這些由非常簡單的方程定義的曲線籠罩在神秘和優(yōu)雅之中。事實上，描述它們的方程非常簡單，即使是高中生也能理解。然而，盡管世界上一些最偉大的數(shù)學家做出了不懈的努力，仍有大量關(guān)于它們的簡單問題尚未解決。但這還不是全部。正如你很快就會看到的，這個理論連接了數(shù)學的各個重要領(lǐng)域，因為橢圓曲線不僅僅是平面曲線。一個古老的問題在數(shù)學中，一些幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，反之亦然。例如，看一下幾千年前的一個經(jīng)典問題，正整數(shù)n是否等于某個邊長是有理數(shù)的直角三角形的面積。在這種情況下，n被稱為同余數(shù)。例如，6是一個同余數(shù)，因為它是邊長為3，4和5的直角三角形的面積。1640年，費馬證明了1不是全等數(shù)。自從費馬的證明之后，證明某個數(shù)是（或不是）同余數(shù)的研究就一直在進行。令人驚奇的是，我們可以用初等方法證明對于每一組有理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有反過來，對于每個有理數(shù)對(x, y)使得y^2= x^3- (n^2)x且y≠0，我們可以找到三個有理數(shù)a, b, c使得a^2+ b^2= c^2和1/2 ab = n。也就是說，當y≠0時，面積為n的直角三角形恰好對應方程y^2= x^3- (n^2)x的有理解，反之亦然。數(shù)學家會說這兩個集合之間存在雙射。因此，當且僅當方程y^2= x^3- (n^2)x有一個有理解(x, y)且y≠0時，n＞0是同余數(shù)。例如，由于1不是同余數(shù)，y^2= x^2- x的唯一有理解是y = 0。如果我們在邊長為3，4，5，面積為6的三角形上嘗試這種對應關(guān)系，那么對應的解是(x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個人從數(shù)論和幾何的問題開始，通過代數(shù)，把它轉(zhuǎn)化成一個關(guān)于平面曲線上有理點的問題！橢圓曲線一般來說，如果f(x)表示具有非零判別式的三次多項式（即所有的根都是不同的），那么y^2= f(x)描述的是一條橢圓曲線，除了“無窮遠點”（即橢圓曲線上點在加法運算下構(gòu)成的群中的單位元）。現(xiàn)在，通過一個小小的代數(shù)技巧，我們可以對坐標進行適當?shù)模ㄓ欣恚└淖?，并得到一條形式為的新曲線，使得兩條曲線上的有理數(shù)點一一對應。從現(xiàn)在開始，當我們說“橢圓曲線”時，指的是y^2= x^3+ ax + b形式的曲線以及無窮遠處的一點??。此外，我們假定系數(shù)a和b是有理數(shù)。然而，如果我們把x和y看作復變量，曲線看起來就完全不同了。它們看起來像是甜甜圈。那么我們?yōu)槭裁匆芯繖E圓曲線，我們可以用它們做什么呢？ 首先，許多數(shù)論問題可以轉(zhuǎn)化為丟番圖方程的問題，其次，橢圓曲線與被稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關(guān)，并與一些非常重要的被稱為模形式的對象密切相關(guān)，這些對象是一些極其對稱的復函數(shù)，其中包含大量的數(shù)論信息。實際上，橢圓曲線和模形式之間的聯(lián)系是證明費馬大定理的關(guān)鍵，安德魯·懷爾斯在20世紀90年代通過幾年的努力實現(xiàn)了建立了這種聯(lián)系，從而證明了費馬大定理。在密碼學中，橢圓曲線也被用于加密信息和在線交易。然而，它們最重要的特征是一個令人興奮的事實，即它們不僅僅是曲線和幾何。事實上，它們有一個代數(shù)結(jié)構(gòu)叫做阿貝爾群結(jié)構(gòu)，這是一種幾何運算（規(guī)則），用來把曲線上的點相加。對于阿貝爾群，你可以把它想象成一組對象，對它們進行運算，使得它們具有與整數(shù)在加法方面相同的結(jié)構(gòu)（除了它們可以是有限的）。橢圓曲線的神奇之處在于，我們可以在橢圓曲線上的有理數(shù)點（也就是說，x和y坐標都是有理數(shù)）之間定義一個運算（稱它為“⊕”），這樣曲線上這些點的集合就變成了一個關(guān)于運算“⊕”和單位元素??（無窮遠處的點）的阿貝爾群。讓我們定義這個運算。如果你在曲線上取兩個有理點（例如P和Q），并考慮一條經(jīng)過它們的直線，那么這條直線與曲線相交于另一個有理點（可能是無窮遠處的點）。我們稱這個點為-R。現(xiàn)在，因為曲線是關(guān)于x軸對稱的，我們得到另一個有理點R。這個反射點（上圖中的R）是前面提到的兩個點（P和Q）的相加。我們可以寫成可以證明，這個運算是滿足結(jié)合律，這真的很令人驚訝。此外，無窮遠處的點作為這個運算的（唯一）恒等式，每個點都有一個逆點。巨大的謎團事實證明，兩條不同的橢圓曲線可以有截然不同的群。一個重要的不變量，在某種意義上是最具定義性的特征，就是所謂的曲線（或群）的秩。一條曲線上可以有有限個有理點，也可以有無限個有理點。我們感興趣的是，需要多少點才能根據(jù)前面提到的加法規(guī)則生成所有其他的點。這些生成器被稱為基點。秩是一種維數(shù)度量，就像向量空間的維數(shù)一樣，表示有多少獨立的基點（在曲線上）具有無限階。如果曲線上只包含有限數(shù)量的有理點，那么秩為零。仍然有一個群，但它是有限的。計算橢圓曲線的秩是出了名的困難，但莫德爾告訴我們橢圓曲線的秩總是有限的。也就是說，我們只需要有限數(shù)量的基點就可以生成曲線上的所有有理點。數(shù)論中最重要和最有趣的問題之一被稱為波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于橢圓曲線的秩。事實上，它是如此的困難和重要，以至于它成了千禧年難題之一。在具有有理數(shù)系數(shù)的橢圓曲線上尋找有理點是困難的。一種方法是通過對曲線p進行模數(shù)化簡，其中p是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們不考慮方程y^2= x^3+ ax + b的有理解集，而是考慮同余的有理解集，為了使它有意義，我們可能必須通過在兩邊乘以整數(shù)來消去分母。所以我們考慮的是兩個數(shù)，當除以p時余數(shù)相同，在這個新空間中相等。這樣做的好處是，現(xiàn)在只有有限數(shù)量的東西需要檢查。讓我們用N_p表示對p取模的簡化曲線的有理解的個數(shù)。在20世紀60年代早期，戴爾在劍橋大學計算機實驗室使用EDSAC-2計算機來計算在已知秩的橢圓曲線上取p模的點數(shù)。他和數(shù)學家布萊恩·約翰·伯奇一起研究了橢圓曲線，并在計算機處理了一堆下面形式的橢圓曲線之后對于x的增長，他們從與曲線E相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。我應該注意到x軸是log log x，y軸是log y。在這個圖上，回歸線的斜率似乎是1。曲線E的秩是1，當他們嘗試不同秩的曲線時，每次都發(fā)現(xiàn)了相同的模式。擬合的回歸線的斜率似乎總是等于曲線的秩。這里C是某個常數(shù)。這種計算機運算加上極大的遠見，使他們對曲線的哈塞-韋爾L-函數(shù)L(E，s)在s = 1時的行為做出了一般性猜想。這個L函數(shù)定義如下。讓令曲線的判別式記為Δ。然后我們可以定義與E相關(guān)的L函數(shù)為以下的歐拉積我們把它看做復變量s的函數(shù)。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設(shè)E為?上的任意橢圓曲線。曲線E的有理點的阿貝爾群E(?)的秩等于s = 1時L(E, s)的零點的階。 之所以說它很有遠見是因為，在當時，他們甚至不知道是否所有這樣的L函數(shù)都存在所謂的解析延拓。問題是，上面定義的L(E, s)僅當Re(s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在s = 1處求值，這在2001年首次被證明，通過安德魯·懷爾斯證明的與模形式的密切聯(lián)系。有時這個猜想是用L函數(shù)的泰勒展開來表示的，但它是用不同的方式來表達同樣的事情。有理數(shù)的領(lǐng)域可以被更一般的領(lǐng)域所取代。橢圓曲線的是一場數(shù)論、抽象代數(shù)和幾何之間的美麗舞蹈。關(guān)于它們，除了我在這里描述的，還有很多可說的，我希望你能感受到或看到一些令人震驚的東西。
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