在所有的學(xué)科中，數(shù)學(xué)或許具有最悠遠而連綿的歷史，只有天文學(xué)能與其相媲美。這兩門學(xué)科都可以追溯到古巴比倫時代（Ancient Babylon），那時的發(fā)現(xiàn)在今天依然是重要的。

未來，數(shù)學(xué)也將發(fā)生革命。有的已經(jīng)在發(fā)生了：計算機科技的日新月異，大數(shù)據(jù)與人工智能不斷增大的影響，生命科學(xué)和金融行業(yè)提出的新的挑戰(zhàn)。當然還會出現(xiàn)別的，許多事情都是難以預(yù)言的。

某些情況下數(shù)學(xué)證明取代了其他科學(xué)中的觀察和實驗的地位——就是說，數(shù)學(xué)通過證明來避免被個人的聰明引向歧路，避免因為喜歡而相信并不真實的東西。顯微鏡的發(fā)明不能取代生物學(xué)實驗，計算機也代替不了數(shù)學(xué)證明。我們在學(xué)科的類比中看到，計算機強化了證明的技術(shù)手段，但是沒有改變邏輯的一貫性，從已知的定理導(dǎo)出新的定理，而推導(dǎo)的路線應(yīng)該經(jīng)得起專家嚴格的審查。證明的概念將作為數(shù)學(xué)最基本的東西保留，正如陳景潤證明哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）一樣。

數(shù)學(xué)的力量來自兩個源泉的匯流。

第一個是“真實的世界”。開普勒（Johannes Kepler)、伽利略（Galileo Galilei)、牛頓（Isaac Newton)告訴我們，外在世界的諸多方面可以通過微妙的數(shù)學(xué)法則（自然定律）來認識。有時物理學(xué)家會修正這些定律的形式。牛頓力學(xué)讓位給量子力學(xué)和廣義相對論，量子力學(xué)讓位給量子場論，量子引力或超弦引領(lǐng)著未來的理論修正的方向?，F(xiàn)實世界的問題激發(fā)新數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，即使產(chǎn)生它的理論改變了，但數(shù)學(xué)還在，而且依然重要。

數(shù)學(xué)的第二個力量源泉，是人類的想象力：為了數(shù)學(xué)而追求數(shù)學(xué)。勇敢的先驅(qū)者常常在追求個人的幻想中脫離主流，然后發(fā)現(xiàn)更好的路線。數(shù)學(xué)家們探索的價值是顯而易見的，那正是他們的動力，除了數(shù)學(xué)求證本身的意義，不需要更多的理由。

例如，費馬大定理（Fermat's Last Theorem），是一個超過三百年的巨大難題。其數(shù)學(xué)表達是，“n大于2且為整數(shù)，關(guān)于x、y、z 的方程 x^n+y^n=z^n 沒有正整數(shù)解”。它吸引了多少代數(shù)學(xué)家為之苦苦追尋，終于在1995年由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯（Andrew Wiles）給出了證明。他將費馬的表述轉(zhuǎn)換為一種“橢圓曲線”命題（一個截然不同的數(shù)論領(lǐng)域）。

今天，純粹數(shù)學(xué)的方法為應(yīng)用數(shù)學(xué)帶來了新的活力。應(yīng)用數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的問題刺激了純粹數(shù)學(xué)的新發(fā)展。數(shù)學(xué)的黃金時代已經(jīng)不在古希臘，不在文藝復(fù)興的意大利，也不在牛頓的英格蘭，而在今天。

說到今天的數(shù)學(xué)，不得不提及著名的21世紀七大未解數(shù)學(xué)難題。1900年，那個時代最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）曾提出未來需要解決的23個數(shù)學(xué)問題，今天大多已經(jīng)解決。100年之后，美國的克雷數(shù)學(xué)研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, CMI，Massachusetts），于2000年5月在法國召開的千禧年年會上，公開征解七大數(shù)學(xué)難題的解答。這七大問題由CMI 的科學(xué)顧問委員會精心挑選，并為每一個問題的解答懸賞100萬美元。

1、波奇/斯溫納頓-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture ,BSD)

對有理數(shù)域上的任一橢圓曲線，其L函數(shù)在1 處的零點階數(shù)等于此曲線上有理點構(gòu)成的Abel 群的線性秩。

BSD猜想近年來有所突破，如中科院數(shù)學(xué)所的數(shù)學(xué)家田野證明了其中一種特殊情況，使得該問題有了實質(zhì)性進展。

2、霍奇猜想（Hodge Conjecture）

這是代數(shù)幾何的一個重大的懸而未決的問題，是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)性猜想。

在非奇異復(fù)投影代數(shù)空間數(shù)簇上，任一“霍奇圓”實際上是代數(shù)閉鏈的有理線性組合。它與費馬大定理、黎曼猜想一起成為廣義相對論和量子力學(xué)融合的M 理論結(jié)構(gòu)幾何拓撲載體和工具。

3、納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations)

這是描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。盡管作為粘性流體動力學(xué)方程已經(jīng)提出100多年了，科學(xué)家對它的了解依然淺薄，希望能夠從這個方程的數(shù)學(xué)理論認識湍流，證明其等式存在和光滑性。它還涉及量子場論中的“質(zhì)量間隙假設(shè)”。

該方程的矢量形式為：

4、P與NP問題（P vs NP problem）

有確定性多項式時間算法的問題類P是否等于有非確定性多項式時間算法問題類NP。有些問題的答案檢驗起來很容易，但計算機做起來卻需要幾乎無限的時間，這就是所謂的NP問題，P是多項式，NP非確定多項式。P/NP問題是關(guān)于計算機的，卻不是計算機所能解答的。我們熟悉的圍棋就是一個NP-hard問題。

2010年，美國惠普實驗室的數(shù)學(xué)家Vinay Deolalikar）聲稱已解決了P/NP問題，并公開了論文手稿。他的論文草稿已經(jīng)得到了復(fù)雜性理論家的認可，但其終稿迄今尚未通過專家的審查。

5、龐加萊猜想（Poincare conjecture)

拓撲學(xué)中，任意一單連通的、封閉的三維流行與三維球面同胚。龐加萊在100多年前問，二維球面（如地球表面）是單連通的，可以收縮為一個點，那么三維球面是怎樣的情況呢？這是拓撲學(xué)命題，有助于人類研究三維甚至多維空間。

2006年，數(shù)學(xué)界最終確認，俄國數(shù)學(xué)家佩雷曼（Grigory Perelman）圓滿解決了龐加萊猜想（他拒絕了100萬美元的賞金）。

6、楊-米爾斯理論（Yang-Mills theory）

用楊振寧-米爾斯的規(guī)范場理論來描寫基本粒子的強相互作用時，需要一種微妙的量子性質(zhì)，需要證明量子Yang-Mills場存在并且存在一個“質(zhì)量間隙”。這個理論的方程是一組數(shù)學(xué)上極有意義的非線性偏微分方程。

盡管經(jīng)典的波動以光速運動（質(zhì)量為0），然而，量子粒子卻具有正的質(zhì)量。我們目前在理論上還不能理解這一點。

7、黎曼猜想（Riemann Hypothesis）

這是數(shù)學(xué)上最有名的一個未解難題，首先由黎曼（Georg Bernhard Riemann）提出來的。這是復(fù)分析中的一個相當專門的問題，猜想的答案很可能為素數(shù)理論、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何甚至動力學(xué)帶來曙光。

黎曼發(fā)現(xiàn)，Zeta函數(shù)的所有非零點都位于復(fù)平面上Re(s)=1/2的直線上，也即方程Zeta(s)=0的解的實部都是1/2。因此黎曼猜想可以表述為：“黎曼Zeta函數(shù)的所有非平凡零點都落在實部為1/2的一條直線上?！?/strong>

這個猜想聯(lián)系著許多關(guān)于素數(shù)分布的難題，例如，哥德巴赫猜想也只是它的一個特例。

證明黎曼猜想究竟有多重要呢？

可以這么說，作為當今數(shù)學(xué)界最值得期待解決的數(shù)學(xué)難題，黎曼猜想的對或錯，直接影響整個以黎曼猜想作為前提的數(shù)學(xué)體系。畢竟，我們現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)命題，都是以黎曼猜想及推廣形式的成立作為前提的。一旦黎曼猜想被證實，就會成為堅不可摧的數(shù)學(xué)定理。反之，如果被證偽，那么將會有100多個數(shù)學(xué)命題不可避免地成為黎曼猜想的“陪葬品”。

再者，黎曼猜想研究的就是數(shù)學(xué)中的素數(shù)分布。它從提出到現(xiàn)在已有160多年，它的藤蔓早已從數(shù)學(xué)界跨越到了物理界。

例如，廣義相對論最初源于愛因斯坦意識到引力并不是一種力，而是質(zhì)量導(dǎo)致時空幾何彎曲的體現(xiàn)。然而，當時并沒有數(shù)學(xué)理論來支撐愛因斯坦的想法，直到愛因斯坦了解到黎曼猜想“非歐幾何”，才讓廣義相對論問世。

2018年，英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞（Michael Atiyah）聲稱證明了黎曼猜想，但遭到了一些學(xué)者的強力質(zhì)疑。盡管如此，他的思路或許可為后續(xù)的證明提供幫助。

上面所提到的21世紀七大數(shù)學(xué)難題，將助力數(shù)學(xué)家對于未來純數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展起到推動作用。

英國皇家學(xué)會數(shù)學(xué)教授斯圖爾特（Ian Stewart）認為，在牛頓時代，數(shù)學(xué)問題的主要來源是天文學(xué)和力學(xué)，也就是自然科學(xué)。在未來，更奇異的學(xué)科還會涌進數(shù)學(xué)。其中之一就是已經(jīng)高度數(shù)學(xué)化了的量子物理學(xué)。今天，量子場論、幾何學(xué)、拓撲學(xué)和代數(shù)之間開始出現(xiàn)新的聯(lián)系。未來的量子場、超弦以及它們之外的各色理論所激發(fā)的新結(jié)構(gòu)，將開拓全新的代數(shù)和拓撲的天地。

19世紀的數(shù)學(xué)家把傳統(tǒng)的“實”數(shù)擴大到“復(fù)”數(shù)，讓“-1”有了平方根，給數(shù)學(xué)帶來了無限生機。很快，數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域都“復(fù)化”了：產(chǎn)生了與舊的實數(shù)一樣碩果累累的復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)?！傲孔踊笔?1世紀的“復(fù)化”，我們將走進量子代數(shù)、量子拓撲、量子數(shù)論的世界。

未來生命科學(xué)會激發(fā)出一門新的數(shù)學(xué)：生物數(shù)學(xué)?？茖W(xué)家曾經(jīng)相信人類基因組有10萬個基因，結(jié)果錯了，只有34000個。從基因走向蛋白質(zhì)，那路線圖比我們想象的復(fù)雜得多；實際上也許根本沒有那樣的地圖?；蚴且粋€動態(tài)控制過程的一部分，過程中不僅制造蛋白質(zhì)，還不斷修正它們，使它們在進化的生命里，在生命歷程的恰當時刻，找到自己恰當?shù)奈恢谩ＵJ識這個過程所需要的遠不只是一列DNA密碼，而是我們?nèi)鄙俚亩鄶?shù)東西就是數(shù)學(xué)。

生物數(shù)學(xué)是把生命生長動力學(xué)與DNA的基因信息過程融合起來的新數(shù)學(xué)。DNA密碼依然重要，但不是全部。新的生物數(shù)學(xué)可能是組合生物學(xué)、數(shù)學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)和信息學(xué)的奇異混合。

與物理學(xué)中數(shù)學(xué)用來表達定量的定律不同，對現(xiàn)實世界的預(yù)測通常是大數(shù)據(jù)加上人工智能分析的結(jié)果。例如，為了模擬臺風(fēng)的巨大漩渦，工程師們需要列出千萬個小區(qū)域暖濕氣體的運動方程，然后通過大量計算來解決這些方程?，F(xiàn)在，借助于計算機和大數(shù)據(jù)分析的“漩渦的微積分”有可能把人們從無窮的數(shù)字糾纏中解放出來。這是一個動力學(xué)模型形成的定性的、上下關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)理論。

再如，期貨和股票市場，許多中介通過買賣期貨和股票來相互影響。金融業(yè)就是這樣從相互影響中凸顯出來的。未來，金融和商務(wù)的數(shù)學(xué)也將在革命中產(chǎn)生，拋棄現(xiàn)在流行的“線性”模型，帶來數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更準確反映市場變化的數(shù)學(xué)模型。

未來，數(shù)學(xué)發(fā)展的空間仍然足夠大，它將幫助我們重新認識世界——通過新的模式，而不是幾十億個魔幻般跳動的數(shù)字。

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