科學(xué)是目前人類探知客觀世界最好的方式。盡管投入科學(xué)不能一蹴而就地得到切實(shí)有用的成果，但長遠(yuǎn)來看卻是技術(shù)發(fā)展最好的動力源。與技術(shù)開發(fā)不同，對科學(xué)的投入更像是公益活動，因?yàn)榭茖W(xué)研究得到的成果屬于全人類。而數(shù)學(xué)作為科學(xué)的“語言”，也有著類似的性質(zhì)。

在目前富豪爭相投身公益事業(yè)的社會潮流下，我們能聽到的科學(xué)獎項(xiàng)也越來越多。除去老牌的菲爾茲獎、諾貝爾獎以外，我們時(shí)不時(shí)還能聽到一些新的獎項(xiàng)。在前不久的6月23日，又有一個(gè)新的獎項(xiàng)橫空出世，它名為“數(shù)學(xué)突破獎”，它的目標(biāo)是“認(rèn)可本領(lǐng)域內(nèi)的重要進(jìn)展，向最好的數(shù)學(xué)家授予榮譽(yù)，支持他們未來的科研事業(yè)，以及向一般公眾傳達(dá)數(shù)學(xué)激動人心之處”。

這個(gè)獎項(xiàng)引人注目的原因之一是它的獎金來源：Facebook的創(chuàng)始人扎克伯格以及數(shù)碼天空科技的創(chuàng)始人之一米爾諾。此前他們還設(shè)立了“基礎(chǔ)物理突破獎”與“生命科學(xué)突破獎”，合作者更包括Google創(chuàng)始人之一布林以及阿里巴巴的創(chuàng)始人馬云。他們都是互聯(lián)網(wǎng)造就的新貴，大概也正因如此，他們更理解科學(xué)的重要性：正是科學(xué)的飛速發(fā)展，帶來了日新月異的信息技術(shù)，才給他們帶來了龐大的財(cái)富。

另一個(gè)引人注目之處則是高昂的獎金：300萬美元，這是諾貝爾獎的2.5倍有余，與解決3個(gè)克雷研究所千年難題所能獲得的金額相同。這是目前科學(xué)獎項(xiàng)最高的獎金，它很好地完成了吸引公眾眼球的任務(wù)。

數(shù)學(xué)家需要什么？成噸草稿紙和幾面很大的墻。這些面墻現(xiàn)在可價(jià)值不菲。圖片來源：果殼死理性派小組

那么，這次的獲獎?wù)叨加心男┠?？他們的貢獻(xiàn)又是什么呢？

西蒙·唐納森（Simon Donaldson），來自石溪大學(xué)以及倫敦帝國學(xué)院，他因“四維流形革命性的新不變量，以及在叢以及法諾簇兩方面，對其中代數(shù)幾何與全局微分幾何中穩(wěn)定性之間聯(lián)系的研究”而獲獎。

馬克西姆·孔采維奇（Maxim Kontsevich），來自法國高等科學(xué)研究院，他因“在包括代數(shù)幾何、形變理論、辛拓?fù)?、同調(diào)代數(shù)以及動力系統(tǒng)等在數(shù)學(xué)眾多領(lǐng)域中產(chǎn)生深刻影響的工作”而獲獎。

雅各布·勞瑞（Jacob Lurie），來自哈佛大學(xué)，他因“有關(guān)高階范疇論和導(dǎo)出代數(shù)幾何方面基礎(chǔ)性的工作，對全擴(kuò)展拓?fù)淞孔訄稣摰姆诸?，以及對橢圓上同調(diào)的參模理論解釋”而獲獎。

陶哲軒（Terence Tao），來自加州大學(xué)洛杉磯分校，他因“在調(diào)和分析、組合學(xué)、偏微分方程以及解析數(shù)論中的眾多突破性貢獻(xiàn)”而獲獎。

理查德·泰勒（Richard Taylor），來自普林斯頓高等研究院，他因“在自守形式理論方面的多項(xiàng)突破性工作，包括谷山-韋伊猜想、一般線性群上的局部郎蘭茲猜想以及佐藤-泰特猜想”而獲獎。

看著這些簡介，你現(xiàn)在的腦海里一定充滿了各種“這些字每一個(gè)我都認(rèn)識，但是合起來是啥”又或者“哇好厲害啊好高深啊他們干的到底是啥”之類的念頭。不要急，先讓我?guī)Т蠹曳治鏊麄兊闹饕暙I(xiàn)。

理查德·泰勒：代數(shù)數(shù)論

我們從理查德·泰勒開始。他的名字可能不太為人熟知，但如果說起費(fèi)馬大定理以及安德烈·懷爾斯，大部分人可能都略有耳聞。泰勒是懷爾斯的學(xué)生。在當(dāng)年懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的故事中有一個(gè)小插曲，懷爾斯最初發(fā)布的證明其實(shí)是不正確的，其中存在一個(gè)漏洞。大家一開始看不出來，但隨著數(shù)學(xué)界慢慢審視這項(xiàng)重要的工作，漏洞很快就被發(fā)現(xiàn)了。懷爾斯花了一年的時(shí)間找到了繞過漏洞的方法，而與他一起完成這項(xiàng)工作的，就是泰勒。

在代數(shù)數(shù)論中，j不變量是一個(gè)具有基礎(chǔ)地位的模形式。圖片來源：wikipedia

泰勒主要研究的領(lǐng)域是自守形式理論，這是代數(shù)數(shù)論——用代數(shù)結(jié)構(gòu)研究自然數(shù)的一門數(shù)學(xué)分支——的一個(gè)重要部分。要理解自守形式，最好先從模形式開始。模形式是一種特殊的復(fù)值函數(shù)，它定義在復(fù)平面的上半部分，滿足一定的增長條件，而最重要的是它有著高度的對稱性，在一個(gè)被稱為“模群”的特殊變換群的各種變換下仍然保持不變。這個(gè)群中的元素都是所謂的“默比烏斯變換”：

這里的a,b,c,d都是整數(shù)，也正因如此，模形式與數(shù)論天生就具有密不可分的關(guān)系。許多數(shù)論中的問題，甚至最耀眼的黎曼猜想，都能在模形式中找到聯(lián)系，特別是一類被稱為“橢圓曲線”的特殊曲線，與之關(guān)系更為密切，而這正是泰勒與他的合作者證明的谷山-韋伊猜想（現(xiàn)在又被稱為模性定理）的內(nèi)容。不僅是費(fèi)馬大定理，許多形式類似的方程解是否存在的問題，最終也能歸結(jié)到有關(guān)某類橢圓曲線與模形式之間的關(guān)系，經(jīng)過谷山-韋伊猜想指示的聯(lián)系，從而得到解決。（有關(guān)群論與模形式理論的另一個(gè)聯(lián)系，請參見科學(xué)松鼠會文章《有限單群：一段百年征程》）

除此之外，橢圓曲線除了是代數(shù)數(shù)論研究的軸心之一，也是計(jì)算數(shù)論中重要的研究對象，從而在實(shí)際生活中的應(yīng)用占據(jù)著一席之地，特別是與每個(gè)人密切相關(guān)的密碼學(xué)。與橢圓曲線有關(guān)的不對稱加密協(xié)議，已經(jīng)成為密碼學(xué)的重要分支之一。這類加密協(xié)議雖然速度較慢，但在相同的密鑰長度下，可以提供更可靠的保護(hù)。而這些加密協(xié)議的有效性以及具體應(yīng)用，反過來又與橢圓曲線的理論研究息息相關(guān)。有許多加密時(shí)使用的工具，比如說泰特配對，就來源于理論研究。另外，橢圓曲線本身就能用于整數(shù)的因子分解，這也是RSA密碼體系的命門。

至于泰勒研究的自守形式，則是模形式的一種推廣，而橢圓曲線的對應(yīng)推廣又被稱為超橢圓曲線。對于這些“升級版”的研究可以說根·本·?！げ弧は隆?。它們結(jié)構(gòu)之精致、地位之重要、內(nèi)涵之豐富，再加上應(yīng)用的潛力，實(shí)在使數(shù)學(xué)家們欲罷不能。

陶哲軒：解析數(shù)論、調(diào)和分析

對于陶哲軒，我們熟悉得多。他是華裔，也是神童，研究的領(lǐng)域之一——解析數(shù)論——也早已經(jīng)由陳景潤與哥德巴赫猜想而在中國家喻戶曉。

同樣研究自然數(shù)，陶哲軒的路子跟泰勒相去甚遠(yuǎn)。泰勒研究的代數(shù)數(shù)論，是嘗試通過代數(shù)結(jié)構(gòu)來理解自然數(shù)；而陶哲軒研究的解析數(shù)論，則是嘗試通過函數(shù)的解析性質(zhì)（例如有關(guān)上下界的估計(jì)）來進(jìn)行探索。

在解析數(shù)論中，能用到的工具很多。除了經(jīng)典的微積分（也就是高數(shù)中能學(xué)到的東西），還涉及更復(fù)雜的調(diào)和分析、代數(shù)數(shù)論以及組合中的一些工具。解析數(shù)論中的兩大方法，篩法與圓法，前者可以看成組合學(xué)中容斥原理的巧妙應(yīng)用，后者則是復(fù)分析與調(diào)和分析的集大成者。

解析數(shù)論中的圓法。圖片來源：wikipedia

陶哲軒在解析數(shù)論領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)之一，就是引入了新的工具與技巧。他與本·格林證明了，存在任意長（而不是無限長）的等差數(shù)列，其中的每一項(xiàng)都是素?cái)?shù)。在這個(gè)證明之中，他們用圓法拓展了組合中一個(gè)由斯?jié)擅防椎习l(fā)現(xiàn)的深刻定理，利用了有關(guān)加性組合的新思想解決解析數(shù)論的問題。這也使人們更多關(guān)于有關(guān)加性組合的研究。（解析數(shù)論相關(guān)知識請參閱科學(xué)松鼠會的《素?cái)?shù)并不孤獨(dú)》以及果殼網(wǎng)的【果殼網(wǎng)專訪】哈洛德·賀歐夫各特：徹底證明弱哥德巴赫猜想）

除此之外，陶哲軒在調(diào)和分析、偏微分方程方面也有重要的貢獻(xiàn)，這兩個(gè)領(lǐng)域?qū)?shí)際應(yīng)用的影響更大。在工程中經(jīng)常使用的小波分析，其實(shí)就是調(diào)和分析的一種應(yīng)用。而陶哲軒對調(diào)和分析的研究，也直接催生了一門新的技術(shù)——壓縮感知。

壓縮感知，其實(shí)就是如果我們知道信號的某些特殊性質(zhì)，那么即使只進(jìn)行少量的測量，在合適的情況下仍然能大體還原整個(gè)信號。在工程學(xué)中，我們經(jīng)常需要測量某些信號，比如在攝影中，測量就是照相，而信號就是要成像的物體。利用這種方法，已經(jīng)有人制作了只需單個(gè)像素感光元件的照相機(jī)，效果還不錯(cuò)，而需要記錄的數(shù)據(jù)量則大大降低。這項(xiàng)技術(shù)在醫(yī)療診斷、人臉識別等廣泛的領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。

陶哲軒在組合學(xué)方面的工作，除了與解析數(shù)論有關(guān)的加性組合以外，還有代數(shù)組合。他與艾倫·克努森（Allen Knutson）發(fā)現(xiàn)的蜂窩模型給出了李特爾伍德-理查森系數(shù)的又一個(gè)組合解釋，這些系數(shù)與一般線性群的表示論以及格拉斯曼簇的上同調(diào)有關(guān)，他也借此解決了代數(shù)組合中的一些猜想。

更廣闊的數(shù)學(xué)

還有剩下三位的工作又是什么呢？

剩下的這三位，我僅僅知道他們研究的領(lǐng)域都與“代數(shù)幾何”這一數(shù)學(xué)分支有關(guān)。雖然代數(shù)和幾何大家都很熟悉，但“代數(shù)幾何”作為一個(gè)整體，聽說過的人可說是寥寥無幾。代數(shù)幾何奠基于希爾伯特的零點(diǎn)定理，之后經(jīng)過格羅滕迪克之手一發(fā)不可收拾，目前已經(jīng)發(fā)展數(shù)學(xué)中一門非常重要而又高度抽象的分支，與數(shù)學(xué)的其他分支有著各種各樣深刻的聯(lián)系。我雖然也有做代數(shù)幾何的朋友，但是聊天的時(shí)候從來沒有聽懂過他的工作。

代數(shù)幾何，陶里亞蒂曲面是一個(gè)五階代數(shù)曲面，圖為其中的一個(gè)實(shí)軌跡。圖片來源：wikipedia

所以說到他們具體的研究內(nèi)容，很遺憾，我也不清楚。

先不要急著用皮鞋追打我，也不要揭穿我各種打小廣告的行為，我這樣捉急，也是有原因的：

1、數(shù)學(xué)的專門性

數(shù)學(xué)的跨度實(shí)在太廣了，而每個(gè)領(lǐng)域都太深奧了，現(xiàn)在，即使窮盡一個(gè)人的一生，也難以涉獵數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，而這些專家的所有工作橫跨各種各樣的領(lǐng)域，要一一詳細(xì)解釋更是難上加難。即使是數(shù)學(xué)系學(xué)生，對于很多沒有鉆研過的領(lǐng)域的理解，也只是“聽說過大概是那么一回事”的程度而已。實(shí)際上，現(xiàn)在整個(gè)科學(xué)體系經(jīng)過數(shù)百年的不斷積累，已經(jīng)發(fā)展為一個(gè)龐大的整體。

在牛頓的時(shí)代，一人可以跨越數(shù)個(gè)不同的學(xué)科同時(shí)有所建樹；

在居里夫人的時(shí)代，一人最多只能在一個(gè)學(xué)科的許多領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)；

在現(xiàn)代，一人最多只能在一個(gè)學(xué)科的幾個(gè)領(lǐng)域得到重大的成果，而絕大部分的研究者熟悉的僅僅是他們主攻的一兩個(gè)領(lǐng)域。

學(xué)科的細(xì)分前所未有，這也是一種必然，科學(xué)體系經(jīng)過一代又一代研究者成年累月的積累，遲早會突破個(gè)人能掌握的極限，即使是天才。專業(yè)化、細(xì)分化，這是唯一的出路。而數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域之廣闊，研究對象之豐富，研究方法之多樣，更是其他學(xué)科中少見的。這也造成了數(shù)學(xué)分支之間前所未有的隔膜。

2、數(shù)學(xué)的抽象性

除了專門化之外，數(shù)學(xué)還有一個(gè)其他學(xué)科少有的特點(diǎn)：高度的抽象化。

在歐拉的時(shí)代，數(shù)學(xué)表現(xiàn)成那種人人熟悉的數(shù)學(xué)式子；

在希爾伯特的時(shí)代，數(shù)學(xué)家們已不滿足于這種略顯簡單的抽象，決意利用更為抽象的語言將數(shù)學(xué)精確化，于是誕生了公理集合論；

在代數(shù)拓?fù)渑c代數(shù)幾何興起的時(shí)代，隨著代數(shù)拓?fù)渑c代數(shù)幾何的發(fā)展，公理集合論已經(jīng)略顯繁瑣，數(shù)學(xué)家們引入更抽象的范疇，推廣出高階范疇（即使是無比復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，也被抽象為點(diǎn)與箭頭、箭頭之間的箭頭、箭頭之間的箭頭之間的箭頭，層次永無止盡）；

到了現(xiàn)在，興起了對一種名為“拓?fù)渌埂钡奶厥舛指鼮槌橄蟮姆懂?，某些?shù)學(xué)家甚至希望用它來代替公理集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)的這種高度的抽象性決定了它很難被普通大眾所理解，有時(shí)甚至包括領(lǐng)域不相同的其他數(shù)學(xué)家們。

研究量子群論的數(shù)學(xué)家，絲毫不會擔(dān)心公理集合論中不可達(dá)基數(shù)的存在性會不會影響他的研究；埋頭苦干納維-斯托克斯偏微分方程的研究生，多半也永遠(yuǎn)不會用到范疇論中有關(guān)自伴逆變算子的結(jié)論；即使是代數(shù)幾何的大拿，如果被問起隨機(jī)冪律圖的直徑分布，大概也只能搖搖頭。

正因如此，數(shù)學(xué)中跨領(lǐng)域的合作彌足珍貴，一個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具如果能用在另一個(gè)領(lǐng)域中，常常也會帶來意想不到的驚喜。

3、數(shù)學(xué)的傳播困難

由于數(shù)學(xué)的專門性和抽象性，向一般大眾傳播有關(guān)數(shù)學(xué)的新知，常見的結(jié)局無非兩種：傳達(dá)的信息正確無誤，但讀者只能不明覺厲；傳達(dá)的信息過度簡化甚至歪曲，讀者讀得高興，自以為理解，實(shí)際上卻是謬種流傳。而在科技日新月異的今天，即使是身邊的技術(shù)，其中的包含的數(shù)學(xué)也早已非一般人能夠掌握。

對于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)研究而言，高中數(shù)學(xué)不過是玩具，而大學(xué)中傳說掛了無數(shù)人的高數(shù)，也只不過是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。但對于絕大多數(shù)人來說，高數(shù)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他們所需要掌握的數(shù)學(xué)。在保持正確性的前提下，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)研究即使經(jīng)過高度簡化也難以為大眾所理解，這也是非常正常的事情。如何逾越這個(gè)障壁，將數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的作用以及研究數(shù)學(xué)的樂趣向大眾傳達(dá)，走出新的道路，這是一個(gè)難題，也是一個(gè)必須思考的問題。

互聯(lián)網(wǎng)新貴們設(shè)立這個(gè)數(shù)學(xué)巨獎來獎勵數(shù)學(xué)家，也是這種數(shù)學(xué)傳播的一種嘗試。他們希望能將公眾的注意力吸引到數(shù)學(xué)研究上，讓更多的人關(guān)注數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，從而間接地鼓勵未來的數(shù)學(xué)研究，還有未來的科技發(fā)展。(編輯：Jerrusalem）

文章題圖：bugman123.com