其實(shí)我的公眾號(hào)有很多內(nèi)容想寫，但是最近沒(méi)什么時(shí)間，寫一篇文章要花不少時(shí)間。所以一直沒(méi)動(dòng)筆，今年年底應(yīng)該會(huì)多更新一些。一般我是懶得追蹤熱點(diǎn)來(lái)寫文章的，這次破例，追一下熱點(diǎn)。

這篇文章盡量淺顯易懂，但是猜想還是會(huì)有很多人覺(jué)得燒腦。但是如果太簡(jiǎn)略又沒(méi)啥意思了。大家如果不想看細(xì)節(jié)，可以略過(guò)一些具體描述。

這幾天傳來(lái)消息：著名數(shù)學(xué)家邁克爾，阿蒂亞爵士生成自己證明了黎曼猜想，要在9月24日公開宣講證明過(guò)程。我猜想如果黎曼猜想真的被證明，黎曼猜想這個(gè)名詞將會(huì)像前幾年的引力波被發(fā)現(xiàn)事件一樣會(huì)被朋友圈刷屏。那么黎曼猜想到底是什么東西呢。下面跟大家科普一下。

黎曼猜想被譽(yù)為數(shù)學(xué)猜想的皇冠。著名數(shù)學(xué)家黎曼在1859年提出了這個(gè)猜想，1900年這個(gè)猜想被列為希爾伯特的23道世紀(jì)數(shù)學(xué)難題，2000年被列為千禧年7大數(shù)學(xué)難題。這個(gè)數(shù)學(xué)猜想非常重要，因?yàn)橛袔装偕踔辽锨€(gè)數(shù)學(xué)命題都是以假設(shè)黎曼猜想為正確的基礎(chǔ)上做出的。如果黎曼猜想被證明為真，那么幾百上千個(gè)數(shù)學(xué)命題都將榮升為數(shù)學(xué)定理。如果黎曼猜想被證偽，那么這些命題也將被證偽。

那么到底黎曼猜想說(shuō)的是什么呢？

一黎曼提出了一個(gè)著名的黎曼zeta函數(shù)。（如圖）記住這個(gè)函數(shù)，整篇文章將會(huì)圍繞這個(gè)函數(shù)來(lái)展開。

（圖1）

這個(gè)函數(shù)不難理解，其實(shí)跟我們中學(xué)學(xué)的函數(shù)方程y= f（x）只是換了字母代碼。

等式左邊那塊可以看作是函數(shù)值y，s可以看成是x，比如當(dāng)s 取1 的時(shí)候，就變成1+1/2+1/3+1/4 按這個(gè)規(guī)律一直無(wú)限加下去。

Zeta函數(shù)中，s是可以取復(fù)數(shù)的。也就是 a+bi的形式。i是復(fù)數(shù)單位，i的平方等于-1.這個(gè)大家高中肯定學(xué)過(guò)。

一個(gè)數(shù)的復(fù)數(shù)次方需要用到復(fù)分析知識(shí)，一個(gè)數(shù)的i次方，大家大概可以想象成在一個(gè)復(fù)數(shù)坐標(biāo)系里旋轉(zhuǎn)一定角度。不理解也不重要。

這個(gè)函數(shù)本來(lái)的定義域是s的實(shí)數(shù)部分要大于1的。S大于1時(shí)，任何一個(gè)s值都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)zeta 函數(shù)值。

二． 當(dāng)s 取小于等于1 的值時(shí)，zeta函數(shù)本來(lái)是無(wú)解的，比如s取-1 時(shí)，自然數(shù)的-1次方就是倒數(shù)。比如1/2的-1次方變成2。那么s取-1次方時(shí)，zeta函數(shù)變成1+2+3+4 一直無(wú)窮加下去。這是個(gè)無(wú)窮大的值。大家要注意，數(shù)學(xué)上無(wú)窮大不是一個(gè)數(shù)，無(wú)窮大的數(shù)被認(rèn)為是無(wú)法定義的。同理當(dāng)s取小于等于1的值時(shí)本來(lái)是無(wú)法定義的。所以s定義域?yàn)榇笥?.

三．我們中學(xué)學(xué)過(guò)一個(gè)方程函數(shù)如果給定一個(gè)x值，那么必定有一個(gè)唯一的y值對(duì)應(yīng)。如果我們對(duì)s在定義域的所有值對(duì)應(yīng)于zeta值做一個(gè)坐標(biāo)系的變換，可以得出下圖（圖2）這個(gè)漂亮曲線的紅色部分。注意只是紅色部分，藍(lán)色部分不是。紅色部分所有線段都是s變量的坐標(biāo)系在zeta函數(shù)的坐標(biāo)系的變換投影。仔細(xì)看在s等于1 那里有一個(gè)很亮的紅色點(diǎn)，在那里有無(wú)數(shù)s值對(duì)應(yīng)的zeta值塌縮成一個(gè)奇點(diǎn)。因?yàn)閟必須大于1，s等于1本身也是無(wú)法定義的。而且我們可以看到這個(gè)zeta函數(shù)的圖在s等于1的上方戛然而止，突然中斷了。

（圖2）

（紅色部分是s值到zeta函數(shù)的變換的曲線。藍(lán)色是在s的定義域外解析延拓得到的圖）

圖是從grendz.com下載的

四 數(shù)學(xué)家想了一個(gè)辦法，把被定義域問(wèn)題中斷的漂亮的曲線延續(xù)到另一邊。這種辦法叫做解析延拓。拓展開的另一部分就是上圖左邊藍(lán)色部分。這種解析延拓有一個(gè)條件，它必須總是可以微分的，總是可以微分的意思就是不管怎么變換，原來(lái)坐標(biāo)系里的角度要和新坐標(biāo)系的角度保持一致。為了能保證這個(gè)條件，那么左邊的藍(lán)色部分就只能有唯一一種作圖法和右面的圖像對(duì)應(yīng)了。

五 我們讀書時(shí)做到解方程習(xí)題比如 y=ax+b 這樣的函數(shù)，我們需要解方程當(dāng)y=0 時(shí)x是什么值。 那么解黎曼的zeta方程等于0時(shí)，s可以取什么值呢？

當(dāng)s=-2，-4，-6 等負(fù)整數(shù)時(shí)按照解析延拓zeta 函數(shù)等于0. 這些點(diǎn)沒(méi)什么多大意思，被稱為平凡0點(diǎn)。

六 令數(shù)學(xué)家著迷的是，s取正數(shù)的話，取什么值，zeta函數(shù)是0呢？

黎曼猜想這些s 取值全部都存在于s的實(shí)數(shù)部分是0.5虛數(shù)部分任意延展的一條延展線上。

可以看下圖（圖3或圖4）紅色線部分就是實(shí)數(shù)部分是0.5，虛數(shù)部分取不同值時(shí)，通過(guò)坐標(biāo)變換到zeta值的坐標(biāo)系時(shí)的曲線。原來(lái)坐標(biāo)系的直線已經(jīng)扭曲成了曲線，可以看見這條紅色的曲線一直在繞圈圈，而且不斷的通過(guò)坐標(biāo)系0點(diǎn)。 黎曼猜想其實(shí)就是，他認(rèn)為所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后通過(guò)0點(diǎn)的線段，其實(shí)都是這條紅色線段得到無(wú)限延伸線，沒(méi)有其他別的線段能經(jīng)過(guò)這個(gè)0點(diǎn)了。我們可以看到0這個(gè)點(diǎn)也是一個(gè)無(wú)限多點(diǎn)塌縮的奇點(diǎn)，因?yàn)橛袩o(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)。

（非平凡0點(diǎn)變換到zeta值的坐標(biāo)系中從直線扭曲了曲線，可以見到這個(gè)線不斷經(jīng)過(guò)0點(diǎn)。這個(gè)曲線將會(huì)無(wú)限多次經(jīng)過(guò)0點(diǎn)，因?yàn)橛袩o(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)）

（這個(gè)圖跟上圖差不多）

圖下載自維基百科

七 為什么黎曼猜想很重要，其中一個(gè)原因是它猜想的非平凡0點(diǎn)的分布和素?cái)?shù)分布有重要聯(lián)系。1901年數(shù)學(xué)家證明了黎曼猜想等價(jià)于一個(gè)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)。這個(gè)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)是說(shuō)某一個(gè)x值，比方說(shuō)x=10000吧，那10000 以內(nèi)的素?cái)?shù)總數(shù)量近似地等于 10000/ln（10000）

（ln 是對(duì)一個(gè)數(shù)取e 對(duì)數(shù)），10000以內(nèi)一共有1229個(gè)素?cái)?shù)，這個(gè)公司計(jì)算得到1086個(gè)素?cái)?shù)。當(dāng)x值越大時(shí)，這個(gè)公式預(yù)測(cè)的素?cái)?shù)和實(shí)際素?cái)?shù)的比值越接近。也就是說(shuō)我們雖然沒(méi)辦法精確預(yù)測(cè)素?cái)?shù)到底是哪個(gè)數(shù)，但是我們能測(cè)量素?cái)?shù)分布的概率。這個(gè)公式的等價(jià)命題被證明是和黎曼猜想是等價(jià)的。所以說(shuō)黎曼猜想和素?cái)?shù)的分布有很重要的聯(lián)系。而素?cái)?shù)是純數(shù)學(xué)里很重要研究對(duì)象。

八 在zeta函數(shù)的解析延拓也就是藍(lán)色部分的圖里，s=-1 對(duì)應(yīng)著zeta函數(shù)坐標(biāo)系的-1/12.而如果把s=-1代入zeta 函數(shù)可以得 zeta（-1）=1+2+3+4 一直加下去。

所以有個(gè)著名的傳說(shuō)：所有自然數(shù)加總等于-1/12 這顯然是不對(duì)的，超出定義域的s不能簡(jiǎn)單帶入zeta函數(shù)。但是人們懷疑，既然zeta函數(shù)的拓展段和有定義域那段是一一對(duì)應(yīng)的，自然數(shù)的加總和-1/12一定有某種聯(lián)系。

之前我寫過(guò)一個(gè)跟黎曼猜想有關(guān)的文章，大家有興趣可以看看。鏈接在此。