如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，AC=10，現(xiàn)將Rt△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△DBE使得DE正好經(jīng)過點(diǎn)A，連接CD，求CD長度；

題目并沒有什么難度，其實(shí)有些同學(xué)平時(shí)肯定見過這種題，不過剛好在競賽題中碰到了，就拿出來給同學(xué)們分享一下解析過程；

為什么要分享這道題，看完這道題的時(shí)候，老師有很多想法，所以為了將這些想法一一呈現(xiàn)給同學(xué)們，后面會根據(jù)題目進(jìn)行擴(kuò)展，估計(jì)這一次解題文章字?jǐn)?shù)可能會成為以往幾百篇中最長的一篇；

老師第一時(shí)間想到的有2種方法，我們接下來分別來試試；

解析：

首先由條件可知△ABC三邊長度，AC=10，AB=5，BC=5√3

方法一：過D向BC所在直線做垂線，強(qiáng)制構(gòu)造Rt三角形

如圖，只要知道DF和CF即可搞定CD

那么觀察DF和CF，DF在Rt△DBF中，而CF由BF和BC組成，

所以關(guān)鍵點(diǎn)為求出DF和BF長度

而我們只知道BD=AB=5，外加∠BDE=60°，所以△ABD為等邊

那么∠ABD=60°

所以∠DBF=30°

那么可得DF=5/2，BF=5(√3)/2

則CF=15(√3)/2

在Rt△DFC中，勾股定理解出CD=5√7；

方法二：通過連線使CD成為Rt三角形斜邊

連接CE

如圖，根據(jù)剛才的方法一可知∠ABD=60°，則∠EBC也為60°

所以△BCE為等邊

則∠BEC=60°，且CE=BC=5√3

所以∠DEC=90°

在Rt△DEC中，DE=AC=10，CE=5√3

勾股定理解決CD=5√7；

所以，題目整體不難，關(guān)鍵是題上給出了60°這個有利條件。

那么，如果我們將題目改一下，不給出角度，只給出△ABC的兩條邊，那么是不是還能這么解決呢？

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=30，AC=50，現(xiàn)將Rt△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△DBE使得DE正好經(jīng)過點(diǎn)A，連接CD，求CD長度；

現(xiàn)在沒有60°角了，只有AB=30，AC=50，那么可知BC=40

那么這種情況下，將CD放入Rt三角形中并求出兩條直角邊就沒有剛才那么容易了

首先∠ABD我們都不知道是多少度，可能有同學(xué)能想到利用方法一仍然可以解出來，只不過計(jì)算會多點(diǎn)，但是這里我們不采用方法一，仍然用方法二；

雖然我們不知道角的度數(shù)，但是我們知道△ABC三邊關(guān)系，三角函數(shù)總可以用吧，

那么我們還連接CE

如圖，那么在這種沒有角度的情況下要得到△DEC是直角三角形，就只能借助角之間的關(guān)系了

首先我們知道△ABD和△CBE都是等腰三角形

而且頂角∠ABD=∠CBE

所以可得∠CEB=∠BDA

因此仍然可得∠CEB+∠BED=90°

所以△CDE還是Rt三角形

但是CE長度現(xiàn)在不是一眼看出的了，需要通過計(jì)算得到

既然△BCE是等腰，那么就過B向CE做垂線吧

三線合一不用多說了吧，同時(shí)△BCF和△DBE相似吧，那么三角函數(shù)值通用，

可計(jì)算得出CF長度24，則CE=48

so，CD長度勾股定理可解；

那么我們總結(jié)一下，剛才是兩種不同的Rt三角形，連接CE后都能將CD放入直角三角形，如果是任意的Rt三角形這樣旋轉(zhuǎn)是不是都可以這樣構(gòu)造呢？

不管△ABC的兩個銳角如何，我們都知道旋轉(zhuǎn)后的△BAD和△CBE都是等腰，而且頂角相等，所以底角也相等，結(jié)合△ABD的底角與∠BED互余，可得△BCE的底角與∠BED也互余，因此△CDE是Rt三角形成立；

這算是我們通過這道題的學(xué)習(xí)，得到的意外收獲吧，所以記清楚了以后說不定就直接用上了。

最后再升級一下難度，如果這次不是Rt三角形，而是一個銳角△ABC，已知三邊長度，假如AB=7，AC=11，BC=13，仍然逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABC到△DBE的位置，使DE過A，求CD長度；

這樣一來，這題可就不簡單了，再去連接CE可就沒有Rt三角形了，所以我們只能借助方法一，過D向BC所在直線作垂線

同樣，我們需要搞定DF和BF，但是現(xiàn)在的Rt△DBF可僅知道BD長度為7，三角函數(shù)值一個也不知道，所以借助三角函數(shù)現(xiàn)在行不通了，除非你已經(jīng)學(xué)會了高中的正余弦定理；

那么我們就借助初中的知識來解決它，鑒于計(jì)算比較復(fù)雜，老師就不提供計(jì)算結(jié)果，只說明可以得到哪些線段數(shù)據(jù)，

那么，首先我們還是要借助△ABD和△BCE這等腰三角形，起碼咱們可以計(jì)算一下AD和CE長度吧

如圖，老師將三線合一也給大家做出來了

所以我們只要得到DM和CN，即可知道AD和CE長度，要求出它倆，這得借助三角函數(shù)值，根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，我們知道∠BCE=∠BDA，所以搞定它們的三角函數(shù)值即可，而這兩個角又等于∠ABC，所以我們需要借助已知條件來搞定∠ABC的三角函數(shù)值，那么我們過A向BC作垂線

如圖，我們可以根據(jù)△ABP和△APC都是直角三角形，分別用勾股定理表示AP建立方程，假設(shè)BP=x，則PC=13-x

那么兩個三角形中勾股定理分別表示AP后可解出x的值

有了BP的長度，則AP長度可知，那么∠ABP的正弦值和余弦值都可知，

則DM和CN可得，即AD和CE可得

這里可能有的同學(xué)會問：咱們要CE長度干嘛，好像和DF沒關(guān)系吧？

那么大家可以看一下DF，我們只知道BD長度，要同時(shí)求出DF和BF，還不知道角的三角函數(shù)值，肯定不能直接解決，那么這里就出現(xiàn)了比較難想到的知識點(diǎn)，怎么才能求出DF的長度？

勾股定理肯定是不現(xiàn)實(shí)的，所以我們只能從線段比例入手，觀察DF是個垂線，AP也是個垂線，咋這么巧合呢？

要是再來一條垂線，是不是就構(gòu)成三條平行線截取線段比例了？

所以我們過E向BC做垂線

如圖，現(xiàn)在我們需要求出EQ長度，明顯EQ是△BCE的高，所以根據(jù)剛才得到的CN，可得CE長度，同時(shí)還能算出BN，根據(jù)面積法可計(jì)算出EQ長度

那么線段比例呢？

根據(jù)剛才的AD長度，可得AE長度

所以根據(jù)DF//AP//EQ可得

AE：DE=AP：DF

解出DF

則BF可得

那么CF就OK了

Rt△DFC中，勾股定理解決CD即可；

計(jì)算上肯定比較復(fù)雜了，臨時(shí)想到的改編，沒有合適數(shù)據(jù)，所以不提供計(jì)算過程，同學(xué)們能掌握方法即可；