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“First  “First  直角坐標(biāo)平面內(nèi)的新定義問題 
解法分析：本題是新定義和平面直角坐標(biāo)系背景下與圖形的旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)相關(guān)的問題。 本題的題干很長，但是要能夠理解題目背景中的新定義，即所謂“旋似”就是將線段OA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到一射線，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的OB和OA的比值確定點(diǎn)B的位置。所謂的“旋似比k”就是旋轉(zhuǎn)后的線段OB和OA的比值。 由于點(diǎn)B始終落在與OA垂直且在第二象限的直線上，通過過點(diǎn)A作AE⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，因此始終有△AOE和△BOF相似，通過相似三角形對應(yīng)線段成比例，可以用含k的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)。
本題的第(2)問涉及相似三角形的存在性問題，解決的關(guān)鍵是先尋找等角(∠AOB=∠BFO=90°)，再利用夾邊成比例求出k的值。
本題的第(3)問涉及到了等角問題，由∠BDO=∠OAE，需要過點(diǎn)B作y軸垂線，構(gòu)造含∠BDO的直角三角形，從而使得該三角形與△OAE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。需要注意的是，點(diǎn)D可能在點(diǎn)B上方也可能在點(diǎn)B下方，不能漏解了。
 “Second 點(diǎn)在線段或其延長線上的分類討論問題 
解法分析：本題是梯形背景下與證明角相等、求線段長度和三角形面積相關(guān)的幾何壓軸題。 本題的第(1)問提示了“點(diǎn)P在邊AB”上，因此對于第(2)問應(yīng)當(dāng)涉及分類討論，即點(diǎn)P在線段AB延長線上的情況。 第(1)問的第①題根據(jù)已知條件中的等積式，利用直角三角形相似的判定可得Rt△ADP和Rt△BCP相似，從而得到∠ADP=∠DCP。
第(1)問的第②題涉及到了求下底BC的長度。根據(jù)梯形ABCD是直角梯形，因此聯(lián)想過點(diǎn)D作BC的垂線交CP于M，CB于Q，從而根據(jù)角的轉(zhuǎn)化，可得M為邊CP的中點(diǎn)，從而利用MQ-BP-A型圖求得BC的長度。
第(2)問得解題關(guān)鍵①在于如何表示△DCP的面積。由于△DCP為直角三角形，因此容易聯(lián)系用DP·CD來表示面積，但是DP和CD的長度表示只能借助勾股定理，并且AP、BP、AB間的數(shù)量關(guān)系正是所求，因此用該方法解決并不明智。 由第(1)問中Rt△ADP和Rt△BCP相似，可得DP為∠APC的平分線，因此通過過點(diǎn)D作CP的垂線DF，由角平分線的性質(zhì)定理可得DF=DA=4，繼而求得CP的長度為10，從而求得BP=6。 接著利用已知中的等積式和勾股定理，即可求出AP的長度?；蛘呃孟嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方求出AP的長度。 第(2)問得解題關(guān)鍵②在于不能遺留了對點(diǎn)P位置的分類討論。盡管點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，但是問題解決的策略還是完全一致的。
解法分析：本題是平行四邊形背景下與證明線段間的比例關(guān)系、求線段長度和等腰三角形的存在性問題的幾何壓軸題。 本題的第(1)問提示了“點(diǎn)E在邊AB”上，因此對于第(2)問應(yīng)當(dāng)涉及分類討論，即點(diǎn)P在線段BA延長線上的情況。由于平行四邊形的不穩(wěn)定性，第(1)問中是∠A為銳角的情況，則第(2)問中是∠A為鈍角的情況才能滿足AD=DE。 第(1)問的第①題根據(jù)已知條件以及平行四邊形的性質(zhì)，通過計算角的和差關(guān)系，可得△CDF和△BCE相似，從而得到求證中的等積式。 對于等積式的證明，往往可以勾勒出相關(guān)的線段，判斷該線段是否位于兩相似三角形中，通過證明三角形相似從而得到線段間的比例關(guān)系。
第(1)問的第②題涉及到了求CF的長度。利用△CDF和△BCE相似，可得：CF:BE=CD:CE，因此求出了線段CE的長度即可求出CF的長度。由于已知了△ADE為等腰三角形，同時確定了DE和CD的長度，因此可以過點(diǎn)D和E作兩條高，借助勾股定理和等腰三角形的三線合一求出CE的長度。
第(2)問得解題關(guān)鍵在于等腰三角形存在性的分類討論問題。這里既要討論等腰三角形的存在性情況，也要討論點(diǎn)E的位置，涉及到了兩類分類討論。 當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，此時由于∠CFD為鈍角，因此有且僅有CF=DF，而△CDF和△BCE相似，可得△CBE為等腰三角形，即CB=BE=3，利用②題中的方法，如法炮制，即可求得CE的長度。
當(dāng)點(diǎn)E在線段AB延長線上時，此時∠A為鈍角，∠CFD為銳角，有且僅有CF=CD。點(diǎn)F的位置顯得比較特殊，點(diǎn)F恰好在CE和AD的交點(diǎn)上：
若要求的線段CE的長度，實際上就是求得線段BE的長度，即求線段AE的長度，這里提供兩種解題策略： 策略1：利用三角形相似和AE-CD-X型圖建立數(shù)量關(guān)系
策略2：利用做高法和勾股定理求得線段長度
Minimalist style 結(jié)語 “First 對于相似三角形背景下的壓軸題問題，要善于發(fā)現(xiàn)圖形中線段和角之間的數(shù)量關(guān)系，借助“基本圖形分析法”，發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的基本圖形；借助常見的基本問題的解決策略，如相似/等腰/直角三角形的存在性問題解決策略代入具體問題進(jìn)行應(yīng)用，從而將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的簡單問題。 對于壓軸題，一定要“消滅”畏難情緒，定好做題時間，自己分析，然后再看解析，明晰自己卡殼的位置，再進(jìn)行嘗試，再做，這樣才能提高解決問題、分析問題的能力。同時要善于分析、總結(jié)常見的基本圖形和基本方法，這樣才能破解復(fù)雜的壓軸題。 |
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