(shù)學有了很大的好感。

其實我大三那一年，應該是巴黎高師在中國也開始了招生，江智就是那一年考上的。雖然武大有不少從法國畢業(yè)回來當老師的中法班的前輩，但是我完全不知道有這樣的信息。再后來我也由于完全不了解信息錯過了綜合理工的招生，當時同班的一個同學參加了考試，只是可惜沒考上。大四的上學期是大家都忙著弄保送的時候。同班的一些同學一直準備出國，考了GRE托福，而我自認為英語夠爛的，還不如把所有時間專心花在學數(shù)學上，學數(shù)學學好了總有出國的機會，還不如現(xiàn)在國內(nèi)好好學，等以后真的做得好就出去，如果沒學好也就沒必要出國了。大三的那個暑假武大還舉辦了一次多復變的國際會議，記得李巖巖來給了一個mini course，雖然是個關于pde的，我并不是特別感興趣，但我還是去聽了，課上他留了個習題。我晚上琢磨了一會，沒能做出來，但卻發(fā)現(xiàn)稍微改改條件我就可以很輕易把它做掉。于是第二天就找李巖巖告訴他我的答案，結(jié)果他大喜，說其實我改完條件后我的辦法已經(jīng)得到了方程的解的存在和唯一性。也許是會后他在陳院長說了不知多少贊美的話，保研的時候陳院長就讓我自己挑想去的地方，他給我包一封推薦信。其實他還說可以推薦我去芝加哥大學。不過我心想為啥是芝加哥，大概他在那有認識的人，這樣弄靠譜嘛，萬一不成功，只有野雞大學給我offer那怎辦？這樣推薦過去就只能學他的pde方向了，我完全不感興趣，而且我更不愿意花時間去準備萬惡的英語考試。自從上了姚老師的交換代數(shù)以后我就覺得代數(shù)挺有意思的，而且我對代數(shù)的感覺似乎比對分析的感覺好些。同時我還有個很幼稚的想法，國內(nèi)高校普遍代數(shù)比較弱缺少代數(shù)的老師，我學完代數(shù)了出來找工作應該會相對競爭少一些。我本來考慮去北大，想著跟張繼平做群表示論似乎也不錯，雖然我那時候連什么是表示論都不知道，更不用說張擅長的模表示。我征求姚老師的意見時，他卻建議說我應該去學代數(shù)幾何和數(shù)論，那東西主流而且有意思。其實我那時候?qū)@個方向的了解是零。自己也曾經(jīng)買了一本胥鳴偉翻譯成中文的Hartshorne代數(shù)幾何，自己嘗試讀一點點，結(jié)果連概型這個概念都沒弄懂，現(xiàn)在想來當時我缺太多流形的觀念了。姚老師的理由其實挺簡單的，就是我學過交換代數(shù)，還學的不錯，就可以去試試學代數(shù)幾何和數(shù)論了。另外一個理由是他在北京晨興的討論班上認識徐飛，覺得這是個好導師。反正沒有什么掙扎，我接受了他的這個建議。我記得他說了一句話，我不知道有沒有道理，但我信了：其實哪個方向沒有特別大的區(qū)別，當你真正做研究的時候都一樣，都一樣的困難。也許我只是相信姚老師在法國學到的數(shù)學，和相信他在國外的見識?，F(xiàn)在我開始了自己的研究，發(fā)現(xiàn)這句話其實挺有道理的。并不像傳說中那樣，代數(shù)幾何和數(shù)論比較難，其實其他方向也一樣難，一旦是想要做點新的結(jié)果，各個方向的難度其實不分上下。代數(shù)幾何和數(shù)論表面上的難可能只是表現(xiàn)在門檻比較高，需要學習很多的預備知識才可能開始做研究。然而按我現(xiàn)在的理解，念書過程中的困難和創(chuàng)造新結(jié)果的困難相比根本不是一個數(shù)量級的，是幾乎可以忽略的，而創(chuàng)造新結(jié)果的困難并不會因為你的方向不一樣而有多大的區(qū)別，相對容易的結(jié)果總是早被別人做過了，只要是新的都是十分艱深的，需要做研究的人用力推進的。姚老師的那句話現(xiàn)在看來還真是對的。可能就是這樣吧，我定了以后的方向就是數(shù)論和代數(shù)幾何。其實這是盲目的，我根本對這個學科沒有任何了解，就跟上大學填志愿的時候一樣，對未來要面對的是完全沒有任何認識。

后來姚老師還開了古典的代數(shù)幾何，上了一點沙發(fā)列維奇的書，很直觀的一些內(nèi)容，多項式方程的解的幾何。完全沒有學分壓力的時候我還是很自由的學了不少數(shù)學。我到數(shù)理金融班那聽了張敦穆老師的微分拓撲，張老師上課很有意思的，其實我更愛聽他講數(shù)學八卦。可惜他沒上多久就到科學院去帶一門課，微分拓撲由他的一個學生繼續(xù)講完。微分拓撲里有很多很有意思的定理，例如向量場的奇點：地球上總有一點是無風的，還有例如地球上總有一對對徑點的氣壓相等，等等都印象深刻。其實我覺得大部分本科的課程太死板了，沒有很好激發(fā)起學生學數(shù)學的興趣，數(shù)學里頭漂亮的東西太多了，如果能盡早開眼界看到這些，那學習數(shù)學會是十分愉快的過程。大四的時光總是特別快樂，我?guī)缀趺刻彀泶蛴鹈?，晚上?jīng)常和同學們下館子，而白天就毫無壓力的學點數(shù)學課。那時候范愛華老師還開了門關于p-adic分析的課程，范老師是法國的教授。在武大特別幸運，數(shù)學系雖遠不如北大，但卻有機會碰到那么一群在法國留學過的有學問的人，而且我真還從他們每個人那都學了點東西。范老師本質(zhì)上是個分析學家，他關心的是動力系統(tǒng)，開p-adic分析的原因是他做p-adic的動力系統(tǒng)。我那時候已經(jīng)自己看過一些p-adic相關的內(nèi)容，不過我看的幾乎都是代數(shù)技巧處理的，寫給學代數(shù)數(shù)論的人的書。范老師的處理是很分析的，例如某些定理的推導用到的是泛函分析的結(jié)論。我自己不算是個規(guī)規(guī)矩矩只聽課的學生，我要求范老師讓給我半節(jié)課讓我來講講比較代數(shù)的構(gòu)造p-adic域，于是我就簡單的講了逆極限，然后解析了為什么這樣構(gòu)造出來的和考慮等價柯西列造出來的這兩種語言是怎樣對應起來的。范老師給我的印象就是不緊不慢特別紳士的那種，我當時以為他是受到法國人的影響，但等我真正來了法國之后才發(fā)現(xiàn)其實大部分法國人不是這個風格。我抱怨數(shù)論要學習的預備知識太多了，而且每一塊都要花上不少時間，他倒是覺得無所謂說：慢慢來就好了。我還聽了調(diào)和分析的課，原因只是因為開課的人是楊奇祥，而且我知道他是小波分析創(chuàng)始人Meyer的學生，不過我也確實發(fā)現(xiàn)我確實對分析太沒感覺了，只聽了兩次課就沒繼續(xù)了?，F(xiàn)在回想起來我有點驚訝，怎么本科的時候能有這么多時間，自己雜七雜八學的東西其實不少了。我還有空去聽研究生開的抽象代數(shù)，文志雄開的課，又是一個法國畢業(yè)的，總算講的稍微多一點點，不過也就真的只是多一點點，講到了點環(huán)論，這在我學過交換代數(shù)之后已經(jīng)不是什么新鮮的東西了。記得還有個叫樊惲的教授，做群表示論的研究，他給他的學生們開著討論班，但我卻沒抓住這個機會去學，畢竟不是一門課程的形式。

自己想學點代數(shù)，覺得以后學數(shù)論代數(shù)基礎一定要扎實，但看來等著老師教那是希望渺茫了。大四閑著就去自學，代數(shù)的教程有很多經(jīng)典的推薦，我念書基本上不是別人推薦哪本我就念哪本，而是很隨著自己的喜好，讀著哪本覺得特別對自己的胃口我就一直讀，讀到不對胃口的即使是世界名著我也毫不猶豫的放棄，絕不死啃。讓我感覺挺好的是Hungerford的那本GTM，于是大四就靜下心來基本把習題做完了。也算是正兒八經(jīng)的學了一遍Galois理論這么好玩的東西，古典尺規(guī)作圖三大難題的確是個很有吸引力的切入點。等大四才接觸Galois理論這么重要的，貫穿現(xiàn)代數(shù)論的理論其實真的夠晚的。那時候比較容易弄到的書是GTM的影印版，于是同時也讀了GTM167，Galois理論部分大同小異，都是現(xiàn)代的經(jīng)過重寫后的簡潔明了的版本。倒是從這個書我學了不少超越擴張的知識，這跟我學到不久的古典代數(shù)幾何能馬上聯(lián)系起來。從那書上學到的還有一些最基本的超越數(shù)論，證明\pi和e是超越數(shù)，其實也挺有意思的，到今天我只記得證明里有一堆積分號。數(shù)論難入門的原因是內(nèi)容太多了，但是也有一個容易入門的原因：每一小塊需要了解的內(nèi)容都十分有意思，講述一個特定容易表述的問題，然后用各式各樣的辦法把這個問題漂亮的做掉！所以學習數(shù)論是很享受的一個過程，面對的都是一些形式上特別簡單看起來就覺得有趣的問題。不像索波列夫空間我一看那指標我就不想學了。。。（某些人躺槍了吧，不小心黑到了。。。）為了了解數(shù)論大概研究什么，我很隨意的看了看GTM84，那本書每一章講一個主題，每個主題都能發(fā)展出一大套理論。我挺喜歡這個書的，挺能開闊眼界。

研究生開學前2005年的暑假我就來到了北京，清華正和巴黎11大聯(lián)合舉辦自守形式的暑期學校。我每一門課都聽不懂，但每天都跟著徐飛從科學院去清華聽課，那是因為會議的點心蛋糕特別好吃，清華食堂的飯菜也很可口。那時候清華已經(jīng)開始和11大合作了一小段時間了，經(jīng)常有巴黎的教授到清華去講課，也開始有清華的學生來到11大念書，那時候在巴黎念數(shù)學的中國學生并不多，不像幾年之后的現(xiàn)在，遍地都是。那時候在聽課的應該不少現(xiàn)在我都認識了，我現(xiàn)在只記得一坨牛人坐在前兩排記筆記的同時還能提出不少看似有意義的問題。對比之下我一點聽不懂，真的特別難受，覺得我的差距也太大了吧，別人讀個大學我也讀個大學怎么能差這么遠。不過我也總是覺得可能只是環(huán)境的差距，有些東西我沒能接觸到，如果給我一樣的環(huán)境我大概也能學很多很多。于是在北京那一年是我最用功的一年。

徐飛是個比較放縱學生的導師，可以跟他討論問題，但不是那種把學生盯得很死的導師。我進科學院的那一年他一下子招了三個新生，我總叫他開門課來教教我，但他一直都沒開。只是讓我們參加討論班，他的想法是把學生放在討論班，學生就自然知道要學什么了。其實我知道很多東西應該學，但是不知道從何學起，而且如何學。不過北京從來不缺好的課程。首先應該盡早學的是現(xiàn)代代數(shù)幾何概型的語言。清華的印林生老師恰好開這個課程，于是那個學期就經(jīng)常騎車去清華上課。印老師是那種思維力全是純粹代數(shù)的人，他講的代數(shù)幾何就是一坨代數(shù)的邏輯推理，他是那種從來講不出幾何意義的人，我就這么硬著頭皮的學著。自己也開始試著做Hartshorne第二章的習題，其實第二章的題目還不是難得做不動的。我也不知道自己究竟有沒有理解，但是我就這樣艱難的開始了代數(shù)幾何的學習。好像是下學期，科學院那的胥鳴偉（就是翻譯GTM52成中文的老師）也開了一門代數(shù)幾何，我也去聽。白發(fā)蒼蒼的老爺子和印林生完全兩個極端，他的思維是純粹的幾何，給我們講的證明幾乎就是瞎扯的神推理，不過他講的是幾何直觀，為什么一個結(jié)論是對的，幾何意義是什么。我的代數(shù)幾何入門就是這樣先學了代數(shù)再學幾何，然后我自己合成了代數(shù)幾何。不過老實說來，GTM52這書不好讀，許多細節(jié)的驗證被藏起來了，往往是一句話概括，扶磊的書當時成了一個很好的補充，注意到扶磊的書的原因只是因為他是我的校友，是姚老師讀書時候的武大郎，不過他的書確實在我學代數(shù)幾何的路上幫上了不少忙。那個時候我手頭還有一本很不錯的書，武大出版社出的流形的拓撲學，好像作者叫蘇競存。那個時候我對流形的思想已經(jīng)很熟悉，印象中從陳省身的那本書的前面部分寫得特別清楚，科學院的彭家貴開的微分幾何又把很多我以前學過的內(nèi)容復習了一下，于是我課余就經(jīng)常看流形的拓撲學，作為娛樂的看。這本書其實我自己特別喜歡，講的很直觀，我看那書總是能夠想象到圖像，而且我覺得那本書把很重要的一些思想講得比較淺顯，我腦海中纖維叢的概念應該是從那本書之后才建立起來的，而不是建立在微分幾何的課上。這本書最后講到指標定理，只是我后來就沒有時間念下去了。不過從這本書里樹立起來很多幾何的基本觀念對我理解代數(shù)幾何的幫助很大，思想和觀念是一致的，只是把分析換成代數(shù)語言。至于Griffiths-Harris我從沒看過。那會課特別多，我還上了門科學院開的代數(shù)拓撲，其實很多內(nèi)容我在本科學完拓撲后自己也稍微看過一點，這門課并沒有給我留下太多印象。科學院開的抽象代數(shù)也沒給我?guī)硎裁葱碌闹R，這些課程的考試我都很輕松的就應付過去了。想學習數(shù)論，一些李群的知識是應該知道的。恰好科學院也有這樣的基礎課，好像是唐國平上的，今年暑假回北京都5年沒見了，唐老師居然還記得我還真讓我有點驚訝。就是微分流形和群的一個結(jié)合，本科學拓撲的時候就學過一些拓撲群的知識，再學習李群其實并不困難，只是再注意一下現(xiàn)在切空間是個李代數(shù)，而且這個李代數(shù)反過來確定了這個李群（up to這個李群的基本群）。接下來的李代數(shù)的課程講了半單李代數(shù)的分類。不過這些由于我最后沒有進入朗蘭茲綱領相關的方向，我現(xiàn)在這些都忘得差不多了，可能只是學習過程中必須經(jīng)過的一個過程。很多東西不一定最終能在科研中用上，但是不能一點也不了解，中心的思想很值得知道。緊接著席南華給他的學生開了門代數(shù)群的課，這樣的學習機會我總是不會錯過的，不管我的時間表已經(jīng)有多滿。后來才知道席老師身體的事情，覺得他真不容易。還順帶知道了一點Lusztig的八卦。席老師是個很有特色的老師，他自認為無關要緊的東西錯一點無所謂，但是理論最關鍵的地方原則性的地方?jīng)Q不能錯。不過課下來我自己有點不知道哪些是原則上的問題他沒錯，而那些是可以隨意的他已經(jīng)錯了的。。。席老師知道我有機會去11大的時候還鼓勵說那是個好學校，要珍惜這個機會好好學，希望現(xiàn)在席老師還安好。記得他講的書是Humphreys的代數(shù)群，其實Humphreys更出名的是李代數(shù)的那本GTM，我學李代數(shù)的時候也稍微翻過一下那本薄薄的書。而代數(shù)群那本書講的是代數(shù)閉域上的代數(shù)群。這個就跟復李群已經(jīng)很近了，思想并不新鮮，只是得把微分的語言換成純代數(shù)的。一個學期的課只能淺淺學個入門，還有好多稍微深入一點點的我一直沒機會再好好學一學。數(shù)論里也經(jīng)常需要非代數(shù)閉域上的代數(shù)群，更甚至是環(huán)上的“代數(shù)群”（差不多就是群概型），這就是每次我學完一門課之后都有種路漫漫無盡頭的感覺。學李群的時候用的課本好像是GTM94，有時候我也不太挑教材，只要不是太不可讀也就還行，那本書李群以外的另一章倒是大大的吸引了我，講的是層的上同調(diào)de Rham定理。那是我第一次感到層論這個工具了不起的地方，突然發(fā)現(xiàn)這東西抽象的外衣下能量非常大。那時候我知道以后要去法國，于是周六日報了法語班，去學學法語。我雖然知道自己語言弱，不過也知道學語言要實踐。于是找了本法語的數(shù)學書來練習我的法語。恰好那個時候?qū)痈信d趣，于是就找到一本Godement的好像叫層與代數(shù)拓撲的書。不少對層的上同調(diào)的理解是獲益于這樣一本讓我練法語的書。還記得上學期的時候Ullmo在清華開模形式的課。在徐飛的指示下，我去旁聽并參加Ullmo組織的志村簇討論班。其實法國人開課入門門檻不會特別高，但是中間提升的梯度還是挺大的。模形式，更一般的自守形式，是學數(shù)論的學生應該了解的，算是數(shù)論里比較偏向分析的那一部分。課上得很不錯，學到了不少以前完全沒有聽過的知識。最后的考試去考的人不多，記得我考了個第二，20分滿分拿了好像14，這也是我第一次接觸法式的考試。至于Ullmo的討論班要學志村簇，我在十個報告人里應該算是最弱的，于是被安排講第一講，講四元素代數(shù)和志村曲線，參考Milne那時還掛在網(wǎng)上的一個文章和Vigneras關于四元數(shù)那本LNM800。那段回憶及其慘痛，那書是法語的，我連英語都hold不住，Ullmo卻逼我看法語書。人真是被逼出來的，那時一個星期學會了用latex，第一次用英文寫講義，操著生疏的英語第一次講討論班。那時候沒有學過類域論的我要讀明白四元數(shù)代數(shù)的內(nèi)容那是很困難的，向歐陽毅求救，他讓我去看看英文的Shimura寫的那本自守形式的最后一點，我心想這是坑爹嘛，一下子讓我看最后面我能懂嘛。那時報告的日子一天一天逼近，我都覺得要走投無路了，最后打電話騷擾徐飛。以致于到現(xiàn)在徐飛老拿這事來恥笑我。我只記得我并沒有真正理解我自己要報告的內(nèi)容就上去很勉強的講完了我的報告。那一系列十個報告的討論班其實收獲還挺大的，至少前五個我是能夠聽懂一些的，至于到了后幾個我已經(jīng)完全懵了。其實應該習慣在討論班上吸取營養(yǎng)。有一段時間歐陽毅在清華給大四的本科生開了門課講Serre的算術(shù)那本小書，剛開始講二次型的局部整體原則。我那時真是什么課都愿意去學，只要跟數(shù)論跟代數(shù)幾何相關的。不過我也忘了有沒有聽完這課，但是自己很喜歡Serre寫書的風格，多一句嫌多少一句又不夠。學模形式的時候，Serre的那本算術(shù)的第二部分曾是很好的參考。在北京的那一年，田野剛到了科學院。他給我們開了門代數(shù)數(shù)論的入門課程。講的很激情洋溢，他很喜歡一些古典的辦法，是他告訴我高斯的二次型的復合法則，然后一直把我們帶到Bhargava最近對這個的推廣，發(fā)在Annals上的文章。其實很多標準的代數(shù)數(shù)論的教材上可以很容易找到表述很清晰的基本的代數(shù)數(shù)的理論，田野從這個角度的切入其實成了一個特別好的補充。田野是個能量用不完的人，他帶著我們幾個學生晚上組織討論班，他的胃口挺大，他分給每個學生講數(shù)論幾大塊問題的其中一塊的入門的定理。例如有Roth的關于丟番圖逼近，有Iwasawa代數(shù)的模的結(jié)構(gòu)，有橢圓曲線的Mordell-Weil定理，Galois上同調(diào)的介紹，Tate thesis，有限群的表示論，代數(shù)群里的算術(shù)子群，試圖講類域論，等等。其實每一塊都很大，這么開了一個頭，我后來出國后的第一年一直在慢慢消化，其實這告訴了我數(shù)論里有什么可以學，有什么應該學。學習有限群的表示，Serre的書是個首選，前兩章學下來就對表示論有個很基礎的理解了，我相信代數(shù)群李群的表示論都將會是這些基本定理的各個方向的推廣，只可惜我沒有最后進入朗蘭茲綱領相關的方向，也就一直沒提起精神去學李群的表示了，特別是對無窮維的表示我完全無知。記得在北京那一年我好像還自己看了本黎曼面的書GTM81，完全不是解析的引入，而是純代數(shù)的用層論證明了黎曼洛克定理。這其實相當于Hartshorne里頭代數(shù)曲線那一部分內(nèi)容了。然而那本書我最大的收獲不是這個，而是我讀明白了代數(shù)曲線基本群理論跟Galois理論的相似之處。那確實當時就被振到了，雖然之后我自己從未正兒八經(jīng)的念過SGA1，但是SGA1的思想就是用統(tǒng)一的語言來描述這兩件事情，一側(cè)是拓撲一側(cè)是數(shù)論，統(tǒng)一使用概型的etale基本群的語言來描述。這一點其實是數(shù)論和代數(shù)幾何深深打動我的地方，自從我明白了這一點，我就覺得聽了姚老師推薦我學這個方向真的沒錯。就是因為有這么些奇葩的存在，讓那些愛上數(shù)論的人無法自拔。另外我還急切的希望了解一下朗蘭茲綱領究竟是說的什么，于是找到了一些很科普的文章，總算了解了一些，不過都只是淺嘗，到現(xiàn)在為止我都還沒有精力更好的了解。馮克勤老師好像寫了本叫做數(shù)論簡史的書，是我特別喜歡的一本，我就把它當成故事書來看。寫得十分近代了，也很好的告訴了讀者學現(xiàn)代數(shù)論大概有那幾大塊，如果真想深入學習數(shù)論，這其中的每一塊都應該至少有個粗淺的了解。

現(xiàn)在回憶起來才發(fā)現(xiàn)怎么自己這么瘋狂，上面這么長一整段里說道都是發(fā)生在我在北京的一年里頭，我哪來這么多時間，我也得多么的囫圇吞棗才把這么一大坨東西吞下去了？要是我每一年都能有這個效率我覺得我現(xiàn)在應該差不多能得菲爾茲獎了。

 其實對于出國，我一直是沒有心理準備的，直到ALGANT項目申請截止前一周，徐飛說Ullmo覺得我們幾個過去上課的都很不錯，于是我在猶豫之中花了一個星期備了一下申請資料就申請了。其實我心里有點擔心國外的博士不好念特別還是到處講法語的巴黎，萬一不能畢業(yè)怎么辦。喜歡大海的美麗也害怕大海兇猛無情淹沒渺小的自己，就那樣的一種心情。不知山有虎就向虎山行那是白癡，明知山有虎而向虎山行那是勇氣，而我是知道山有虎，然后想退縮，我是普通人。這時候?qū)煹淖饔镁褪巧縿樱盐亿s上賊船，然后我就自然下不來了。徐飛說他招的學生太多了，過一兩年就帶不過來了，所以送我們出去。我心想早知如此何必當初，少招點不久成了么。他說出國以后不要想著轉(zhuǎn)行，像計算機等等的學科能賺錢但相比數(shù)學沒有那么值得用人類最高的智慧去追求。我心想我早對計算機死心了，只是你不知道。他說即使在巴黎很勉強的拿到個學位，那也已經(jīng)是對中國數(shù)學的很不錯的貢獻了。我就這么頭腦一熱責任感在胸中由然而生。其實事實上很明顯中國數(shù)學多我一個不多什么，少我一個也沒少啥。

就這么申請了，出國了。來到了第一站，意大利Padova，700年歷史的大學，伽利略在這里教書多年。一出國就被這樣的一種文化氛圍深深吸引，歐洲更是一片很有意思的土地。獎學金項目給的錢很多，幾乎和我現(xiàn)在的工資能持平了。于是我開始了自助游，一發(fā)不可收拾，我這人還愛得瑟，即使在徐飛面前。他說要好好學數(shù)學，少花點時間旅游。結(jié)果被我一句話給頂回去了：對這么多姿多彩的世界都不充滿好奇的人怎么可能會對數(shù)學充滿好奇呢！出國以后就每年去玩的時間都很多，我都不知道我是出來讀書的還是來旅游的。這也有原因，意大利人懶，我把他們的優(yōu)良傳統(tǒng)給學到了。其實是由于在意大利學的很多課程以前自己就自學過，經(jīng)常每一門課下來只有少量新的東西學到。在這，我又學了一次代數(shù)幾何，Barbieri Viale教的太慢了，不過我知道他是研究motif的，于是最后一節(jié)課上完后，他問我們有什么問題，我就直接問：啥是motif?。空么蜷_了他的話匣子，于是他給我們科普了一下下，簡單地說來就是一個universal的東西，里頭包含有各種類型的上同調(diào)的信息，就是所有的各種不變量都應該通過motif分解，當然這個Grothendieck的夢想遠沒實現(xiàn)。Baldassarri給我們講剛性幾何，他一個勁越講越快，最后剩下我和另一個中國同學，沒聽懂但又不好意思就此逃掉。其實Padova的p-adic分析很有傳統(tǒng)，Dwork用p-adic分析的方法在這證明了Weil猜想的zeta函數(shù)有理性。由于課程輕松，我大部分的時間是在自己念書。念了一點Bump的自守形式的書，對自守形式有點粗淺的了解。讀Silverman的橢圓曲線。然后還看了無數(shù)Milne的課堂講義。其實Milne寫書寫講義經(jīng)常有錯誤，但是恰恰就是那種要害的地方?jīng)]怎么原則性錯誤，他的講義很容易在網(wǎng)上獲得，而且讀起來是相對很流暢的。從中我學了不少，局部類域論，整體類域論，阿貝爾簇，代數(shù)群（一些非代數(shù)閉域上的討論），etale上同調(diào)，Galois上同調(diào)。其實這一段我有點無頭蒼蠅，亂學，其實我這時需要一個導師，到這個時候其實數(shù)論和代數(shù)幾何最基礎入門的知識基本上我都已經(jīng)學到過了。應該要跟著一個導師開始讀文章，開始試著做問題。畢竟學數(shù)學最終目的是證明屬于自己的定理，建立自己的理論。評價一個數(shù)學工作者是要看他做出什么樣的定理而不是看他學過多少別人的理論。

就這樣我來到了巴黎，在這里，現(xiàn)代代數(shù)幾何的故鄉(xiāng)，我又一次學習代數(shù)幾何。其實，如果你學了一次代數(shù)幾何沒學懂那太正常了，我學了至少四五次。。。所以我覺得我自己并不是一個特別有天賦的人，我也不是個特別勤奮的人，特別是出國了之后懶多了，我只是以正常的智力水平用還算正常的辦法學會了一點代數(shù)幾何，其實一點也不高不可攀。這次是Harari教，Hartshorne還有另外一個缺點，雖然書里沒說域k是復數(shù)域，而實際上很多講的內(nèi)容是偏重于復數(shù)域上的代數(shù)簇的。而Harari做的研究是數(shù)域上的代數(shù)簇，所以上他的課還是有些新的收獲，也因此我讀了一點劉青的那本代數(shù)幾何，這里頭能找到一些算術(shù)的例子。我也又一次學代數(shù)數(shù)論，F(xiàn)ontaine和Colmez合開的課。Fontaine就是那種激動型的老師，每上一次課信息量都特別大。我的法語聽力也就是從聽數(shù)學課那里慢慢進步。很多人都說他字太丑了，那板書龍飛鳳舞，特別難抄筆記。其實抄筆記沒抄上的原因是你沒聽懂他法語說出來的那句話，想象你在聽寫，然后黑板上的潦草字跡是個提示，那你就會好過多了。在一些經(jīng)典的內(nèi)容過后，他倆開始講那變態(tài)的fontaine環(huán)們。。。那個直到今天反正我是沒有搞懂。。。那回考試還考了，我都不知道我是怎么活過來的。

巴黎毫無疑問是學數(shù)論和代數(shù)幾何世界上最好的地方之一了，其實把之一去掉也不為過。因為巴黎不止一個大學，而且大學間離得很近，哪里有感興趣的課就到哪去聽。博士期間也會經(jīng)常有空可以到處去聽聽課，充實一下自己的知識面。Clozel講了一個學期的Iwasawa理論，可惜我感覺我自己沒有抓到點。聽Hindry講阿貝爾簇，講得挺不錯的。聽Gille講代數(shù)群的算術(shù)，發(fā)現(xiàn)自己對群的直覺不怎么樣。去了Rennes上一個Arakelov幾何的暑期學校，粗淺了解了一下這個挺有意思的方向，只是覺得自己分析功底太差了點。聽Debarre講代數(shù)簇上的有理曲線和有理連通簇，后來也去Grenoble上了這方面的一個暑期學校，學了不少有意思的結(jié)果。有點可惜的是，我一直沒有機會聽一聽解析數(shù)論，這學期只聽了一點點，但沒能堅持多學點，我的分析真是糟糕。也可惜沒有能學會一點K理論，畢竟這在數(shù)論里應該有應用。

來巴黎學了不少東西，其實更重要的是找到了自己合適的一個導師，開始了自己的研究，做了一些屬于自己的定理。我聯(lián)系博士導師的時候讓我想起徐飛的一句告誡：找導師不見得要找一個最牛的，但要找一個最適合自己的。我不知道這話對不對，但這和我聽到過的另外一句話是矛盾的：跟越優(yōu)秀的人待一起你自己也會變得越優(yōu)秀。但是我同時相信了這兩句話。來到了巴黎，身邊的老師們教授們都非常優(yōu)秀，周圍的同學們也都十分優(yōu)秀。然后選了一個還真是挺適合我自己的導師Harari。其實我當初只知道自己分析是相對的弱項，如果設計arakelov幾何，那可能需要一些分析，涉及無窮維的表示理論這也要一些分析，于是我也不太樂意學自守形式的理論進入朗蘭茲綱領。最后其實我的選擇不是特別多，Colliot-Thelene的數(shù)學是我喜歡的類型，幾乎從不出現(xiàn)分析，既跟數(shù)論有關也跟代數(shù)幾何有關。不過他已經(jīng)招的學生已經(jīng)不少了，估計不可能再招，而且他感興趣的東西太多太多。反而更對我胃口的是Harari的研究，面要窄的多，幾乎所有都是關于有理點的，幾乎所有都是關于數(shù)域的。至少這個領域是我不討厭的，于是就跟了他，而且他也不是那種反應極速的人，跟那種人討論心會特別累而且很受打擊，弄一個結(jié)果出來弄不好大部分都是他幫你想的。但跟Harari也有一個顯然的缺點，方向太窄，這也是我現(xiàn)在面臨的問題，畢業(yè)后應該找到一些相關方向的問題來做一做，研究興趣太單一并不是好事。

唉，寫太長了。我所見到的一些法國學生，本科沒學過任何代數(shù)幾何，但是碩士就上了這么一兩門課，馬上就學會了，這也太神奇了。我回憶自己是怎么學代數(shù)幾何和數(shù)論的，發(fā)現(xiàn)學了很久很久，花了很多很多時間和精力。比起北大數(shù)學00級那個神奇的班級，幾個學代數(shù)幾何數(shù)論的都在美國最頂級的大學任職了也還拿了不少國際上的獎，才發(fā)現(xiàn)人和人的差距還真是大大的。我想我成不了最出色的數(shù)學家，但是作為一個數(shù)學工作者享受著最美麗的數(shù)論，只要自己能夠享受這個過程，那還是很不錯的。

我開始學數(shù)論前有一個想法，有機會我應該試著讀懂費馬大定理的證明。只是到了現(xiàn)在我還沒有這樣的機會。現(xiàn)在有了自己的研究，研究也應該不斷地繼續(xù)，也就沒有時間去實現(xiàn)這個想法了，留著等我老了吧，等我做不出新的結(jié)果的時候，那會我應該就有時間去實施這個想法了。有了終身的位置，我不干活也得把我養(yǎng)著，這就是游戲規(guī)則，這也是科學家唯一的特權(quán)。

學數(shù)論的時候經(jīng)常覺得自己是一只蝸牛，慢慢的爬，給足夠的耐心，爬著上路去看風景。