導(dǎo)論

《數(shù)論》堪稱數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)，主要研究和探索“數(shù)字”的奧秘，人類歷史記載，系統(tǒng)的數(shù)論研究從公元前300年就已經(jīng)開(kāi)始，在這兩千年中有無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論研究的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，本文從中挑選幾位，讓我們膜拜一下他們的神奇。

歐幾里得（Eculid）

歐幾里得（公元前325-公元前265），古希臘杰出的數(shù)學(xué)家。歐幾里得是第一個(gè)系統(tǒng)、完整開(kāi)辟平面幾何學(xué)研究的偉大數(shù)學(xué)家，其著作《幾何原本》，成為平面幾何學(xué)的奠基，平面幾何因此也被稱為歐氏幾何。

除了在幾何學(xué)方面的研究，歐幾里得也是數(shù)論的先驅(qū)者，他在數(shù)論領(lǐng)域貢獻(xiàn)頗多。首先，他非常完整地證明了“有無(wú)限個(gè)素?cái)?shù)”，這也是數(shù)論史上第一個(gè)被嚴(yán)格證明的定理。其次，他憑借敏銳的直覺(jué)，發(fā)現(xiàn)了數(shù)論學(xué)的基礎(chǔ)定理——算術(shù)基本定理。算術(shù)基本定理是什么意思呢？解釋一下。

任何一個(gè)大于2的正整數(shù)都可以分解為有限個(gè)素因數(shù)的乘積，如不考慮因數(shù)相乘的順序，這種分解是唯一的。舉個(gè)例子，120=2*2*2*3*5，無(wú)論因子順序怎樣顛倒，永遠(yuǎn)是三個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)5相乘得到120，所以這種正整數(shù)的素?cái)?shù)分解方式是唯一的。歐幾里得意識(shí)到了這個(gè)定理的存在，但他沒(méi)能證明它，經(jīng)過(guò)了兩千多年，19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯才給出了嚴(yán)格的證明。

歐幾里得在數(shù)論領(lǐng)域還有一個(gè)非常大的貢獻(xiàn)，就是解決如何求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)問(wèn)題。他發(fā)現(xiàn)了“輾轉(zhuǎn)相除法”，將兩個(gè)正整數(shù)做k步輾轉(zhuǎn)相除后得到余數(shù)0，則最后一個(gè)非零余數(shù)就是兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法雖然很樸素，但其遞歸的思想，直到信息化高度發(fā)達(dá)的今天，其解體思路依然運(yùn)用在計(jì)算機(jī)遞歸算法中。

費(fèi)馬（Fermat）

費(fèi)馬（1607-1665），法國(guó)人，被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王，他的正式職業(yè)是律師。雖然數(shù)學(xué)是業(yè)余愛(ài)好，但讓后人銘記的不是他在法律方面的貢獻(xiàn)，而是費(fèi)馬做為近代數(shù)論的開(kāi)創(chuàng)者，微積分學(xué)研究的先驅(qū)。費(fèi)馬的研究奠定了概率論基礎(chǔ)，同時(shí)費(fèi)馬在天文、物理方面也貢獻(xiàn)巨大。

費(fèi)馬憑借其超人的直覺(jué)和敏銳的觀察力，提出了很多數(shù)論領(lǐng)域前所未有的命題。他首先提出了費(fèi)馬數(shù)，他提出任何一個(gè)自然數(shù)n，則

永遠(yuǎn)為素?cái)?shù)，雖然這個(gè)命題被證明是錯(cuò)誤的，前5個(gè)費(fèi)馬數(shù)是素?cái)?shù)，從第6個(gè)開(kāi)始費(fèi)馬數(shù)都是合數(shù)，但費(fèi)馬數(shù)依然有廣泛應(yīng)用，被用來(lái)證明很多數(shù)論命題。

費(fèi)馬小定理是數(shù)論學(xué)的四大基礎(chǔ)理論之一，對(duì)于一個(gè)素?cái)?shù)p，和任何整數(shù)a都滿足關(guān)系：a的p次方整除p的余數(shù)與a整除p的余數(shù)相等。比如你求50的7次方除以7的余數(shù)是多少？顯然這很難求出，但運(yùn)用費(fèi)馬小定理，可以非常容易算出來(lái)，答案為1。

費(fèi)馬在數(shù)論領(lǐng)域經(jīng)常被人們提起的是費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬曾經(jīng)在一筆書(shū)的邊角上寫下，我已經(jīng)找到了多元高次方程無(wú)整數(shù)解的巧妙證明，但是我寫不下了。這個(gè)方程就是：

就是因?yàn)檫@一段話，在此后的三百年中，世界上所有最具智慧的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紖⑴c了這個(gè)猜想的證明，但最終都以失敗而告終。每年都有很多人宣布自己證明了費(fèi)馬大定理，但是都逐一被宣布證明有誤。

懷爾斯

1993年英國(guó)牛津大學(xué)任教的一流數(shù)學(xué)家懷爾斯（Wiles）宣布證明了費(fèi)馬大定理，但不幸的是，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們的審核，找出了懷爾斯證明過(guò)程中的一處漏洞。又經(jīng)過(guò)2年的努力，1996年懷爾斯修補(bǔ)了證明過(guò)程，無(wú)懈可擊地完成了費(fèi)馬大定理的證明。

1998年，四年一度的數(shù)學(xué)家大會(huì)召開(kāi)，數(shù)學(xué)家們一致同意給懷爾斯頒發(fā)一個(gè)“菲爾茲特別獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)項(xiàng)，有數(shù)學(xué)界的“諾貝爾獎(jiǎng)”之稱，每4年頒發(fā)一次。但菲爾茲獎(jiǎng)只頒發(fā)給40歲以下的青年數(shù)學(xué)家，彼時(shí)懷爾斯已經(jīng)45歲，按照慣例他不能被授予菲爾茲獎(jiǎng)，但由于他證明了費(fèi)馬大定理，解決了這個(gè)300年的數(shù)論難題，評(píng)委們決定為他定制頒發(fā)一枚銀質(zhì)的“菲爾茲特別獎(jiǎng)”。這也是迄今為止菲爾茲獎(jiǎng)唯一的特別獎(jiǎng)。另外在1996年，懷爾斯也獲得了代表數(shù)學(xué)家終身成就的沃爾夫獎(jiǎng)。

歐拉（Euler）

歐拉（1707-1783），瑞士人，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，一生勤奮共寫出856篇論文和31篇專著，在數(shù)論、微積分、力學(xué)、天文方面都有卓越貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)中的很多符號(hào)都來(lái)自于歐拉，如π表示圓周率，∑表示求和，f(x)表示函數(shù)等。

歐拉在數(shù)論領(lǐng)域貢獻(xiàn)太多，以致于難以在這里一一羅列出來(lái)。他定義了歐拉函數(shù)，對(duì)于任何大于1的整數(shù)m，以?(m)表示與m互素的整數(shù)個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是可求出來(lái)的，而且

其中pi和αi分別對(duì)應(yīng)m素?cái)?shù)分解式中的素?cái)?shù)與其階數(shù)。

在求出歐拉函數(shù)值的基礎(chǔ)上，歐拉定理被證明：對(duì)于正整數(shù)m，任何與m互素的整數(shù)a，則整數(shù)a的?(m)次方除以m，余數(shù)為1。

歐拉在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)還有很多，他證明了費(fèi)馬斷言的很多命題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律等。由于連續(xù)計(jì)算彗星軌道，29歲時(shí)他右眼失明，59歲因過(guò)度勞累左眼也失明。在雙目失明以后，他仍以頑強(qiáng)的拼搏精神與罕見(jiàn)的心算能力發(fā)表了幾百篇論文，并發(fā)現(xiàn)了第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，歐拉是歷史上文獻(xiàn)最多的數(shù)學(xué)家，《歐拉全集》總共編寫了72卷才將他所有的著作收錄完成，人們將他位列人類歷史上四大數(shù)學(xué)家之一。

高斯（Gauss）

高斯（1777-1855），德國(guó)人，先講一個(gè)高斯的故事。

18歲時(shí)高斯在哥廷根大學(xué)讀大二，有一天數(shù)學(xué)老師（大數(shù)學(xué)家貝努力）在課堂上布置了三道作業(yè)題，下課后高斯快速做出了前兩道題，但是第三道題他卻想不出如何解決。這更加激起了他的解題欲望，高斯不停地思考，花了整整一夜的時(shí)間，終于將這道題做出來(lái)了。第二天他對(duì)老師說(shuō)，自己前兩道題很快做出來(lái)了，但是第三道題卻花了很久的時(shí)間才解出來(lái)，實(shí)在有些慚愧。貝努力說(shuō)他不信，因?yàn)樨惻Σ贾玫牡谌}是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得留下的一個(gè)千年難題：運(yùn)用尺規(guī)作圖畫(huà)出正17邊形，包括牛頓在內(nèi)的數(shù)學(xué)大神都無(wú)法解決，他怎么也不相信一個(gè)大二的學(xué)生能夠解決這個(gè)難題。高斯由此聲名大噪。

另外高斯預(yù)言非歐幾何一定會(huì)存在，后來(lái)俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅切巴夫斯基創(chuàng)立了羅氏幾何，證明了高斯的預(yù)言。高斯還總結(jié)了復(fù)數(shù)應(yīng)用，嚴(yán)格證明了n階代數(shù)方程必有n個(gè)實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)解，在數(shù)論領(lǐng)域，高斯將數(shù)論的研究水平推進(jìn)到了新的高度。

高斯第一次嚴(yán)格證明了歐幾里得時(shí)期就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)論學(xué)基礎(chǔ)——算術(shù)基本定理，高斯創(chuàng)造性地引進(jìn)了同余符號(hào)和同余式，使數(shù)論研究進(jìn)入到嶄新階段。

高斯證明了二次互反律，這是初等數(shù)論的核心定理，堪稱初等數(shù)論領(lǐng)域最璀璨的定理：

高斯在幾何、物理、天文學(xué)方面都有卓越貢獻(xiàn)，可謂是前無(wú)古人、后無(wú)來(lái)者的數(shù)學(xué)家，被稱之?dāng)?shù)學(xué)王子。

后人根據(jù)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，選出了數(shù)學(xué)史上的四大偉人：阿基米德、歐拉、牛頓、高斯。如果將本文提到的這些大數(shù)學(xué)家比喻為天上璀璨的明星，那高斯就是天上的明月，相信讀者們就可以理解高斯的成就了。

最后，再次向大神致敬。