滲透數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但許多時(shí)候現(xiàn)實(shí)教學(xué)中并沒有達(dá)成。下面筆者以教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)發(fā)現(xiàn)的問題加以說明。

“雞兔同籠”是“數(shù)學(xué)廣角”中的一個(gè)經(jīng)典例題，它的主要教學(xué)目標(biāo)是通過解決這一問題向?qū)W生滲透假設(shè)法這一數(shù)學(xué)思想方法。以前的實(shí)驗(yàn)版教材將它安排在六年一期進(jìn)行教學(xué)，為學(xué)生提供了列表法、假設(shè)法、列方程等三種解題方法。新教材則將這一內(nèi)容移到了四年二期，我想編者的用意之一應(yīng)該是讓在學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)方程之前來進(jìn)行教學(xué)，從而避開用方程解答對(duì)假設(shè)法解題的干擾。

在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容編排的時(shí)候，新教材大體是按照“介紹背景—展示古題—簡(jiǎn)化原題—猜想—引導(dǎo)列表—引導(dǎo)假設(shè)—鞏固運(yùn)用”這一思路來的，而老師們的教學(xué)基本上也都遵循了教材的設(shè)計(jì)思路。

第一步，以古題“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”為鋪墊，向?qū)W生介紹知識(shí)背景，解釋古題的涵義。

第二步，提示學(xué)生，因古題中數(shù)據(jù)太大，不便研究，所以出示簡(jiǎn)化后的例題：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各幾只？”

第三步，引導(dǎo)學(xué)生由無頭緒地猜測(cè)到有序地列表。在這一過程中，不但使學(xué)生體會(huì)到列表對(duì)解決這個(gè)問題的優(yōu)勢(shì)，還向他們滲透了有序思考問題的重要性。學(xué)生通過列表有序嘗試之后，即可找出本題的正確答案：雞有3只，兔有5只。

第四步，引導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)法解題，并配以圖示說明（圖略）：

（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×2=16（只）腳，這樣就多出26-16=10（只）腳。

（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有10÷2=5（只）兔。

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以有經(jīng)驗(yàn)的老師不管是在時(shí)間的安排上還是教學(xué)的設(shè)計(jì)上都會(huì)想一些辦法，以期達(dá)到良好的教學(xué)效果。

第五步，鞏固運(yùn)用，通過一些基礎(chǔ)題和變式題的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)，并在列表法和假設(shè)法的對(duì)比練習(xí)中，使學(xué)生體會(huì)到列表法的局限和假設(shè)法的優(yōu)勢(shì)。

這樣教學(xué)，感覺比較順暢自然，教學(xué)的重難點(diǎn)突出了，學(xué)生似乎學(xué)得也比較輕松。那是不是本節(jié)課向?qū)W生滲透假設(shè)法的目標(biāo)就較好地達(dá)成了呢？不一定，教過這個(gè)知識(shí)的老師大都有這樣一種感覺，學(xué)生在新學(xué)的時(shí)候，老師帶著學(xué)生，確實(shí)大多能比較順暢地用假設(shè)法來解題，但過段時(shí)間再來獨(dú)立地做同類型題，學(xué)生就又不知從何下手了。如果要用假設(shè)法來解決其他類似的數(shù)學(xué)問題就更無從談起了。也就是說學(xué)生壓根就沒有形成用假設(shè)思想解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)。

這種局面形成的原因，長(zhǎng)沙市教科院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員張新春老師有過一個(gè)非常形象的比喻，他說：“這就好比現(xiàn)在開車用的導(dǎo)航，我們到一個(gè)不熟悉的地方，最方便的方法就是打開導(dǎo)航，這樣就能比較順利地到達(dá)目的地，避免好多的麻煩，也節(jié)約很多時(shí)間。但同時(shí)也會(huì)給我們?cè)斐梢粋€(gè)錯(cuò)覺，這個(gè)地方是我親自開車來的，路已走過一遍，那么這條路線我應(yīng)該已經(jīng)掌握了吧。實(shí)際上呢？大多數(shù)情況下，拋開導(dǎo)航，同樣的路線我們還是不會(huì)走。為什么呢？因?yàn)樵趯?dǎo)航的指引下，我們是被動(dòng)地接受信息，大腦并沒有進(jìn)行主動(dòng)地思考?！敝R(shí)的學(xué)習(xí)也是同樣的道理，沒有主動(dòng)地思考和探究，知識(shí)、技能、思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就難以真正形成?；叵脒@節(jié)課的設(shè)計(jì)，學(xué)生進(jìn)行假設(shè)解題的整個(gè)過程，都是在教師一步一步地引導(dǎo)下完成的，學(xué)生主動(dòng)思考和探索的空間幾乎沒有。這樣，如果沒有了老師這個(gè)導(dǎo)航，學(xué)生獨(dú)立來解決問題的時(shí)候，他們感覺無從下手也就不足為奇了。

假設(shè)法這一數(shù)學(xué)思想方法到底該如何滲透給學(xué)生呢？我想最理想的方式是潤(rùn)物細(xì)無聲，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、體驗(yàn)探究直觀問題的解決過程中逐慚感悟數(shù)學(xué)思想方法。于是我嘗試教學(xué)重構(gòu)。

在保持第一、二、三步的教學(xué)環(huán)節(jié)基本不變的情況下，第四步再次出示翻譯后的古題：“雞兔同籠，從上面數(shù)有三十五個(gè)頭，從下面數(shù)有九十四只腳，問雞和兔各有多少只？”并要求學(xué)生用剛剛學(xué)過的列表法來進(jìn)行解決。按前面學(xué)習(xí)的有序思考問題的思路，學(xué)生一般可以從35只全是雞（或全是兔）為起點(diǎn)來進(jìn)行猜想，并列出下表：

在列表猜想的過程中，學(xué)生會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn)，一直這么列下去，問題是能解決，但因?yàn)楝F(xiàn)有數(shù)據(jù)離“94只腳”比較遠(yuǎn)，那表格也要列得比較長(zhǎng)，很麻煩。

“難道一定總是要一增一減這么老老實(shí)實(shí)地一一列舉下去嗎？就不能偷點(diǎn)懶嗎？”教師可以通過這樣的提問來啟迪學(xué)生放棄原有的慣性思維，轉(zhuǎn)而思考可以“偷懶”的新方法。

通過思考，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，既然離正確答案還比較遠(yuǎn)，就沒有必要非得一一列舉下去，可以跳過一些數(shù)據(jù)來進(jìn)行嘗試。一番嘗試之后，肯定會(huì)出現(xiàn)各種各樣的情況，一部分學(xué)生可能通過一兩次嘗試就找到了正確答案，但肯定也會(huì)有一部分學(xué)生尋找正確答案的過程不那么順利，甚至?xí)霈F(xiàn)算出的腳的數(shù)量大大超出94只的現(xiàn)象。但我們千萬不要小看了學(xué)生這個(gè)試錯(cuò)的過程，學(xué)生往往就是在經(jīng)歷了這樣的挫折之后，才會(huì)更進(jìn)一步地去轉(zhuǎn)變思維方式，思考解決問題的新方法。因此，教師組織學(xué)生交流了剛才在嘗試“跳數(shù)據(jù)猜想”的過程中出現(xiàn)的各種問題后，可以進(jìn)一步追問：“看樣子跳過一些數(shù)據(jù)來進(jìn)行猜想確實(shí)是幫到了一些同學(xué)，可很多同學(xué)還是嘗試了很多次以后才找到正確答案，那么我們有沒有辦法只試一次就能準(zhǔn)確地知道雞要減少多少只，兔要增加多少只呢？”于是，師生可以進(jìn)行如下互動(dòng)：

通過以上列表可知，當(dāng)假設(shè)全是雞時(shí)共有35×2=70（只）腳，而每減少一只雞，增加一只兔，則可以增加4-2=2（只）腳，最終的正確答案是94只腳，共需要增加94-70=24（只）腳，所以雞需要減少24÷2=12（只），變?yōu)?5-12=23（只），而兔則變?yōu)?2只，從而探索出正確答案。在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師再用原設(shè)計(jì)中的第四步（圖示法）來向?qū)W生加以解釋說明，幫學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)。

對(duì)比前后兩種不同的設(shè)計(jì)，其本質(zhì)區(qū)別就在于，第一種教學(xué)設(shè)計(jì)是將列表法和假設(shè)法這兩種解題思路完全割裂開來。就學(xué)生的感受來說，列表法思路比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易接受，因?yàn)樗蜗蟆⒅庇^、易于理解，但它的缺點(diǎn)是當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，用這種方法就比較麻煩了；而假設(shè)法雖然優(yōu)勢(shì)很明顯，但對(duì)小學(xué)生來說是一種全新的解題思路，它更為抽象，對(duì)學(xué)生思維能力的要求更高，如果我們教學(xué)時(shí)另起爐灶，知識(shí)的生成沒有根基的話，就很容易變成無源之水、無本之木，學(xué)生肯定就難以接受。修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)則將這兩種解題方法有機(jī)地聯(lián)系起來，在學(xué)生熟悉了列表法之后，再通過設(shè)置一些障礙，“逼著”學(xué)生去主動(dòng)地實(shí)踐、思考和探究新的方法，非常自然地完成了由列表法向假設(shè)法過渡，這樣的滲透確有潤(rùn)物細(xì)無聲之妙。

（作者單位：瀏陽市教育局教育科學(xué)研究所）