?。ū緦ｎ}主要參考了陳省身著《九十初度說數(shù)學》上?？萍冀逃霭嫔?，2001）
　　教學目標與教學指導(dǎo)：
　　幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及、古印度和古巴比倫，其年代大約始于公元前3000年。因此，時至今日，幾何學的發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了大約5000多年了。這漫長的發(fā)展過程，可以劃分為哪幾個階段，各有何特點，是本專題所關(guān)注的主要內(nèi)容。希望學員通過對這些內(nèi)容的學習，更好地體會與理解數(shù)學發(fā)展的規(guī)律。

　　一、歐幾里得幾何
　　在專題二中我們介紹了歐幾里得在公元前300年左右寫了《幾何原本》。《幾何原本》匯集了大量前人積累的數(shù)學成果，是世間少有的鴻篇巨著，因此100多年前，人們也將幾何學稱為“歐幾里得幾何學”。它的主要結(jié)論有兩個:
　　(1)畢達哥拉斯定理 這條定理就是我們常說的勾股定理:設(shè)有一直角三角形，則長邊的平方等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那么兩個小正方形的面積和就等于大正方形的面積。
　　(2)三角形三內(nèi)角之和等于180° 如果以弧度為單位，也可以說三角形三內(nèi)角之和等于π。這本書受到重視，不單是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得從幾個很明顯的事實——公理——出發(fā)，用邏輯的方法推出幾何的結(jié)論。在他列出的公理中，較有爭議的是平行公理。平行公理原來是說:有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小于180°，那么這兩條直線在充分延長后，必相交于一點。另一個簡單的說法是:假使有一直線和線外一點，那么通過那個點就剛好只有一條直線和原來的直線平行，平行者就是這兩條直線不相交。
　　這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學家或是對數(shù)學有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。這種努力延續(xù)了幾百年，后來證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學的發(fā)現(xiàn)，這在人類思想史上是非常有意義的事實。這是西方數(shù)學和中國傳統(tǒng)數(shù)學不同的地方?！毒耪滤阈g(shù)》是中國古代最有名的數(shù)學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股。勾、股就是直角三角形中較短的兩條邊，一條叫做“勾”，另一條就叫做“股”，而最長的那條邊便稱為“弦”。剛才說過，勾股定理也就是畢達哥拉斯定理，所以它的發(fā)現(xiàn)，中國人也有份。但是在中國傳統(tǒng)的幾何學中，無法找到類似三角形三內(nèi)角和等于180°的推論，這是中國傳統(tǒng)數(shù)學中沒有的結(jié)果。因此，比較國外數(shù)學的經(jīng)驗和中國古代數(shù)學的書，可以看到中國古代數(shù)學都偏于應(yīng)用；講得過分一點，甚至可以說中國古代數(shù)學沒有純粹數(shù)學，都是應(yīng)用數(shù)學。這是中國古代科學的一個缺點，這個缺點到現(xiàn)在還存在。應(yīng)用當然很重要，但是許多科學領(lǐng)域的基本發(fā)現(xiàn)都在于基礎(chǔ)科學。比如，中國傳統(tǒng)數(shù)學沒有復(fù)數(shù)，傳統(tǒng)的中國數(shù)學家覺得√-1是沒有應(yīng)用的。其實√-1重要極了。如果沒有復(fù)數(shù)，就沒有電學，就沒有量子力學，就沒有近代文明。有時候講應(yīng)用，眼光要放長遠些。視線放得更遠一些，也許它的應(yīng)用會更大。

　　二、非歐幾何
　　從三角形三內(nèi)角之和等于180°這個結(jié)論，而有接下來的重要發(fā)展:
　　(1)球面幾何 我們所討論的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個非常重要的公式:
　　　　　A+B+C-π= S/R2
S 是該球面三角形的面積，R 是球的半徑，R2 則度量了球面的曲率，因此有“曲率”的觀念跑到這樣一個簡單的公式里。這在數(shù)學或物理學上是一個重要發(fā)展，因為在愛因斯坦的相對論中，曲率 1/R2 代表一個場的力。所以幾何度量和物理度量便完全一致了。
　　(2)雙曲型的非歐幾何 在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:
　　　　　A+B+C-π= -S/R2
此時 R 代表非歐幾何的一個絕對的度量，換句話說，在雙曲型非歐幾何的“平面”上，它的曲率是負的，即曲率為 -1/R2。
　　因此，在空間或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像雙曲幾何。而其相對應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于180°之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理，因此它們也被稱作“非歐幾何”。
　　非歐幾何的發(fā)現(xiàn)有三個人同時進行。他們是匈牙利數(shù)學家玻利亞、德國數(shù)學家高斯和俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基。但年輕的數(shù)學家玻利亞因為他的創(chuàng)見當時不被任何人理解，經(jīng)不起這樣的打擊，從此一蹶不振。而高斯屈從于教會的勢力，不敢勇敢地發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn)。只有富有創(chuàng)新精神的羅巴切夫斯基在1826年2月11日，在喀山大學數(shù)學物理系會議上，宣讀了他的開創(chuàng)性論文《平行線理論和幾何學原理概論及證明》，向世界公開了自己的新觀點，提出了羅巴切夫斯基公理，這一天公認為“非歐幾何”的誕生日。他公然向人類幾千年來確信不疑的歐氏幾何挑戰(zhàn)，在當時遭到了幾乎所有數(shù)學家的諷刺，甚至校長的職務(wù)也被撤除。但是科學界對待羅巴切夫斯基的不公正評價并未摧毀他對新幾何的信念，他不顧一切侮辱，堅持真理，他的理想終于得勝，被歷史承認。三人中只有他被公認為“非歐幾何之父”，這也是后人對他堅持真理的一種敬意。

　　三、坐標幾何
　　歐幾里得幾何之后，第二個重要的發(fā)展是坐標幾何。法國的哲學家、數(shù)學家笛卡兒在幾何學研究中引進了坐標的概念，因此可用解析的方法來處理幾何的問題。坐標就是說:假使在 X-Y 平面上有兩個軸，即 X 軸和 Y 軸，那么一個點的兩個坐標 x 和 y，就分別以兩個相對應(yīng)的度量來表示，因此有了解析幾何，即可用解析的方法進行幾何學的討論。例如:
點→(x,y)；
　　直線 →ax+by+c=0 ;
　　圓周 →(x-a) 2+(y-b) 2=r ，
　　于是幾何的問題便成為代數(shù)的問題。
　　這樣的發(fā)展不但使幾何問題的處理容易些，而且更有其重大的意義:
　　(1)解析化之后，可擴大所研究的圖形的范圍。除了直線的一次方程式，或圓周的二次方程式，還可以取任意的方程式 f(x,y)=0 , 討論坐標 (x,y) 適合這方程的所有點的軌跡，因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關(guān)的幾何性質(zhì)。
　　(2)研究的圖形不再局限在二維的平面上，而可推廣至高維空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，而需要取更多的坐標。例如，我們所在的空間是三維的，有 x,y,z 三個度量；假使要用幾何來表示物理的問題，那么三個度量之外，尚須加一個時間 t ，所以物理的空間就變成了四維空間；不但如此，假使有一點在三維空間運動，那么除了要用 (x,y,z)來表示點的位置外，還要用這三個坐標對時間的微商，即(dx/dt , dy/dt , dz/dt )，來表示它的速率。這樣就構(gòu)成了六維的空間。所以，種種情形都指示我們有必要考慮更高維的空間，來表示自然的現(xiàn)象。
　　解析幾何使幾何學研究的范圍大為拓廣，而科學的發(fā)展就是要擴大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何達到了這個目的，使幾何學邁入一個新的階段。

　　四、群的概念
　　第三個發(fā)展是群的概念，這是數(shù)學上一個基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學總是要運算，加、減、乘、除。研究幾何的話，把一個東西從這個位置移動到其他的位置，也是個運算，這樣的運算也稱為運動。它有一個特別的性質(zhì)，也就是說：要把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結(jié)果，可經(jīng)由一次運動來達成；具有這個特殊性質(zhì)的，便稱為一個群，幾何學研究的對象，應(yīng)是經(jīng)運動群變換后不變的幾何性質(zhì)。這個觀念立刻便有了重要的發(fā)展。
　　有時我們還想討論比運動群更大的群，看是不是有些性質(zhì)不但在運動群下不變，而且在更大的群之下也不變。歷史上最主要的例子是投影，設(shè)有兩條直線在空間相交，從一點出發(fā)對它們的投影被一新平面所截，則所得之兩直線仍舊相交，像這種“直線相交”的幾何性質(zhì)，經(jīng)過一種比運動還廣的投影之后，所得的圖形仍具有如此的幾何性質(zhì)，即在投影下不變。這也有許多應(yīng)用，如藝術(shù)家畫畫，講究透視，遠近合乎幾何的條件。
　　研究幾何性質(zhì)在投影群變換之下不變的是投影幾何。投影幾何的發(fā)展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐幾里得幾何討論經(jīng)運動后不變的幾何性質(zhì)，也可以在投影幾何中討論經(jīng)投影后仍是不變的性質(zhì)。有許多經(jīng)運動后不變的性質(zhì)，在投影變換后是變了的，像距離、角度，但還有些更重要的性質(zhì)在諸如投影群之類更大的群下是不變的。這些性質(zhì)能經(jīng)過投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。
　　在幾何學的發(fā)展之中，有許許多多不同的幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結(jié)起來，他就是德國的數(shù)學家克萊因。他22歲的時候（1872年）前往德國小城埃爾蘭根的一所大學任教，依據(jù)德國的習慣，新教授上任必須做一次公開講演，而他講演的內(nèi)容——“埃爾蘭根綱領(lǐng)”（其要點是已給一個集合 ∑ 和作用于 ∑ 的一個變換群 G，在 G 作用下的不變性質(zhì)和不變量稱為隸屬于 G 的幾何學），就是這個新幾何學?？巳R因把幾何學建立在群的觀念上:一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置；因此有了一個群之后，便有一種幾何，研究經(jīng)過這個變換群變換之后保持不變的所有圖形的幾何性質(zhì)。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群，因為群的選擇不同，也就得到許多種不同的幾何學，其中也包括非歐幾何學。按照克萊因的觀點，只要在空間中有一個所謂的二次超曲面，非歐幾何學便討論在所有的投影變換下，使這個二次超曲面不變的性質(zhì)。例如，在平面上有一個圓周，非歐幾何就是要討論在投影變換群下圓周仍不改變的性質(zhì)。所以非歐幾何就變成研究圓內(nèi)點所構(gòu)成的空間的性質(zhì)，也就是在雙曲平面上進行討論。因此，按照克萊因的觀點，非歐幾何學就變得極容易處理。

　　五、幾何局部化
　　黎曼所創(chuàng)立的幾何把幾何局部化，可以說是幾何學的第四個發(fā)展，這是笛卡爾坐標幾何的自然推廣。在笛卡爾坐標系中，如果我們?nèi)?m 維的空間，一個點就可以用 m 個坐標來表示，而此點到原點的距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，于是便把笛卡爾幾何局部化，因此黎曼幾何可以說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構(gòu)在弧長 s 上，弧長微分 ds 的平方等于坐標的一個二次微分式；既然有了ds ，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長，所以用弧長即可建立一種幾何學?！皽y地線”是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣，此外還可以有面積及其他種種概念。
　　黎曼幾何在二維的情形最初是高斯發(fā)展的。他在1827年寫了一本差不多50頁的小冊子，研究在二維即曲面的情形及在這樣的 ds2 下，所能夠發(fā)展的幾何性質(zhì)。他的目的是為了應(yīng)用，因為當時的德國政府要他主持一項測量工作，為了給這項測量工作一個理論基礎(chǔ)，高斯便寫下了這篇在微分幾何上最重要的論文，微分幾何自此誕生。以前把微積分用于幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應(yīng)用，在高斯這篇文章之后，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是從 ds2 得到一切的幾何性質(zhì)。
　　1854年，黎曼在為取得大學教授資格的公開演講上，發(fā)表了關(guān)于黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何并不像我們所談的歐兒里得幾何，或者克萊因的埃爾蘭根綱領(lǐng)幾何，或者投影幾何，這些幾何都需要整個的空間，而在黎曼幾何的情形下，我們只需要空間的一部分。因為只要 ds2 有意義，我們不需要知道全部的空間，便可度量弧長、面積、角度等幾何性質(zhì)，也就是說，在這樣的一個小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)。這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化。這和物理上的場論是完全符合的。
　　真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)。因此黎曼幾何就成為物理學家一定要學的一門數(shù)學。黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當復(fù)雜。在愛因斯坦廣義相對論的基本公式里，大致說起來，物理的力是一種曲率；數(shù)學家講曲率和物理學家講力其實是同一個概念。

　　六、幾何整體化
　　黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區(qū)域里面，所以局部化之后又要整體化，又要把它擴充到全空間。幾何整體化可說是幾何學的第五個發(fā)展。而在這個整體化的擴充中，最要緊的就是拓撲學，即俞大維先生說的“橡皮幾何學”。只要我們不把一個圖形扯破，那么就有些幾何性質(zhì)雖經(jīng)過放大、縮小……等很大的變換，也不會改變，例如虧格（研究電磁學的重要基礎(chǔ)）這個性質(zhì)。比方說，我們在一個二次的曲面上挖兩個洞，那么它的虧格就等于2，或者像美國的甜甜圈只有一個洞，虧格就是1，即虧格等于洞的個數(shù)。把曲面放大縮小之后虧格這個數(shù)目仍舊不變，這是拓撲不變式的一個例子，另外還有一個例子是關(guān)于結(jié)（研究 DNA 結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)），例如三維空間中一條封閉的曲線，沒有辦法把它解開成一圓周，即所謂結(jié)。
　　大家覺得微分幾何應(yīng)該是很有用的，因為在物理學發(fā)展之中，電磁學對人類日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結(jié)構(gòu)也是生物科學對人類生活最有影響的一門學問。而微分幾何就是研究這兩門學問的數(shù)學基礎(chǔ)。這讓我們聯(lián)想到一位有名的理論物理學家維格納所寫的一篇文章The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences，可譯作“為什么數(shù)學會有用？”。光玩玩虧格、結(jié)，竟也能找到有用的數(shù)學性質(zhì)，提供了很好的應(yīng)用，他覺得很不可思議。在這篇文章的開頭，他舉了一個更簡單的例子:有兩個中學同學，畢業(yè)后各奔前程，若干年后，兩人再度會面，甲問乙近幾年在研究什么?乙說他在研究人口問題，甲便欣賞了一下乙的論文，發(fā)現(xiàn)論文里頭總有個π。我們都知道π是圓周率，怎么會和人口問題發(fā)生關(guān)系?這也是一個最粗淺的例子，告訴我們:基本的發(fā)現(xiàn)，有時候不一定要求立刻就有應(yīng)用，很可能結(jié)果會有更大的應(yīng)用。
　　談到微分幾何，人們經(jīng)常會想到陳省身先生，會提到楊振寧先生贈陳省身先生的一首詩:
　　天衣豈無縫，匠心剪接成。
　　渾然歸一體。廣邃妙絕倫。
　　造化愛幾何，四力纖維能。
　　千古寸心事，歐高黎嘉陳。
　　詩中的“四力”指引力、電磁力、弱力和強力。這四種力的能都是規(guī)范場，規(guī)范場論的數(shù)學基礎(chǔ)則是纖維叢的聯(lián)絡(luò)。楊先生將陳省身和歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當并稱。陳省身和匈牙利數(shù)學家埃爾德什共同獲得了1984年度的沃爾夫獎，獲獎證書上寫道:“此獎授予陳省身，因為他在整體微分幾何上的卓越成就，其影響遍及整個數(shù)學”。這也是我們中華民族的驕傲。

　　討論與思考：
　　1、中國古代數(shù)學的主要缺陷是什么？
　　2、埃爾蘭根綱領(lǐng)的要點是什么？
　　3、幾何學的發(fā)展大致經(jīng)歷了哪幾個階段？