阿爾伯特·愛因斯坦在1915年提出了廣義相對論，該理論主要基于質量和能量使四維時空結構扭曲這一事實，從而徹底改變了引力的概念。

其潛在的幾何或數學公式要歸功于一位名叫喬治·弗里德里?！げ鞴隆だ杪臄祵W家，他構造了一類幾何（或橢圓幾何），與歐幾里得幾何（或平面幾何）不同，它用以處理高維和超曲面。

黎曼是德國數學家，在哥廷根大學學習和任職。在哥廷根，他遇到了一位偉大的老師，卡爾·弗里德里?！じ咚?。他還在柏林大學度過了一段時間，在那里他遇見了其他杰出的導師，包括雅可比、狄利克雷和愛森斯坦。他從愛森斯坦那里學習橢圓函數理論，而對他影響最大的是狄利克雷。

根據費力克斯·克萊茵的說法：

黎曼與狄利克雷的思維方式很像。狄利克雷喜歡對基本問題進行敏銳的邏輯分析，并盡可能避免冗長的計算。他的方式很適合黎曼，黎曼采納了他的方法，并采用狄利克雷的方法工作。

高斯開始思考歐幾里得幾何的有效性比黎曼早很多年。高斯與黎曼分享了他的好奇心，請他重新制定歐幾里得幾何的基礎，以一種可以將曲面納入通常三維之外的方式。

在那個時代，對第四維度的思考被認為是荒謬。約翰·沃利斯在他的《代數論》中把第四維度描述為“自然界中的怪物”。與此同時，波爾約和洛巴切夫斯基嘗試用雙曲幾何的形式推廣他們的非歐幾何，這為黎曼提供了靈感。

黎曼突破性的演講

為了贏得哥廷根大學的永久職位，黎曼必須寫一篇長篇論文，還要做一次演講。他花了兩年半的時間完成了關于函數的三角級數可表示性的論文。

1854年，他發(fā)表了題為“關于幾何基礎的假設”的演講，這次演講是如此非凡，以至于成為一種新的幾何，即黎曼幾何的基石。

在講座開始時，他重點定義n維空間、測地線、曲率張量等。在最后一部分，他試圖將他的幾何與現實世界聯系起來。聽眾中的許多科學家聽不懂這個講座，因為它太超前了，不是每個人都能理解和欣賞的。然而，只有高斯完全理解黎曼的幾何本質。

M. Monastyrsky在《黎曼，拓撲和物理》中的一段提到，

在黎曼的聽眾中，只有高斯能夠欣賞黎曼的思想。這個講座出乎他的意料，使他大為吃驚。回到教師會議上，他以極大的贊揚和罕見的熱情向威廉·韋伯講述了黎曼所提出的思想?！?/span>

加來道雄在他的《超空間》一書中寫道，

回想起來，毫無疑問，這是數學史上最重要的公開演講之一。黎曼徹底打破了統治數學兩千年的歐幾里得幾何的限制，這一消息很快傳遍了整個歐洲。他的講話被翻譯成幾種語言，在數學界引起了不小的轟動。

歐幾里得幾何與黎曼幾何之比較

歐幾里得幾何適用于平面空間，如點、線、平面等；黎曼幾何適用于曲面空間，如圓柱、球面、環(huán)面等。

• 歐幾里得的第五個公設——平行公設在橢圓幾何中是完全被否定的。因為它說的是“通過一點，而不是在給定的直線上，只有一條直線與給定的直線平行”。而在曲線幾何中，沒有平行線。

• 在平面空間中，三角形三個角的和總是等于180°，而在彎曲空間中，三角形的和不是大于就是小于180°，因為三角形的邊在球面上是向外彎曲的，在雙曲線上是向內彎曲的。

• 在平坦空間中，兩點之間的最短距離是一條直線，可以用距離公式計算，而在彎曲空間中，直線被稱為測地線，它表示局部距離最小化路徑。有時，兩點之間存在多個測地線。

高斯在他的曲面理論中描述了一個矢量在一維中有兩個分量，即大小和方向。黎曼將這一概念擴展到更高的維度，并證明了一個向量將擁有六個獨立的分量來描述三維空間中任何點的曲率。同樣，在四維空間中，有20個獨立的分量。

張量是向量的高維拓展。

黎曼幾何如何幫助愛因斯坦推廣他的引力理論？

當愛因斯坦提出狹義相對論時，他主要關注的是它的物理性質和解釋，而不是任何數學構造。他以前的老師赫爾曼·閔可夫斯基提出了狹義相對論的幾何學，并將空間和時間描述為一個單一的實體。

因此，對于他的一般理論，愛因斯坦沒有意識到控制大質量物體周圍引力場影響的數學規(guī)律。

最近，我一直在努力研究萬有引力問題。現在已經到了一個階段，我已經準備好了靜態(tài)數據。我對動態(tài)場一無所知，這必須遵循下一個.. ..每一步都極其困難。

他逐漸意識到，必須拋棄用單一標量場來描述引力，而需要一種新的幾何語言。為此，他向在蘇黎世理工學院工作的數學家朋友馬塞爾·格羅斯曼尋求幫助。他說：“格羅斯曼，你得幫幫我，否則我會發(fā)瘋的?！备窳_斯曼指示他去尋找黎曼提出的新型幾何。

黎曼新的數學框架對愛因斯坦來說是一個意外的幸運，因為它引導他得出這樣的結論：引力實際上是時空曲率的結果。時空曲率越大，它受到的引力就越大。

正如米斯納、索恩和惠勒所總結的，

物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何移動。

當愛因斯坦意識到黎曼幾何是廣義相對論的精確數學工具時，接下來的三年是他研究生涯中最艱苦的時期?！拔依蹓牧?。但成功是光榮的，”愛因斯坦在1915年說。

愛因斯坦對黎曼的貢獻贊不絕口，

物理學家仍然遠離這種思維方式：對他們來說，空間仍然是一個剛性的、同質的東西，不受任何變化或條件的影響。只有天才的黎曼，孤獨而不被理解，已經在上世紀中葉提出了一種新的空間概念，在這個概念中，空間被剝奪了它的剛性，它參與物理事件的力量被盡可能地認識到。

漢斯·弗羅伊登塔爾在傳記中寫道：

廣義相對論有力地證明了他的工作是正確的。在從黎曼的演講發(fā)展而來的數學中，愛因斯坦發(fā)現了符合他的物理思想、宇宙學和宇宙起源學的框架。而黎曼演講的精神正是物理學所需要的：由數據決定的度量結構。

黎曼在數論、分析、函數、曲面的拓撲性質等方面做出了有價值的貢獻。

1862年，他患上了嚴重的感冒，最終患上了肺結核。最后，他于1866年在意大利馬焦雷湖的塞拉斯卡去世，年僅39歲。

戴德金寫道：

他的體力迅速下降，他自己也覺得自己的末日快到了。但是，在他去世的前一天，他在一棵無花果樹下休息，他的靈魂充滿了對壯麗風景的喜悅，他仍然在做他最后的作品，不幸的是，他沒有完成。