專題——三角形中的常用輔助線

紫曦唯冪1 2012-09-20

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專題——三角形中的常用輔助線

課程解讀

一、學習目標：

歸納、掌握三角形中的常見輔助線

二、重點、難點：

1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。

2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。

三、考點分析：

全等三角形是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，是今后學習其他知識的基礎。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應的公理進行分析，先推導出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了。

典型例題

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

全等三角形輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；

（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構(gòu)造全等三角形；

②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；

③引平行線構(gòu)造全等三角形；

④作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領域的聯(lián)系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學思想，它是解決問題的關(guān)鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。

又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。

∵AC平分∠BAD，

∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，

∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，

∴∠B=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B+∠ADC=180°。

解題后的思考：

①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯(lián)想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。

求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，

　　則∠EGB=∠ACB，

　　又AB=AC，∴∠B=∠ACB，

　　∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

　　∴EB=EG=CF，

　　∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，

∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，

∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，

又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO，

又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

∴△ADO≌△AQO，

∴OD=OQ，AD=AQ，

又∵OD∥BP，

∴∠PBO=∠DOB，

又∵∠PBO=∠DBO，

∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，

又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=OB，

∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：

（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。

（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。

2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），

∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，

∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

小結(jié)：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

預習導學

下一講我們就要進入八下的學習了，八下的第一章是分式。

請同學們預習課本，并思考以下問題。

1、分式的概念是什么？

2、分式的乘除法的運算法則是什么？

同步練習

（答題時間：90分鐘）

這幾道題一定要認真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！

1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求證：∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD。

求證：∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。

試題答案

1、分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補短法”來實現(xiàn)。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，

∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造。

證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，

∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。

∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2

∴△AFD≌△ACD（SAS），

∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。

又∵∠ACB＝2∠B，

∴∠FDB＝∠B，

∴FD=FB。

∵AB=AF+FB=AC+FD，

∴AB=AC+CD。

4、證明：（方法一）

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； ①

在△BDM中，MB+MD>BD； ②

在△CEN中，CN+NE>CE； ③

由①+②+③得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

（方法二：圖4-2）

延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF ①

GF+FC>GE+CE ②

DG+GE>DE ③

由①+②+③得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB+AC>2AD。

6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。

　　思路一、以三角形ADC為基礎三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中

　　方法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

　　通過證明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴ △ADC≌△HDB(SAS)

　　∴ AC=BH， ∠H=∠HAC

　　∵ EA=EF

　　∴ ∠HAE=∠AFE

　　又∵ ∠BFH=∠AFE

　　∴BH=BF

　　∴BF=AC

　　方法二：過B點作BH平行AC，與AD的延長線相交于點H，證明△ADC和△HDB全等即可。

　　小結(jié)：對于含有中點的問題，通過“倍長中線” 可以得到兩個全等三角形。而過一點作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三角形的作用。

　　思路二、以三角形BFD為基礎三角形。轉(zhuǎn)移線段BF，使AC、BF在兩個全等三角形中

　　方法三：延長FD至H，使得DH=FD，連接HC。證明△CDH和△BDF全等即可。

∴ △BFD≌△CHD(SAS)

∴ ∠H=∠BFH

∵ AE=FE

∴ ∠HAC=∠AFE

又∵ ∠AFE=∠BFH

∴ ∠H=∠HAC

∴ CH=CA

∴ BF=AC

方法四：過C點作CH平行BF，與AD的延長線相交于點H，證明△CDH和△BDF全等即可。專題——構(gòu)造全等三角形解題

【本講教育信息】

一、教學內(nèi)容：

專題——構(gòu)造全等三角形解題

1. 構(gòu)造全等三角形證明角相等及線段的垂直、相等及和差等關(guān)系．

2. 構(gòu)造全等三角形解決實際問題．

二、知識要點：

全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，在幾何證明題中有著極其廣泛的應用．然而在許多情況下，給定的題設條件及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們認真分析、仔細觀察，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素，通過添加適當?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形．借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就會迅速找到證題途徑，直觀易懂，簡捷明快．

三、考點分析：

三角形是最常見的幾何圖形之一，是后續(xù)知識的基礎，是歷年中考命題的熱點，三角形全等的條件是三角形的一大重點．中考考查仍然是要求能應用所學知識解決比較簡單的實際問題以及聯(lián)系比較緊密的知識考查雙基．從題型設計上看，由傳統(tǒng)的以填空題、選擇題為主轉(zhuǎn)向綜合應用和自主探究的閱讀、探索等新穎題型、答案不唯一，具有開放性和創(chuàng)新性．考查數(shù)學的分類思想、方程思想以及轉(zhuǎn)化思想．

【典型例題】

題型一：證明線段的垂直

例1. 如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，求證：BE⊥AC．