新青年數(shù)學教師工作室成員論文推薦

本文發(fā)表在《數(shù)學通報》2016年第8期

閱讀提示：筆者在教學實踐中逐漸體悟到，研讀教材是提升數(shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng)的好辦法.章建躍先生指出，教師最基本且重要的職責是教好課本，而“教課本”的核心是“教概念”．因此，善于抓住蘊藏在教材中的核心概念和思想等遷移能力強的知識，是教師研讀教材的重中之重.本文以滬教版高中數(shù)學教材中“有向度量”概念的研讀為例，談?wù)勅绾瘟⒆憬滩睦斫飧拍?，提升?shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng)，促進教師自身的專業(yè)成長.

文/ 任念兵 汪健   （華東師范大學第二附屬中學  201203）

“理解數(shù)學、理解學生、理解教學”是教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學教學質(zhì)量的根本保證，其中“理解數(shù)學”是首要的，是實現(xiàn)數(shù)學育人的根基^[1].關(guān)于“理解數(shù)學”，筆者認為這既包括“深諳”數(shù)學學科的本體性知識，具有扎實的解題功底，對數(shù)學內(nèi)容所反映的理性精神有較深入的體會和理解；又包括清楚數(shù)學知識的來龍去脈，善于區(qū)分體現(xiàn)核心概念和思想方法的本原性問題與無關(guān)數(shù)學本質(zhì)的“細枝末節(jié)”的問題，具備將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為利于學生理解和消化的教育形態(tài)的能力和“技術(shù)”.

筆者在教學實踐中逐漸體悟到，研讀教材是提升數(shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng)的好辦法.章建躍先生指出，教師最基本且重要的職責是教好課本，而“教課本”的核心是“教概念”^[2]．因此，善于抓住蘊藏在教材中的核心概念和思想等遷移能力強的知識，是教師研讀教材的重中之重.本文以滬教版高中數(shù)學教材中“有向度量”概念的研讀為例，談?wù)勅绾瘟⒆憬滩睦斫飧拍?，提升?shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng)，促進教師自身的專業(yè)成長.

所謂“有向度量”是指帶有方向的度量，研究既有二值（正、負）有向性又有可加性的幾何量，包括一維空間的有向距離、二維空間的有向面積和三維空間的有向體積.各種有向度量的概念散見于滬教版高中數(shù)學教材中的三角、向量、解析幾何、立體幾何等主干內(nèi)容中.

    關(guān)于“有向距離”，滬教版教材在三角比、平面向量、直線的方程等內(nèi)容中都有所涉及.為了介紹三角函數(shù)線，教材中引入“有向線段”.

    關(guān)于“有向面積”，滬教版教材在矩陣與行列式中以例、習題^[4]的形式給出了三角形的有向面積.

    關(guān)于“有向體積”，教材中并沒有專門列出，可以類比上述行列式表示的“有向面積”得到四面體的有向體積.

   滬教版教材呈現(xiàn)“有向度量”的形式是多樣的：直接給出“有向線段”的概念，以公式形式呈現(xiàn)點到直線的“有向距離”、三角形的“有向面積”，以不言自明地內(nèi)蘊形式呈現(xiàn)“有向角”等等.梳理教材中與“有向度量”概念相關(guān)的具體內(nèi)容，是研讀教材把握概念的起點和依歸.善于整合散見于教材各章節(jié)中的相關(guān)概念內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)這些概念的共性——有向，是教師“理解數(shù)學”能力的重要體現(xiàn).

眾所周知，數(shù)學研究的首要步驟是表述研究對象，倘若站在高觀點上看初等數(shù)學問題，便能統(tǒng)一表述形式，明晰對象本質(zhì).此類例子在數(shù)學中俯仰皆拾，有向性也是其中之一.

有向角與有向面積、有向距離與有向體積之間的聯(lián)系從一個側(cè)面說明，教師要理解數(shù)學，就應(yīng)該努力研讀教材，揭示概念的內(nèi)涵，從更高的層面上解讀概念之間的聯(lián)系.唯有如此，對教學內(nèi)容的認識才能產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.

將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為利于學生理解和消化的教育形態(tài)，是教師“理解數(shù)學”的重要體現(xiàn).具有數(shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng)的教師，善于充分挖掘概念的教學價值，展示數(shù)學知識和方法的內(nèi)在魅力，打通核心概念和數(shù)學思想方法的“任督二脈”；善于揭示數(shù)學知識所蘊涵的科學研究方法和理性思維過程，整合學生已有的知識儲備，指導學生學會思考學會研究.

理解“有向度量”概念的本質(zhì)，有助于優(yōu)化數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)，尤其對于一些有關(guān)幾何度量的問題，可以開拓新的思路，幫助學生深入理解問題本質(zhì).

理解“有向度量”概念，還可以提出新問題、得到新結(jié)論，站在更高的觀點認識相應(yīng)的幾何問題的實質(zhì).比如，我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？利用點到直線的有向距離，可以將兩者統(tǒng)一起來.

綜上所述，通過研讀教材中蘊藏的核心概念來理解數(shù)學，首先需要梳理教材中相關(guān)概念的內(nèi)容，把概念背后的數(shù)學思想方法、思維策略方法顯性化、明朗化；其次是揭示概念內(nèi)涵，把握概念的要點和本質(zhì)，厘清相關(guān)概念之間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)；最后是充分挖掘概念的教學價值，把握概念的學科意義與方法.

數(shù)學教師的教學水平的高低，首當其沖地體現(xiàn)在對教學內(nèi)容的把握上.高水平的教師，在教教材顯性知識的同時，能挖掘出其背后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內(nèi)容.這些不易教到的隱性知識，就是數(shù)學的本質(zhì)^[6]，而這就要求教師深入研讀教材.教師只有在通透理解學科知識的基礎(chǔ)之上，才能頓悟貫穿其中的數(shù)學思想方法，繼而從整體上把握高中數(shù)學、優(yōu)化教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)，有效提升自身的數(shù)學和教學雙重專業(yè)素養(yǎng).只有立足教材理解數(shù)學，才能優(yōu)化教學促進教師自身的專業(yè)成長.