【原】旋轉(zhuǎn)相似型模型的應(yīng)用

妍小青 2023-08-24 發(fā)布于上海

展開全文

對于旋轉(zhuǎn)型相似(手拉手三角形)模型，有以下特點(diǎn)：

??1、兩個(gè)三角形相似；

2、這兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，且繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并縮放后2個(gè)三角形可以重合；

3、圖形是任意三角形(只要這兩個(gè)三角形是相似的)

本文適宜先閱讀完成“旋轉(zhuǎn)相似型模型”后再進(jìn)行后面的練習(xí)，尤其在學(xué)完相似三角形的判定定理后進(jìn)行練習(xí)，對于判定的理解和應(yīng)用起到加深的作用。

基本問題講解

解法分析：本題是典型的旋轉(zhuǎn)相似型模型。本題的第(1)問利用DE//BC，CD與BE的數(shù)量關(guān)系利用DE-BC-A型圖建立數(shù)量關(guān)系。本題的第(2)問中利用模型可知，△ACB和△ADE相似，因此對應(yīng)邊CD和BE的比為AC和AB的比；本題的第(3)問是第(2)問的一般情況，仍舊有△ACB和△ADE相似，對應(yīng)邊CD和BE的比為AC和AB的比，通過過點(diǎn)C作高，利用sinα建立數(shù)量關(guān)系。

變式問題強(qiáng)化

變式問題1

解法分析：本題是典型的旋轉(zhuǎn)相似型模型。和上述的基本問題解決策略相仿。本題的第(1)問根據(jù)模型，可以通過聯(lián)結(jié)BE構(gòu)造全等三角形，繼而將求AD的長轉(zhuǎn)化為求BE的長，同時(shí)發(fā)現(xiàn)△ABE為直角三角形，利用勾股定理求得BED的長度，繼而轉(zhuǎn)化。

本題的第(2)問由第(1)問構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化為相似三角形，輔助線仍舊是聯(lián)結(jié)BE。同(1)的思路，仍舊需要利用Rt△ABE，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為如何證明∠BAE=90°，還需要證明圖中另一組相似三角形進(jìn)行輔助。

變式問題2

解法分析：本題是典型的旋轉(zhuǎn)相似型模型。利用圖b探索線段OM和BD'之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。和前面兩個(gè)問題不同，圖中沒有現(xiàn)成的相似三角形和全等三角形，因此需要構(gòu)造。

猜想線段OM和BD'間的位置關(guān)系是垂直的，因此需要證明∠OBD'和∠AOM是相等的，因此需要構(gòu)造與△BOD'相似的三角形。由于M為AO中點(diǎn)，因此通過作AO的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，繼而構(gòu)造相似三角形，從而求得位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

綜合問題應(yīng)用

由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的特殊性，因此旋轉(zhuǎn)相似模型往往同“隱圓模型”相結(jié)合，即發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)的軌跡是“到定點(diǎn)的距離等于定長”，從而發(fā)現(xiàn)隱圓，解決問題

綜合問題1

解法分析：本題是典型的旋轉(zhuǎn)相似型模型。本題的第(1)和第(2)小問是基本問題的延續(xù)，此處不再贅述具體解法。

本題的第(3)問涉及到求線段的最值問題。根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可知線段EP1的長度范圍是由BP1和BE確定的，而BE是定值，因此最后的范圍取決于BP1即BP的大小。而點(diǎn)P在以B為圓心，BP為半徑的圓上，盡管這個(gè)圓是動圓，但是可以確定BP的最大值和最小值。當(dāng)BP⊥AC時(shí)，此時(shí)BP有最小值，即EP1取得最小值；當(dāng)BP與BC重合時(shí)，此時(shí)BP有最大值，即EP1取得最大值。

取得最值的圖示：

綜合問題2

解法分析：本題是典型的旋轉(zhuǎn)相似型模型。通過聯(lián)結(jié)EM、EN、CN構(gòu)造全等三角形，EN=CN，因此只需要求CN的最大值和最小值即可。同上題，CN的最值是由CD和DN確定的。而CD和DN的長度都是定值，點(diǎn)N在以點(diǎn)D為圓心，DN為半徑的圓上。當(dāng)C、D、N三點(diǎn)共線時(shí)，出現(xiàn)最大值和最小值。

點(diǎn)個(gè)在看你最好看