4.虧格與有理點(diǎn)

19世紀(jì)代數(shù)曲線的幾何理論，也就是黎曼面的理論發(fā)展起來(lái)了，繼承這一發(fā)展，在20世紀(jì)將其應(yīng)用于數(shù)論成為了潮流。有理系數(shù)方程  的有理數(shù)解  稱為由  定義的代數(shù)曲線  的「有理點(diǎn)」（rational point）。例如，「費(fèi)馬大定理」 （Fermat's last theorem）可以這樣表述為關(guān)于代數(shù)曲線的有理點(diǎn)的定理：由方程  定義的代數(shù)曲線的有理點(diǎn)，當(dāng)  為奇數(shù)時(shí)僅有  兩個(gè)，當(dāng)  為偶數(shù)時(shí)僅有  四個(gè)。

代數(shù)曲線  作為黎曼面的形狀是幾何性質(zhì)，而  的有理數(shù)解是數(shù)論性質(zhì)，幾何性質(zhì)統(tǒng)制著數(shù)論性質(zhì)，這么說(shuō)的話可能有點(diǎn)不可思議。事情是這樣的，在有些情形使用幾何性質(zhì)可以有系統(tǒng)地構(gòu)造出有理點(diǎn)，否則就能證明有理點(diǎn)很少。費(fèi)馬大定理的證明方法也要區(qū)分兩種情形， 的情形只用虧格  的代數(shù)曲線就可以證明， 的情形就對(duì)應(yīng)于虧格大于等于  的代數(shù)曲線。

從虧格  的情形開(kāi)始。虧格  的代數(shù)曲線就是由二次方程

（ 是非零有理數(shù)）定義的「二次曲線」（conic curve）。這條曲線  上有一個(gè)有理點(diǎn)  的話，那么其余的有理點(diǎn)全部可以作為過(guò)點(diǎn)  且斜率為有理數(shù)的直線與  的交點(diǎn)以幾何的方式求出來(lái)。

例如，假設(shè)  由  所定義，過(guò)點(diǎn)  且斜率為  的直線與  交點(diǎn)的坐標(biāo)是  （參見(jiàn)圖3）。這樣一來(lái)就得到了  與「射影直線」（projective line) 的同構(gòu)。置  為既約分?jǐn)?shù)  并消去分母，就可以解出如下問(wèn)題。

圖3 二次曲線  的有理點(diǎn)

?

問(wèn)題3 假設(shè)  為方程  的整數(shù)解，且  的最大公約數(shù)為 。

1. 證明  與  中有一個(gè)為偶數(shù)。
2. 假設(shè)  為偶數(shù)，證明存在互素的整數(shù)  使得 。

?

在存在有理點(diǎn)的情形，如上所示可以得到與射影直線  的同構(gòu)；有理點(diǎn)的有無(wú)也可以比較簡(jiǎn)單地判定出來(lái)。例如設(shè)  為素?cái)?shù)，那么  上有無(wú)有理點(diǎn)，用  被  除的余數(shù)就能判定出來(lái)?？芍?nbsp; 除以  余  或  時(shí)有有理點(diǎn)，余  或  時(shí)無(wú)有理點(diǎn)。證明無(wú)解不那么難，不過(guò)證明有解就沒(méi)那么簡(jiǎn)單了。

一般地，我們知道如下事項(xiàng)。有理數(shù)域  是實(shí)數(shù)域  的子域，也可以認(rèn)為是隨著每個(gè)素?cái)?shù)  確定的 「 進(jìn)域」(p-adic field）的子域。如果曲線有有理點(diǎn)，那么因?yàn)橛欣頂?shù)想成實(shí)數(shù)也可以，想成  進(jìn)數(shù)也可以，所以曲線也有坐標(biāo)為實(shí)數(shù)的點(diǎn)與坐標(biāo)為  進(jìn)數(shù)的點(diǎn)。反之，如果二次曲線  有坐標(biāo)為實(shí)數(shù)的點(diǎn)，并且對(duì)于所有素?cái)?shù)  都存在坐標(biāo)為  進(jìn)數(shù)的點(diǎn)，那么我們就知道  上存在有理點(diǎn)。

于是我們就說(shuō)，對(duì)于二次曲線的有理點(diǎn)成立「局部整體原理」 （local-global principle) 。一元函數(shù)域是代數(shù)曲線上的函數(shù)所成之域，類似地，把有理數(shù)域想成稱為  的幾何對(duì)象上的函數(shù)所成之域， 中的點(diǎn)就對(duì)應(yīng)于素?cái)?shù)。進(jìn)一步朝  上添加一個(gè)對(duì)應(yīng)于有理數(shù)域到實(shí)數(shù)域中嵌入的無(wú)限素點(diǎn)，就得到一個(gè)緊化的對(duì)象（圖4）。如果在這個(gè)對(duì)象的所有點(diǎn)處都有二次曲線  的點(diǎn)，那么  就有有理點(diǎn)。像這樣我們就可以認(rèn)為從局部性質(zhì)導(dǎo)出了整體性質(zhì)。

圖4  與無(wú)限素點(diǎn)

下面來(lái)談虧格為  的情形。在此情形，如果有一個(gè)有理點(diǎn)，那么取那個(gè)有理點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)  就可以選取恰好的坐標(biāo)系使得曲線成為由方程

（ 是無(wú)重根的有理系數(shù)三次式）定義的橢圓曲線。之前我們把  上的橢圓曲線想成是復(fù)平面對(duì)于格子  的商 ，那么就確定了其上的「加法群」（additive group）結(jié)構(gòu)，其實(shí)這個(gè)結(jié)構(gòu)可以代數(shù)式地定義。

圖5 橢圓曲線上的加法  

對(duì)于由(8)定義的橢圓曲線  上的三點(diǎn) ，規(guī)定當(dāng)  三點(diǎn)共線時(shí)有 ，就可以幾何式地定義  的有理點(diǎn)全體所成之集合  上的加法群結(jié)構(gòu)，在這個(gè)定義下無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)  就成為加法群的零元。圖5即表示這種加法。此時(shí)我們知道  是有限生成阿貝爾群。這個(gè)結(jié)果稱為「莫德?tīng)柖ɡ怼?/strong> （Mordell‘s theorem）

對(duì)于無(wú)有理點(diǎn)的虧格  曲線，還有未解決的大問(wèn)題。現(xiàn)在知道的是，關(guān)于虧格  情形有理點(diǎn)的有無(wú)，局部整體原理不成立。在多大程度上不成立就是個(gè)問(wèn)題，這是稱為「BSD猜想」（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) 的未解決問(wèn)題的一部分。因?yàn)樵敿?xì)解說(shuō)需要太多預(yù)備知識(shí)，所以我們?cè)谶@里就不作更多展開(kāi)了。

虧格大于等于  的情況與虧格為  或  的場(chǎng)合不同，沒(méi)有了逐次構(gòu)作有理點(diǎn)的幾何手段。于是在這種情形證明了有理點(diǎn)只有有限多個(gè)。這是稱為「莫德?tīng)柌孪搿?/strong> （Mordell's conjecture）的問(wèn)題，由法爾廷斯解決了。

5. 魏伊猜想

回到Zeta函數(shù)的話題。因?yàn)楣适聺u漸迫近核心部分了，所以會(huì)困難起來(lái)，要稍微用一些代數(shù)幾何的術(shù)語(yǔ)。設(shè)  為定義在有限域  上的射影「代數(shù)簇」（algebraic variety）。

不太熟悉這套話語(yǔ)的人暫且這么想就夠了： 是射影空間 內(nèi)由一組齊次多項(xiàng)式  定義的，對(duì)于自然數(shù) ，確定了有限集合

此處  的意義解說(shuō)如下：考慮從有限域  上的  維線性空間  中除去  所得的集合，以及定義在這個(gè)集合上的“生成同一個(gè)  維線性子空間”的等價(jià)關(guān)系，那么  就是這個(gè)集合對(duì)這一等價(jià)關(guān)系的商集。

雖然  的Zeta函數(shù)也可以像（3）那樣用歐拉乘積來(lái)定義，不過(guò)此處用有限集合  的元素個(gè)數(shù)  來(lái)敘述。形式冪級(jí)數(shù) 定義為

在這個(gè)式子中代入 ，Zeta函數(shù)  就用 來(lái)定義。

想要寫成歐拉乘積的話，像問(wèn)題1的解答那么做就可以了。像問(wèn)題1的解答那么做也可以明白，如果  是  上的有限生成環(huán)，那么只要在式(9)中把  置換成環(huán)同態(tài)  的個(gè)數(shù)，就得到了式(3)中定義的Zeta函數(shù)  。

?

問(wèn)題4證明射影空間  的Zeta函數(shù)為

?

對(duì)于由(4)式定義的環(huán) ，設(shè)由  的齊次化  定義的橢圓曲線為 ，那么其Zeta函數(shù)  可以用式（5）中的整數(shù)  表示成

魏伊證明了關(guān)于有限域上代數(shù)曲線的Zeta函數(shù)的黎曼猜想的類比命題，他猜測(cè)其高維推廣也是成立的。魏伊啟發(fā)道，如果對(duì)于有限域上的代數(shù)簇也有性質(zhì)良好的上同調(diào)理論的話，那么從中就可以導(dǎo)出這個(gè)猜想。為此格羅滕迪克構(gòu)造了「平展上同調(diào)」 （étale cohomology），并且用它證明了「魏伊猜想」 （Weil conjecture) 的相當(dāng)大一部分。

因?yàn)楦窳_滕迪克明白了能用于證明魏伊猜想的好的上同調(diào)理論中不可能以  為系數(shù)，所以他取一個(gè)不同于  的素?cái)?shù) ，構(gòu)作了以  進(jìn)域  為系數(shù)的 「 進(jìn)上同調(diào)」 （-adic cohomology)。這是有限維的  線性空間，設(shè)  為  的維數(shù) ，那么這些上同調(diào)對(duì)于  之外的  都是 。

把坐標(biāo)變成自己的  次冪的「弗羅貝尼烏斯算子」（Frobenius operator)  的特征多項(xiàng)式定義為

那么由「列夫謝茨跡公式」（Lefschetz trace formula) 就知道

進(jìn)一步假定  沒(méi)有「奇點(diǎn)」 （singular point），并且  是由整系數(shù)方程定義的射影非奇異簇  的「模  約化」（mod- reduction），那么在  的  進(jìn)上同調(diào)與復(fù)流形  的奇異上同調(diào)之間存在同構(gòu) ，稱為比較同構(gòu)。Zeta函數(shù)（5）的分子的次數(shù)與橢圓曲線的上同調(diào)的秩二者都是 ，其理由正在于這個(gè)同構(gòu)。

黎曼猜想的類比是，假設(shè)  沒(méi)有奇點(diǎn)，置 ，則  作為復(fù)數(shù)的絕對(duì)值是 。德利涅證明了這條命題，完成了整個(gè)魏伊猜想的證明。如果認(rèn)為要了解流形或簇的形狀只要知道上同調(diào)就夠了，那么從魏伊猜想及其由平展上同調(diào)而獲解決看來(lái)，數(shù)一數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)也就明白了簇的形狀。

6. 平展上同調(diào)

平展上同調(diào)的引入與魏伊猜想的解決為此后算術(shù)幾何學(xué)的發(fā)展開(kāi)辟了道路。在此就其數(shù)論方面與幾何方面各簡(jiǎn)單介紹一個(gè)正在研究中的話題。平展上同調(diào)在數(shù)論方面的重要應(yīng)用是構(gòu)造「伽羅瓦表示」 （Galois representation）。前一節(jié)中因?yàn)檎務(wù)摰氖俏阂敛孪耄园殉?shù)域設(shè)為有限域，而平展上同調(diào)對(duì)任意域上的代數(shù)簇都可以定義。

在有理數(shù)域的情形，因?yàn)榇嬖诒容^同構(gòu)，所以就線性空間來(lái)說(shuō)沒(méi)什么新穎的東西。

然而平展上同調(diào)可以代數(shù)式地定義，因此有「絕對(duì)伽羅瓦群」 （absolute Galois group)  自然地作用于其上。以此為研究對(duì)象，算術(shù)幾何學(xué)的新世界徐徐展開(kāi)。

有一個(gè)「模形式」 （modular form)

稱為「拉瑪努揚(yáng)Delta函數(shù)」（Ramanujan's delta function)。置 ，則此函數(shù)可以看作「上半平面」 （upper plane)  上的全純函數(shù)。 作為(6)式右邊的三次式的判別式 ，也與橢圓曲線聯(lián)系起來(lái)。所謂「拉瑪努揚(yáng)猜想」 （Ramanujan’s conjecture) 是說(shuō)，若  為素?cái)?shù)，則 。

佐藤幹夫考察了名為久賀佐藤簇的「模曲線」 （modular curve）上的萬(wàn)有橢圓曲線族的纖維積，德利涅使用其平展上同調(diào)構(gòu)作了與拉瑪努揚(yáng)Delta函數(shù)相伴的伽羅瓦表示，將拉瑪努揚(yáng)猜想歸結(jié)到魏伊猜想。于是在魏伊猜想得證的同時(shí)，拉瑪努揚(yáng)猜想也就證明了。

像這樣自守形式（模形式）與伽羅瓦表示之間的關(guān)聯(lián)稱為「朗蘭茲對(duì)應(yīng)」 （Langlands correspondence），作為「類域論」 （class field theory）的高維推廣，是當(dāng)今數(shù)論的中心研究課題。拉瑪努揚(yáng)猜想的解決是沿著從自守形式出發(fā)構(gòu)造伽羅瓦表示的方向，反之懷爾斯通過(guò)證明與伽羅瓦表示相聯(lián)系的自守形式的存在性而解決的問(wèn)題，就是費(fèi)馬大定理。

設(shè)  為大于  的素?cái)?shù)，假定方程  有非平凡整數(shù)解，用這個(gè)構(gòu)成橢圓曲線 ，研究從  出發(fā)構(gòu)造的伽羅瓦表示 ，從中導(dǎo)出矛盾，這就是證明的大致輪廓。這一證明的核心部分在于證明與伽羅瓦表示  相聯(lián)系的自守形式的存在性。

懷爾斯在費(fèi)馬大定理的證明中導(dǎo)入的手法在此后20年間得到了極大的擴(kuò)張，在那以前甚至被認(rèn)為是夢(mèng)想的伽羅瓦表示的自守性也不斷得到了證明。在此雖然不能詳細(xì)介紹，不過(guò)可以提一下，關(guān)于拉瑪努揚(yáng)Delta函數(shù)的「佐藤-泰特猜想」 （Sato-Tate conjecture) 也是用這種手法得證的定理之一。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)到幾何方面。平展上同調(diào)的理論不僅僅是對(duì)每個(gè)代數(shù)簇  定義其  進(jìn)上同調(diào) ，而且在每個(gè)代數(shù)簇上構(gòu)成  進(jìn)層的范疇及其「導(dǎo)出范疇」（derived category)，把它們通過(guò)順像、逆像等函子連接起來(lái)。格羅滕迪克因著加減乘除四則運(yùn)算，將這些函子稱為「六則運(yùn)算」 (six operations）。

與格羅滕迪克創(chuàng)立平展上同調(diào)大約同時(shí)，在京都由佐藤幹夫、柏原正樹等人創(chuàng)立了「 ?！?/strong> （-module)的理論。所謂 模，是用層的語(yǔ)言來(lái)記述復(fù)流形上的線性偏微分方程組。雖然其起源與平展上同調(diào)無(wú)關(guān)，但是完成后的理論非常相似，在此也出現(xiàn)了六則運(yùn)算。

德利涅研究了在  模理論與  進(jìn)層理論兩方面都出現(xiàn)了的「傅立葉變換」 (Fourier transform），特別留意了  模的「非正則奇點(diǎn)」（irregular singularity) 與  進(jìn)層的「非馴分歧」 （wild ramification) 的類似。兩個(gè)理論雖然有這樣的類似之處，可也有不同的地方。

在  模理論中所謂「微局部分析」 （microlocal analysis）的定義在「余切叢」 (cotangent bundle）上的「特征閉鏈」（characteristic cycle）是很重要的，可在  進(jìn)層理論中特征閉鏈剛剛才好不容易定義出來(lái)。在德利涅的研究、使用創(chuàng)自加藤和也的高維類域論的方法的先驅(qū)性研究等基礎(chǔ)之上，特征閉鏈的研究正開(kāi)始取得重大進(jìn)展。

術(shù)語(yǔ)集

復(fù)分析

• 正則函數(shù)，或稱全純函數(shù)：定義在復(fù)平面中的開(kāi)集上的復(fù)數(shù)值函數(shù) ，在其定義域的每個(gè)點(diǎn)處都可微分。
• 解析延拓：把定義在復(fù)平面的開(kāi)集  上的全純函數(shù)  的定義域擴(kuò)充到包含  的開(kāi)集上。
• 極點(diǎn)與零點(diǎn)：對(duì)于全純函數(shù) ，滿足  的點(diǎn)  是  的極點(diǎn)，滿足  的點(diǎn)  是  的零點(diǎn)。
• 黎曼面：把復(fù)平面的開(kāi)集通過(guò)全純函數(shù)粘合起來(lái)而得到的曲面。通過(guò)引入黎曼面，就可以從函數(shù)論中消去“多值”函數(shù)了。

代數(shù)學(xué)

• 域：非零環(huán)的交換環(huán)，除  以外的所有元素關(guān)于乘法都是可逆的。例如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域與有限域等。
• 有限次擴(kuò)張：把域  作為子域包含起來(lái)的域 ，如果看作  線性空間時(shí)是有限維的，那么就說(shuō)  是 的有限次擴(kuò)張。例如  是  的有限次擴(kuò)張。
• 主理想整環(huán)：所謂整環(huán)，就是可以成為域的子環(huán)的環(huán)。由一個(gè)元素生成的理想稱為主理想。如果一個(gè)整環(huán)中所有理想都是主理想，那么這個(gè)整環(huán)就稱為主理想整環(huán)，簡(jiǎn)寫為PID (principal ideal domain) 。例如整數(shù)環(huán)  以及域上的一元多項(xiàng)式環(huán)等等。
• 極大理想，素理想：如果交換環(huán)  的理想  使得商環(huán)  是域，那么  稱為  的極大理想。如果商環(huán)  是整環(huán)，就說(shuō)理想  是素理想。
• 素元分解：整環(huán)  的非零元  在  中生成的理想  如果是素理想，那么就稱  為  中的素元。如果整環(huán)  中所有非零元都可以分解為有限多個(gè)素元的乘積，那么就稱  為唯一析因整環(huán)，簡(jiǎn)寫為UFD (unique factorization domain），PID是UFD。
• 有限生成：如果用環(huán)  的有限個(gè)元素可以把環(huán)  的所有元素都表示為這有限個(gè)元素的整系數(shù)多項(xiàng)式，那么就說(shuō)環(huán)  在整數(shù)環(huán)  上是有限生成的。
• 秩：與  同構(gòu)的阿貝爾群的秩是 。
• 對(duì)偶： 模或者說(shuō)阿貝爾群  的對(duì)偶是  線性映射 的全體所成之集，其上有一個(gè)自然確定的加群結(jié)構(gòu)。
• 絕對(duì)伽羅瓦群：有理數(shù)域的絕對(duì)伽羅瓦群是全體代數(shù)數(shù)所成之域  的域自同構(gòu)的全體所成的緊群。

拓?fù)鋵W(xué)

• 奇異上同調(diào)：拓?fù)淇臻g通常的上同調(diào)。定義為從單形到拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射的復(fù)形的上同調(diào)群。
• 列夫謝茨跡公式：把流形到自身上的連續(xù)映射的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)通過(guò)在上同調(diào)上的作用的跡的交錯(cuò)和表示出來(lái)的公式。

代數(shù)幾何

• 代數(shù)曲線：由二元多項(xiàng)式定義的幾何對(duì)象。代數(shù)曲線及其有限覆蓋所成的范疇等價(jià)于一元代數(shù)函數(shù)域及其有限次擴(kuò)張所成范疇的對(duì)偶范疇。復(fù)數(shù)域上的代數(shù)曲線可以看作緊黎曼面。
• 橢圓曲線：帶有一個(gè)指定有理點(diǎn)的虧格  代數(shù)曲線。以指定的點(diǎn)為原點(diǎn)，可確定一加群結(jié)構(gòu)。復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線可以看作復(fù)平面對(duì)于其上格子的商。
• 奇點(diǎn)：設(shè)  維簇由方程組  定義，若偏微分組成的矩陣  在簇上的某點(diǎn)處的秩小于  ，則該點(diǎn)為簇的奇點(diǎn)。

【參考文獻(xiàn)】

1. 小木曾啟示《代數(shù)曲線論》朝倉(cāng)書店（2002 年）
2. 桂利行 《代數(shù)幾何入門》 共立出版（1998 年）

數(shù)論

•  進(jìn)域：有理數(shù)域在由素?cái)?shù)  確定的  進(jìn)拓?fù)湎碌耐陚浠玫挠?nbsp;。
• 模形式：定義在上半平面上的正則函數(shù)，滿足關(guān)于  或其子群作用的變換公式。

【參考文獻(xiàn)】

1. 加藤和也，黑川信重，齋藤毅 《數(shù)論 I ——費(fèi)馬之夢(mèng)與類域論》 巖波書店（2005年）
2. J.-P. 塞爾（彌永健一 譯）《數(shù)論講義》 巖波書店（2002 年）

參考書

• 巖澤健吉 《代數(shù)函數(shù)論》 巖波書店（1952年）
  作為代數(shù)曲線論的名著評(píng)價(jià)很高，不過(guò)可能會(huì)感覺(jué)稍微有點(diǎn)困難。
• J.-P. Serre, Zeta and L-functions, ?uvres Collected papers, Vol.11, Springer (1986), pp.249-259
  簡(jiǎn)潔地總結(jié)了概形的Zeta函數(shù)。
• 齋藤秀司，佐藤周友 《代數(shù)閉鏈與平展上同調(diào)》丸善出版（2012年）
  要用和書學(xué)習(xí)平展上同調(diào)的話就選這一本了。
• 加藤和也 《費(fèi)馬大定理?佐藤-泰特猜想解決之道（類域論與非交換類域論1）》巖波書店（2009年）
  從費(fèi)馬大定理得證的經(jīng)過(guò)與佐藤-泰特猜想的解決開(kāi)始直到其后的發(fā)展，以作者的獨(dú)特口吻娓娓道來(lái)。
• 齋藤毅 《費(fèi)馬猜想》巖波書店（2009 年）
  為了讀者正式學(xué)習(xí)費(fèi)馬大定理的證明與證明中用到的伽羅瓦表示等等而寫作了本書。
• 高木貞治 《近世數(shù)學(xué)史談》巖波文庫(kù)（1995 年），《復(fù)刻版近世數(shù)學(xué)史談? 數(shù)學(xué)雜談》共立出版（1996年）
  栩栩如生地描繪了黎曼之前活躍在算術(shù)幾何學(xué)中的人物。

問(wèn)題解答

（略）