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韋伊 胡作玄 (中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所) 韋伊，A．(Weil,Andr )1906年5月6日生于法國巴黎．數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史． 韋伊出身于亞爾薩斯地區(qū)的猶太裔家庭，父親伯納德·韋伊(Bernard Weil)是醫(yī)生，母親塞爾馬(Selma)出身于有高度文化教養(yǎng)的家庭．他們有一子一女；韋伊和他的妹妹西蒙尼(Simo－ne)親情甚篤．母親負責他們的教育．韋伊5歲就已學(xué)會閱讀，在中學(xué)還學(xué)過拉丁語、希臘語和梵語．中學(xué)最后一年，在J．阿達瑪(Hadamard)的建議下，讀若爾當(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)，15歲上一年預(yù)科之后，韋伊考上著名的高等師范學(xué)校，這是個培養(yǎng)數(shù)學(xué)家的搖籃．在校三年間，他聽過許多大師如E．皮卡(Picard)及H．勒貝格(Lebesgue)等的課，參加過阿達瑪?shù)挠懻摪?，除此之外，他完全沉溺在圖書館中，鉆研經(jīng)典著作，例如G．F．B．黎曼(Riemann)的關(guān)于阿貝爾函數(shù)論的著名論文，他表示“不太難——每個字都充滿意義．”他不僅攻讀數(shù)學(xué)，博覽群書，還跟J．布洛赫(Bloch)學(xué)梵文．S．列維(L vi)勸他讀印度教經(jīng)典《摩阿婆羅多》中的《福者之歌》(Bhagavad Gifa)．由此，他深為印度文化所打動． 19歲大學(xué)畢業(yè)后，韋伊到意大利游學(xué)．在這里他結(jié)識意大利代數(shù)幾何學(xué)家F．恩里克斯(Enriques)、F．塞梵瑞(Severi)，以及來此訪問的S．萊夫謝茨(Lefschetz)和O．扎里斯基(Zari-ski)．他們都是20世紀前半期代數(shù)幾何學(xué)代表人物，對他們工作的熟悉及掌握對韋伊后來的工作至關(guān)重要．但他的方向更偏重數(shù)論，他曾研讀P．de費馬(Fermat)等人的經(jīng)典著作，對丟番圖方程最感興趣．這時他知道L．S．莫德爾(Mordell)的工作以及莫德爾猜想，并成了他第一個深入思考的問題．韋伊在羅馬還結(jié)識泛函分析的開創(chuàng)者V．沃爾泰拉(Volterra)一家，對于意大利的泛函分析也深有心得．作為一位文化人，他花費大量時間去熟悉古典及現(xiàn)代的意大利藝術(shù)及音樂，對此，他的藝術(shù)史的修養(yǎng)已經(jīng)早有準備． 這時洛克菲勒基金會開始一項國際資助計劃，在沃爾泰拉的幫助下，他得到資助并計劃去德國．他選擇去格丁根訪問R．庫朗(Courant)，因為庫朗是線性泛函分析的專家之一．他從巴黎出發(fā)繞道比利時、荷蘭，于1926年11月冬季學(xué)期開始時趕到格丁根．他從庫朗及其學(xué)生那里學(xué)到不多，聽過希爾伯特討論班但斷斷續(xù)續(xù)，而對當時方興未艾的量子力學(xué)可以說是無動于衷．只是從E．諾特(Noether)那里掌握了“近世代數(shù)”，特別是多項式理想理論，這對他后來奠定代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)是至關(guān)重要的． 圣誕節(jié)時，他到住在法蘭克福的姨家過節(jié)，順便結(jié)識法蘭克福大學(xué)的數(shù)學(xué)家，特別是M．德恩(Dehn)和C．L．西格爾(Sie－gel)．他們對數(shù)學(xué)史廣泛而深刻的知識給韋伊深刻的印象，他說：“德恩作為一位人本主義數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)看成人類精神史的一章，不倦地研究數(shù)學(xué)史．”實際上，這也是韋伊自己的寫照．他們對于“數(shù)學(xué)處于在無窮無盡的論文潮中淹死的危險”同樣表示耽心．1927年，他到柏林大學(xué)結(jié)識H．霍普夫(Hopf)，并學(xué)習拓撲學(xué)，同時熱切地聽著名古典學(xué)家V．威拉莫維茨(Wilamowitz)的演講．其間，他到瑞典斯德哥爾摩拜訪年邁的G．M．米塔格-萊夫勒(Mittag-Leffler)，對此他寫了一篇生動的回憶錄．回到格丁根后，他繼續(xù)以前的工作，試圖證明莫德爾猜想，但沒有成功，他只是證明對虧格≥2的代數(shù)曲線的有限基定理．他把這個結(jié)果告訴阿達瑪征求意見，阿達瑪認為他不該發(fā)表這種“半個結(jié)果”．但他最后還是把這個結(jié)果作為博士論文，請皮卡、勒貝格及R．加尼埃(Garnier)任論文審查委員會委員，這樣他22歲就獲得博士學(xué)位．實際上在此之前，他已發(fā)表四篇小論文． 1929年服一年兵役之后，他非常高興地接受印度阿里加爾(Aligarh)穆斯林大學(xué)數(shù)學(xué)教授的任命．1930—1932年他在印度生活了兩年多．他周游印度，見過甘地，十分欣賞他的非暴力的理想．同時他越發(fā)對梵語詩歌感到興趣． 1932年5月韋伊回到巴黎后，曾去英國會見莫德爾．夏天又去蘇黎世參加國際數(shù)學(xué)家大會，他認為是他所有參加過的大會中最好的．回國前又去漢堡和柏林，12月他在馬賽大學(xué)當了不到一年講師，終于在1933年11月到斯特拉斯堡大學(xué)任教．除了1937年在美國呆一學(xué)期外，他一直在此任教．先是講師，后任教授．這是他最快樂、最有創(chuàng)造力的歲月．他和幾位高等師范學(xué)校的畢業(yè)生保持經(jīng)常聯(lián)系，互相切磋，他最好的朋友是H．嘉當(Cartan)、J．德爾薩特(Delsarte)和C．薛華荔(Chevalley)，并且從1933—1934年度舉行討論班，每年不同主題，先是群及代數(shù)，后是希爾伯特空間及E．嘉當?shù)墓ぷ鳎?934年底，他和H．嘉當在考慮斯托克斯公式的教學(xué)問題，引起朋友們的聚會，后來發(fā)展成為定期聚會，這就是其后對數(shù)學(xué)有巨大影響的布爾巴基學(xué)派的開始．他參加了第二次世界大戰(zhàn)前該學(xué)派的四次大會． 1938—1939年歐洲局勢惡化，法國也開始備戰(zhàn)動員．他開始考慮離開法國，1939年夏他逃到芬蘭，11月底蘇聯(lián)轟炸赫爾辛基，他被當成蘇聯(lián)間諜被捕，幾乎被處決，由于芬蘭數(shù)學(xué)家的援助而得免，于12月初去瑞典．法國使館不讓他在瑞典停留，讓他經(jīng)由卑爾根然后取道倫敦經(jīng)南安普敦駛往勒阿弗爾，1940年初到法國后被關(guān)入盧昂監(jiān)獄．在歐洲戰(zhàn)火中，他卻在監(jiān)獄里安心進行研究，并在代數(shù)曲線的對應(yīng)方面取得了突破．5月他因逃避服兵役被軍事法庭判處5年徒刑，隨著德國的軍隊推進，他逃到英國，經(jīng)歷了德國空軍的狂轟濫炸．后回到法國，1941年初啟程赴美，5月3日到達美國．洛克菲勒基金會為他提供微薄的資助．1941—1942年在哈佛伏德學(xué)院任教一年后，1942—1944年在伯利恒一所工科院校講初等數(shù)學(xué)．1945—1947年他接受巴西圣保羅大學(xué)哲學(xué)系之聘，任教授．1947年M．斯通(Stone)主持芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，延聘許多大數(shù)學(xué)家，其中包括陳省身及韋伊，才使得這位已過不惑之年的第一流數(shù)學(xué)家的工作及生活開始安定下來． 第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束之后，他經(jīng)常返回歐洲，特別是巴黎，參加布爾巴基的活動．他仍然經(jīng)常旅行，1955年到日本，帶動日本的年輕一代數(shù)學(xué)家向代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何進軍．他再次去過印度，在塔塔(Tata)高等研究院講課．只是到1979年他才有機會到中國訪問． 他在芝加哥大學(xué)任教11年后，1958年被聘為普林斯頓高級研究院教授．1976年退休．在普林斯頓，他仍然講課，并同大學(xué)聯(lián)合舉辦討論班，主要題目是當前文獻(在芝加哥大學(xué)舉辦)．1970年以后，他的主要研究方向是數(shù)學(xué)史，其中數(shù)論史著作的出版為重要成果． 韋伊的數(shù)學(xué)成就使他在數(shù)學(xué)界享有盛譽，早在50年代，P．哈爾莫斯(Halmos)稱他是“當今最偉大的數(shù)學(xué)家”．但是，他只有到晚年才得到應(yīng)得的榮譽，1982年他被選為法國科學(xué)院院士，他還是美國國家科學(xué)院等機構(gòu)的國外院士．1979年他分享第二屆沃爾夫獎． 韋伊發(fā)表的數(shù)學(xué)論文約百篇，數(shù)學(xué)史論文有20—30篇，專著10余種． 1．數(shù)論 (1)丟番圖幾何 數(shù)論中最大一類問題是解丟番圖方程，而從幾何觀點看，則是求曲線、曲面或一般代數(shù)簇上整點(坐標為整數(shù)的點)及有理點問題．1922年莫德爾證明，橢圓曲線上有理點構(gòu)成阿貝爾群，且該群是有限生成的，即有理點集有有限基．1926年韋伊在其博士論文中，將結(jié)果推廣到所有虧格≥2的代數(shù)曲線上．韋伊的貢獻還在于，不僅研究有理數(shù)域上的代數(shù)曲線，而且對一般代數(shù)數(shù)域證明同樣結(jié)果．1929年韋伊用橢圓函數(shù)給莫德爾定理一個簡化證明．其后他進一步向莫德爾猜想進軍，取得若干成果．該猜想最終于1983年為G．法爾廷斯(Faltings)完全證明．為此，法爾廷斯榮獲1986年度菲爾茲(Fields)獎． (2)有限域上的丟番圖幾何 當基域Fq為有限(q=pd)時，存在相當?shù)膩G番圖問題，韋伊是這領(lǐng)域的集大成者，他的猜想直接推動整個領(lǐng)域的發(fā)展．這個領(lǐng)域開始于1921年E．阿廷(Artin)的博士論文，其中對有限域上代數(shù)曲線Г引入ζ函數(shù) a遍取相應(yīng)函數(shù)域K中的整除子，N(a)為a的范數(shù)，N(a)=qf，f為a的次數(shù)．令q-s=u，ζ函數(shù)可寫成Z(u)， 其中N表示在Fq中的解數(shù)． 1931年，F(xiàn)．K．施密特(Schmidt)證明 Z(u)=P2g(u)／(1-u)(1-qu)， 其中P2g為2g次多項式，即Z(u)是u的有理函數(shù)，他還發(fā)現(xiàn)由黎曼-洛赫(Roch)定理可推出Z(u)的函數(shù)方程 1933年H．哈塞(Hasse)猜想，如Z(u)的黎曼猜想成立，即 1934年哈塞對橢圓曲線(g=1)證明黎曼猜想與上述結(jié)果．1940年韋伊對任何虧格g≥2證明黎曼猜想及解數(shù)估計．1948年他在《論代數(shù)曲線及其導(dǎo)出的簇》(sur les courbes algebriques et lesvari t s quis'en d duisent)一書中全面闡述自己的理論．該理論不僅要求發(fā)展代數(shù)曲線的對應(yīng)理論，而且得出一系列最佳結(jié)果，如H．D．克魯斯特曼(Kloostermann)和的估計 1949年，韋伊把上述理論推廣到一般代數(shù)簇，定義代數(shù)簇的同余ζ函數(shù)Z(u，v)，提出三個猜想： ?、賈(u，v)是u的有理函數(shù)． ?、赯(u，v)滿足函數(shù)方程． ?、坳P(guān)于Z(u，v)的黎曼猜想． 以及阿貝爾簇證明上述猜想，并發(fā)展一系列工具，特別是萊夫謝茨不動點、韋伊上同調(diào)等理論，對猜想的最終解決至關(guān)重要．1973年，P．德林(Deligne)最終完成韋伊猜想的證明，并由此導(dǎo)出一系列重要結(jié)果．因此，德林榮獲1978年度菲爾茲獎． 在方法上，韋伊引進韋伊上同調(diào)，這種上同調(diào)使萊夫謝茨不動點公式成立．他對這種上同調(diào)進行系統(tǒng)研究，這是一種由K上代數(shù)簇到有限維分次反交換K代數(shù)的逆變函子，適合一系列條件．利用韋伊上同調(diào)，可由萊夫謝茨公式證明ζ函數(shù)及L函數(shù)的有理性，而且其余猜想均可由上同調(diào)來表述．韋伊上同調(diào)不僅包括一般上同調(diào)，也包括l-進上同調(diào)． (3)代數(shù)數(shù)論 韋伊在代數(shù)數(shù)論方面的工作集中表現(xiàn)在“論類域論”(Sur la th orie du corps/de classes)一文中．文中對任意局部域或整體域有限伽羅瓦擴張K／k從定義一個拓撲群GK，k，它反映了擴張K／k的深刻的性質(zhì)，他證明GK，k的存在性及唯一性，并由此得出類域論的基本定理．因此，GK，k被稱為韋伊群，它有一系列優(yōu)點，它不僅包括代數(shù)數(shù)域，還包括有限域上單變量代數(shù)函數(shù)域，這兩種整體域在韋伊的《基礎(chǔ)數(shù)論》(Basicnumber theory，1967)中稱為A域．此外還包括局部域，從而對局部域及整體域作出統(tǒng)一處理．另外還由阿貝爾擴張推廣到一般伽羅瓦擴張．韋伊對GK，k還引進相應(yīng)的L函數(shù)，它是阿廷L函數(shù)及E．?？?Hecke)的有量特征標的L函數(shù)的推廣．不僅如此，韋伊的工作直接為類域論的上同調(diào)表達鋪平道路．中山正在閱讀韋伊上文手稿后，同G．霍赫希爾德(Hochschild)一起于1952年發(fā)表“類域論中的上同調(diào)”(Cohomology in class ficldtheory)，為類域論的推廣奠定基礎(chǔ)． (4)阿代爾代數(shù)群與二次型理論 1936年到1940年，薛華荔為了把類域論算術(shù)化，引入了伊代爾的概念，用它可完全地表述類域論．1938年，韋伊獨立引入阿代爾的概念，但名稱20年后才用，而對任何域k，可定義其阿代爾環(huán)Ak．阿代爾環(huán)的所有乘法可逆元構(gòu)成該域的伊代爾群Ck．伊代爾群是局部緊阿貝爾群，因此其上有哈爾(Haar)測度及調(diào)和分析，由此可以得出類域論的表述，1960年，韋伊發(fā)表“阿代爾與代數(shù)群”(Adele and alge－braic groups)，把以前的研究系統(tǒng)化．特別對整體域上的二次型理論，推廣了C．L．西格爾(Siegel)等人的理論．韋伊引入所謂玉河(恒夫)測度及玉河數(shù)．玉河測度即整體域上連通線性 為玉河數(shù)有限這個定理．韋伊證明這個結(jié)果，并對各種特殊群計算玉河數(shù)．他猜想，所有連通單代數(shù)群，玉河數(shù)=1．韋伊對多數(shù)單群證明這個猜想．對代數(shù)數(shù)域上代數(shù)群，考特威茨(Kottwitz)于1988年證明韋伊猜想． (5)橢圓曲線復(fù)數(shù)乘法及其推廣 橢圓曲線上的數(shù)論是當前一大熱門，其中最重要的是韋伊猜想：所有橢圓曲線均為模曲線，即可用模函數(shù)參數(shù)化的曲線，也稱韋伊曲線．這猜想的威力可由它蘊涵費馬大定理看出．橢圓曲線另一重要猜想是И．P．沙法列維奇(Щафаревич)群Щ有限．韋伊在這方面有兩個貢獻，一是把玉河數(shù)與沙法列維奇群Щ聯(lián)系在一起，二是把沙法列維奇群推廣到阿貝爾簇上．韋伊證明阿貝爾簇A上主齊性空間的集合有群的結(jié)構(gòu)，該群稱為韋伊-沙特萊(Ch telet)群，記作WC(A，k)，這是韋伊在1955年引入的．他還對各種域定出WC(A，k)，并且通過WC(A，k)定義阿貝爾簇的沙法列維奇群，當阿貝爾簇為1維時，即是橢圓曲線．1988年已證明對有理數(shù)域的韋伊曲線，沙法列維奇猜想成立．另外，韋伊還建立了韋伊高度理論． 橢圓曲線的復(fù)數(shù)乘法理論首先由海克1911年推廣到二元模函數(shù)情形，但一直未受到重視，一直到1955年韋伊在日本京都會議上才首先推廣到阿貝爾簇的情形，同時日本數(shù)學(xué)家志村五郎及谷山豐，也獨立作了相應(yīng)推廣，并應(yīng)用于數(shù)論．對于CM域(即全實域的復(fù)二次擴域)可用CM(復(fù)數(shù)乘法)型的阿貝爾簇造出其阿貝爾擴張．這部分地解決了希爾伯特第12問題．更進一步推廣是志村五郎作出的(引入所謂志村簇)． (6)海克理論的發(fā)展 韋伊較后期工作主要是發(fā)展?？说睦碚摚?936年?？嗽诰哂泻瘮?shù)方程的狄利克雷級數(shù)與模函數(shù)之間建立了一 一對應(yīng)．1967年起，韋伊首先大大發(fā)展了海克理論，使任何模群的同余子群的模形式都對應(yīng)狄利克雷級數(shù)，反過來對于任何滿足函數(shù)方程的狄利克雷級數(shù)均可作出自守函數(shù)，該自守函數(shù)可以通過梅林(Mellin)變換由狄利克雷級數(shù)得出． 2．代數(shù)幾何學(xué) 韋伊是現(xiàn)代抽象代數(shù)幾何的奠基者． (1)阿貝爾簇理論 阿貝爾簇理論是阿貝爾函數(shù)論的推廣及抽象．韋伊的數(shù)論工作都是與阿貝爾簇相關(guān)．1948年韋伊在《阿貝爾簇和代數(shù)曲線》(Vari t ab liennes et courbes algebriques)中正式提出阿貝爾簇的理論．他的貢獻一是把定義域從復(fù)數(shù)域C推廣到任意代數(shù)閉域k，二是把原來的解析理論發(fā)展為代數(shù)理論．對阿貝爾簇他作了奠基性工作，證明一系列基本定理并應(yīng)用于數(shù)論．1952年構(gòu)造皮卡簇，1954年證明抽象阿貝爾簇的射影嵌入定理，其中證明重要定理：設(shè)X是阿貝爾簇A上正除子，則存在正整數(shù)n使nX的類為豐富的充分必要條件是X非退化．1955年引進極化及主極化的概念，它們是區(qū)分雅可比簇與一般阿貝爾簇的關(guān)鍵． (2)抽象代數(shù)幾何 韋伊完全從新的觀點定義代數(shù)簇．過去，代數(shù)簇是實數(shù)或復(fù)數(shù)域上代數(shù)方程組的零點集．韋伊一方面推廣到任意域，另一方面，用幾何的方法內(nèi)蘊地定義代數(shù)簇，而不依賴外圍的射影空間．他定義完全簇的概念，證明古典復(fù)射影空間中的代數(shù)簇均是完全的．他認識到查瑞斯基拓撲在定義抽象簇中的重要作用．為了在數(shù)論上的應(yīng)用，他還考慮不可分擴張的情形．他的《代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)》(Foundations of algebraic geometry，1946；第二版1962)完全避開了古典分析的語言及方法． 韋伊的抽象代數(shù)幾何建立了嚴格的“交截重數(shù)”理論及“循環(huán)理論”，為計數(shù)幾何奠定基礎(chǔ)． (3)經(jīng)典代數(shù)幾何及代數(shù)函數(shù)論 韋伊用近代方法對于代數(shù)幾何及代數(shù)函數(shù)論的基本定理進行證明，特別是θ函數(shù)的基本定理及托萊里(Torelli)定理，他還用代數(shù)方法定義函數(shù)域上的微分． 3．李群及其不連續(xù)子群 李群的不連續(xù)子群理論可追溯到J．L．拉格朗日(Lagra－nge)及C．F．高斯(Gauss)，到F．克萊因(Klein)的模函數(shù)論、H．龐加萊(Poincar)的自守函數(shù)論到達高潮．其后主要由西格爾及H．外爾(Weyl)的工作向高維推廣．韋伊在1958年離開芝加哥大學(xué)之前做最后講演，題為“典型群的不連續(xù)子群”(Discontinuous subgroups of classical groups)，提出統(tǒng)一構(gòu)造典型群的新方法，即通過具有對合б的有理數(shù)域上半單李代數(shù)A擴張成實數(shù)域上代數(shù)AR，即可得出AR中所有與б交換的自同構(gòu)群，其連通分量即典型群G．G作為矩陣群，其矩陣元為整數(shù)的構(gòu)成離散子群GZ．在AR引入另一正對合，可得出AR中正對稱元素集P(AR)，它是正定二次型集的推廣．他引入兩不連續(xù)群公度的概念，對典型群造出“西格爾域”，對于西格爾定理進行推廣． 李群的離散子群理論最重要的進展是1960年A．塞爾伯格(Selberg)的結(jié)果．他證明，當n＞2時，SL(n，R)的離散余緊群Г[即SL(n，R)／Г為緊]，沒有非平凡的變形[即所有變形均為SL(n，R)的內(nèi)自同構(gòu)]．幾乎同時，另外兩人對于其他情形證明剛性定理．韋伊的貢獻在于他大約同時把剛性定理推廣到所有半單李群，只要它不含3維單李群的因子．韋伊把剛性歸結(jié)為上同調(diào)群H＇(Г，g)=0，其中g(shù)為G的李代數(shù)，看成是在伴隨表示上的Г模． 4．拓撲學(xué)與拓撲群理論 1937年，韋伊在《論一致性結(jié)構(gòu)的空間及一般拓撲學(xué)》(Sur les espaces structure uniforme et sur la topologie g n rale)中引入一致性結(jié)構(gòu)與一致性空間，它們現(xiàn)在已成為經(jīng)典概念．在此之前，他證明緊空間具有唯一一致性結(jié)構(gòu)，從而可以在有測度群上定義局部緊拓撲．這樣，他通過一致性、完備化、完備空間，擺脫了過去度量空間的作用，從而給一般拓撲學(xué)建立新的基礎(chǔ)．特別對拓撲群，他引進拓撲群上的積分理論，對他后來一系列工作都有影響．1936年底，韋伊完成《拓撲群的積分及其應(yīng)用》(文獻)一書，但直到1940年才出版．由于群及齊性空間上不變積分的建立，得以推廣經(jīng)典的傅里葉分析成為群上的調(diào)和分析． 1945年以后，韋伊把當時新生的上同調(diào)、纖維叢、緋索等概念引入代數(shù)幾何及微分拓撲，特別是證明德·拉姆(de Rham)定理． 5．微分幾何學(xué)及復(fù)分析 韋伊在1941年在哈佛福德學(xué)院與同事C．阿蘭道菲爾(Alle－ndoerfer)合作，把高斯-邦內(nèi)(Bonnet)公式推廣到一般黎曼多面體上．1940年阿蘭道菲爾和 W．芬切爾(Fenchel)已把上述公式推廣到n維黎曼流形上，不過要求該流形嵌入在N維歐氏空間中，韋伊等去掉了這一要求，并推廣到具有邊界的多面體上．不過證明用到外爾的管狀方法，而這依賴于胞腔的嵌入．1943年陳省身到美國后，給出一個內(nèi)蘊的證明． 韋伊在1926年發(fā)表的第一篇論文中，證明非正曲率連通的周長為L的有邊曲面面積S恒滿足 S≤L2／4π， 這對多連通曲面一般不成立． 韋伊在微分幾何方面的另一項貢獻是完全纖維叢及其上聯(lián)絡(luò)理論特別是引入陳(省身)-韋伊同態(tài)．韋伊在1949年一個未發(fā)表的手稿中討論了用任意李群為結(jié)構(gòu)群的主叢的一般情形，它通過曲率形式把示性類與伴隨群作用下不變多項式等同起來，得出的是陳-韋伊示性類，它在指標定理的熱方程證明及葉狀結(jié)構(gòu)理論中有重要應(yīng)用． 韋伊在復(fù)幾何中一大貢獻是E．凱勒(K hler)流形理論，總結(jié)在1958年出版的《凱勒流形研究引論》(Introduction l' tudedes vari t s Khleriennes)一書．第二次世界大戰(zhàn)后，復(fù)流形理論出現(xiàn)，韋伊把德·拉姆理論及浩治(Hodge)調(diào)和積分理論移到復(fù)流形上．凱勒流形由于同代數(shù)簇理論及微分幾何的聯(lián)系在后來的數(shù)學(xué)中至關(guān)重要． 韋伊在早期工作中發(fā)展了多復(fù)變函數(shù)論．早在1932年，他把柯西積分公式推廣到某種有界域上，其后這種域被稱為韋伊域． 6．數(shù)學(xué)史 韋伊在數(shù)學(xué)史研究方面是廣博而深刻的，他的語文能力和對原始文獻的熟悉以及深邃的數(shù)學(xué)眼光使他無可爭議地成為第一流的數(shù)學(xué)史家．他是布爾巴基《數(shù)學(xué)原理》(Elemente de mathema－tiqe)大部分歷史注記的執(zhí)筆者，而在數(shù)論史領(lǐng)域更是絕對權(quán)威．《數(shù)論，歷史的論述》(Number theory，An approach throush his-fory，1984)著重討論P．de費馬(Fermat)、L．歐拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒讓德(Legendre)四位數(shù)學(xué)家在數(shù)論方面的貢獻，是17—18世紀數(shù)論史的全面總結(jié)．對19世紀數(shù)論史，他特別研究過E．庫默爾(Kummer)，編輯其《全集》(Collected papers，1975)，對 G．愛森斯坦(Eisenstein)L．克羅內(nèi)克(Kronecker)等細致地研究過關(guān)于他們的橢圓函數(shù)論的工作，收入《愛森斯坦及克羅內(nèi)克對橢圓函數(shù)的研究》(Elli－ptic functions according to Eisenstein and Kronecker，1976)中．1972年以后，他的主要工作都放在數(shù)學(xué)史方面，獲得大量成果．1978年在國際數(shù)學(xué)家大會上作關(guān)于數(shù)學(xué)史的全會報告，引起普遍的興趣及關(guān)注． |
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