在上一篇文章《 最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇） 》里，長尾科技帶著大家從零開始一步一步認識了麥克斯韋方程組的積分形式，這篇文章我們就來看看它的微分形式。

在積分篇里，我們一直在跟電場、磁場的通量打交道。我們?nèi)我猱嬕粋€曲面，這個曲面可以是閉合的，也可以不是，然后我們讓電場線、磁感線穿過這些曲面，它們就兩兩結(jié)合形成了四個積分形式的方程組。從這里我們能感覺到：麥克斯韋方程組的積分形式是從宏觀角度來描述問題，這些曲面都是宏觀可見的東西。那么微分形式呢？微分形式似乎應(yīng)該從微觀角度去看問題，那么我們要怎樣把曲面、通量這些宏觀上的東西弄到微觀里來呢？

一個很簡單的想法就是：我讓宏觀上的東西縮小縮小，直到縮小成一個點，這樣不就進入微觀了么？積分形式的麥克斯韋方程組需要選定一個曲面，但是它并沒有限定這個曲面的大小，我可以把這個曲面選得很大，也可以選得很小。當你把這個曲面選得很小很小的時候，麥克斯韋方程組的積分形式就自然變成了微分形式。所以，微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方是在于如何尋找一種方便的計算方式，這些我后面會細說。

因為微分形式和積分形式的這種承接關(guān)系，我建議大家盡量先看看積分篇的內(nèi)容。在積分篇里，我是從零開始講電磁學(xué)，講麥克斯韋方程組，所以閱讀起來不會有什么門檻。但是到了微分篇，上篇文章已經(jīng)詳細說了一些東西（諸如電場、通量、環(huán)流等概念）這里就不會再細說了。長尾君不會從天而降地拋出一個東西，如果在這篇文章里遇到了什么難以理解的東西，可以看看是不是在積分篇里已經(jīng)說過了~

好，下面進入正題。在積分篇里我跟大家講過，麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電（高斯電場定律）、靜磁（高斯磁場定律）、磁生電（法拉第定律）、電生磁（安培-麥克斯韋定律）。這四個方程各有積分和微分兩種形式，積分形式我們上篇已經(jīng)說過了，微分形式我們還是按照順序，也從靜電開始。

01微分形式的靜電

在積分篇里，我們是這樣描述靜電的：我在空間里任意畫一個閉合曲面，那么通過閉合曲面的電場線的數(shù)量（電通量）就跟這個曲面包含的電荷量成正比。用公式表述就是這樣：

這就是積分形式的高斯電場定律：左邊表示通過閉合曲面S的電通量（E是電場強度，我們把面積為S的閉合曲面分割成許多小塊，每一個小塊用da表示，那么通過每一個小塊面積的電通量就可以寫成E·da。套上一個積分符號就表示把所有小塊的電通量累加起來，這樣就得到了通過整個閉合曲面S的電通量），右邊那個帶了enc下標的Q就表示閉合曲面包含的電荷量，ε0是個常數(shù)。這些內(nèi)容我在積分篇里都詳細說過了，這里不再多言。

下面是重點：因為這個閉合曲面S是可以任何選取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各種亂七八糟的閉合曲面。那么我們就不妨來學(xué)習一下孫悟空，變小變小再變小，我讓這個閉合曲面也一直縮小縮小，縮小到無窮小，那么這時候高斯電場定律會變成什么樣呢？

這里會涉及一丟丟極限的概念，我們這樣考慮：一個閉合曲面縮小到無窮小，其實就是它的表面積或者體積無限趨向于0。也就是說，我假設(shè)有一個球的體積為ΔV，然后讓這個ΔV無限趨近于0，那這樣就可以表示這個球縮小到無窮小了。用數(shù)學(xué)符號可以記成這樣：

Lim就是英文單詞極限（limit）的縮寫，ΔV通過一個箭頭指向0可以很形象的表示它無限趨近于0。有了這個極限的概念，我們就可以很自然的表示通過這個無窮小曲面的電通量了（直接在電通量的前面加個極限符號），這時候高斯電場定律就成了這樣：

這樣，我們就把高斯電場定律從宏觀拉到了微觀：方程的左邊表示曲面縮小到無窮小時的電通量，方程的右邊表示無窮小曲面包含的電荷量。但是，當曲面縮小到無窮小的時候，我們再使用電荷量Q就不合適了，所以我們改用電荷密度（符號為ρ）。電荷密度，從名字里我們就能猜出它表示的是單位體積內(nèi)包含電荷量的大小，所以它的表達式應(yīng)該是用電荷量除以體積，即：ρ=Q/V。

所以，如果我們把微觀的高斯電場定律左右兩邊都同時除以體積ΔV，那么右邊的電荷量Q除以體積Δ就變成了電荷密度ρ，左邊我們也再除以一個ΔV，那么公式就變成了下面這樣：

公式的右邊除以一個體積ΔV，就成了電荷密度ρ除以真空介電常數(shù)ε0，那左邊呢？左邊原來是通過無窮小曲面的電通量，這玩意除以一個體積ΔV之后表示什么呢？這一長串的東西，我們給它取了個新名字：散度。

也就是說，電場E在一個點（被無窮小曲面圍著的這個點）上的散度被定義為電場通過這個無窮小曲面的電通量除以體積。散度的英文單詞是divergence，所以我們通常就用div(E)表示電場E的散度，即：

所以，高斯電場定律的微分形式就可以表示成這樣：

它告訴我們：電場在某點的散度跟該點的電荷密度成正比。

然后呢？然后微分篇的第一個方程就這樣說完了？這只不過把高斯電場定律積分形式的曲面縮小到了無窮小，然后兩邊同時除了一個體積，右邊湊出了一個電荷密度，左邊巴拉巴拉湊出一大堆東西你告訴我這個新東西叫散度就完事了？不帶這么玩的！那這個散度到底有什么物理意義？我要如何去計算具體的散度（你用無窮小通量去定義散度倒是好定義，但是這樣計算可就麻煩了）？還有，很多人多多少少知道一些麥克斯韋方程組的樣子，雖然不是很懂，那個倒三角符號▽倒還是記得的，你這公式里為什么沒有▽符號呢？

02初入江湖的▽

沒錯，我們用無窮小曲面的通量和體積的比值來定義散度，這樣定義是為了突出它跟通量之間的聯(lián)系，也方便大家從積分的思維自然的轉(zhuǎn)化到微分的思維中來。但是，這種定義在具體計算的時候是沒什么用的，我們不會通過去計算無窮小曲面的通量和體積的比值來計算一個點的散度，因為這樣實在是太麻煩了。我們有種更簡單的方式來計算電場在某個點的散度，而這種方法，就會使用到我們熟悉的倒三角▽符號。

在這種新的表示方法里，電場E的散度可以被寫成這樣：▽·E，所以我們就可以用這個東西替換掉方程左邊div(E)，那么麥克斯韋方程組的第一個方程——描述靜電的高斯電場定律的微分形式就可以寫成這樣：

這樣寫的話，是不是就感覺熟悉多了？也就是說，同樣是為了表示散度，我們用▽·E代替了代替了原來無窮小曲面通量和體積比值那么一大串的東西。而且這樣還非常好計算，使用這種新的方式，你只要給出一個電場，我分分鐘就可以把電場的散度寫出來。這種倒三角▽符號，絕對是符號簡化史上的奇跡。

所以，我接下來的工作，或者說理解麥克斯韋方程組的微分形式的核心內(nèi)容，就是要來告訴大家這個倒三角▽符號到底是什么意思，▽·（后面加了一個點）又是什么意思？為什么▽·E可以表示電場E的散度就？為什么▽·E跟我們前面散度的定義div（E）是等價的？也就是說：

為什么上面的式子是相等的，而且都可以用來表示電場E的散度？

這就是我在開篇說的：微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方在于如何尋找一種方便計算的方式，這種方便的計算方式自然就是▽。那么我們接下來就先把電磁相關(guān)的物理內(nèi)容擱置一旁，先一起來看一看這個傳奇符號▽的前世今生，理解了它，你就理解了麥克斯韋方程組的微分形式的精髓。

03從導(dǎo)數(shù)說起

要理解▽，我們還是得先再來看一看這個衡量事物變化快慢的概念：導(dǎo)數(shù)。說“再”是因為我們在積分篇里已經(jīng)講過了：法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，發(fā)現(xiàn)變化的磁場能產(chǎn)生電場，而且磁場變化得越快，產(chǎn)生的電場越大。這里我們就需要這樣一個量來描述磁場變化的快慢，只不過當時我們沒有展開說。

我還是借用上篇身高的例子來看看我們是如何描述變化的快慢的。一個人在十二三歲的時候一年可以長10厘米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就只能長1厘米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（這里就是身高，假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更小），看看這個量的變化Δy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。

在這里，我稍微解釋一下Δy和dy的區(qū)別：如下圖所示，我們假設(shè)函數(shù)在x軸上有一個增量Δx，這個用Δx或者dx表示都一樣，兩者相等。但是，這個在x軸上的變化帶來的y軸上的變化就不一樣了：Δy表示的是y軸實際的變化量，是我用前后兩個不同的x對應(yīng)的y值直接相減得到的真實結(jié)果；而dy則不是，dy是我們在M點做了一條切線，然后我用這條直線來代替曲線，當x軸上變化了Δx的時候這條直線上對應(yīng)y上的變化。

從這個圖里我們可以看到：Δy的值是要比dy大一點點的，但是隨著Δx或者dx的減小，它們的之間的差值會急速減小，比Δx減小的快得多，這個差值也是我們常說的高階無窮小。Δy叫做函數(shù)從一點到另一點的增量，而dy則被叫做函數(shù)的微分，或者叫它的線性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是現(xiàn)代微積分的一個核心思想，從這個圖里可見一斑。

在微積分剛創(chuàng)立的時候，萊布尼茨把dx看作一個接近0但又不等于0的無窮小量，這種“樸素”的思維很符合直覺，而且用這種思想來計算也沒什么錯，但是它的基礎(chǔ)是非常不牢固的。正是這種幽靈般的無窮小量dx（時而可以看作是0，時而可以當除數(shù)約分）導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一個多世紀的搶救才給微積分找到了一個堅實的地基：極限理論。

這段內(nèi)容不是太理解沒關(guān)系，只要知道我們可以用dy/dx表示函數(shù)在M點的導(dǎo)數(shù)（在這里就是切線的斜率），可以用它來表示圖像在這里變化的快慢就行了。

再回到人的身高隨年齡變化的這個例子里來。人在各個年齡t都會對應(yīng)一個身高y，這每個（t,y）就對應(yīng)了圖上的一個點，把這些點全都連起來大致就能得到這樣一個圖：

在導(dǎo)數(shù)dy/dt大的地方，圖形里的斜率很大，通俗的說就是曲線很陡峭；而導(dǎo)數(shù)很小的地方，對應(yīng)的曲線就很平緩。

在這個例子里，身高y是隨著年齡t變化而變化，也就是說給定任何一個t的值，都有一個y的值跟它對應(yīng)，我們就可以說身高y是一個關(guān)于年齡t的函數(shù)（function），記做y=f(t)。這個f自然就是函數(shù)的英文單詞function的縮寫，函數(shù)就是這樣一種對應(yīng)（映射）關(guān)系。在這里，身高y的值只跟年齡t一個變量相關(guān)，我們就說這是一個一元函數(shù)。但是，如果我們的問題稍微復(fù)雜一些，我的某個量不止跟一個量有關(guān)，而是跟多個量有關(guān)呢？

04多個變量的偏導(dǎo)數(shù)

比如山的高度，一座山在不同點的高度是不一樣的，而在地面上確定一個點的位置需要經(jīng)度和緯度兩個信息?；蛘撸憧梢宰约涸诘孛嫔辖⒁粋€坐標系，然后地面上每一個點都可以用（x,y）來表示。因為每一個位置（x,y）都對應(yīng)了那個地方山的高度z，那么z就成了一個關(guān)于x和y的函數(shù)，記做z=f(x,y)。因為山的高度z需要兩個變量x和y才能確定，所以我們說z=f(x,y)是一個二元函數(shù)。

再例如，我房間的每一個點都有一個溫度，所以房間的溫度T是一個關(guān)于房間內(nèi)空間點的函數(shù)，而房間里每一個點的位置需要長寬高三個變量（x,y,z）才能確定。所以，我房間里的溫度T是一個關(guān)于x,y,z的三元函數(shù)，記做T=f(x,y,z)。

我們再來回過頭來看看導(dǎo)數(shù)，在一元函數(shù)y=f(t)里，我們用dy/dt來表示這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)越大的地方曲線變化得越快。因為一元函數(shù)的圖像是一條曲線，曲線上的一個點只有一個方向（要么往前，要么往后，反正都是沿著x軸方向），所以我們可以直接用dy/dt表示函數(shù)變化得有多快。但是，如果這個函數(shù)不是一元函數(shù)，而是二元、三元等多元函數(shù)呢？

比如山的高度z是關(guān)于位置x,y的二元函數(shù)z=f(x,y)，這時候地面上的每一個點（x,y）都對應(yīng)一個值，它的函數(shù)圖像就是一個曲面（如山的表面），而不再是一條曲線。而曲面上的每一個點有無數(shù)個方向（前后左右360°都可以），x和y只是這無數(shù)方向中的兩個，那我們要如何把握這無數(shù)個方向上的高度變化快慢呢？

當然，我們不可能把這無數(shù)個方向都一一找出來，也沒這個必要。一個平面上有無數(shù)個點，但是我只用x和y這兩個方向組成的（x,y）就可以表示所有的點。同樣的，雖然在函數(shù)曲面上的一點有無數(shù)個方向，不同方向函數(shù)變化的快慢都不一樣的，但是我們只要把握了其中的兩個，就能把握很多信息。

那么我們要如何表示函數(shù)z沿著x軸方向變化的快慢呢？直接用dz/dx么？好像不太對，因為我們的z是一個關(guān)于x和y的二元函數(shù)，它的變量有兩個，你這樣直接dz/dx合適么？合法么？但是，如果我在考慮x軸方向的時候，把y看作一個常數(shù)，也就是把y軸固定住，這樣函數(shù)z就只跟x相關(guān)了，于是我們就把一個二元函數(shù)（曲面）變成了一個一元函數(shù)（曲線）。

如上圖所示，當我們固定y=1的時候，這個曲面就被這個y=1的平面切成了兩半，而平面與曲面相交的地方就出現(xiàn)了一條曲線。這條曲線其實就是當我固定y=1的時候，函數(shù)z的圖像，只不過這時候z只跟x一個變量有關(guān)，所以它變成了一個一元函數(shù)。于是，我們就可以仿照一元函數(shù)的方法定義導(dǎo)數(shù)了，也就是說：我們在z=f(x,y)上無法直接定義導(dǎo)數(shù)，但是如果我們把y固定起來了，這時候二元函數(shù)的曲面就變成了一元函數(shù)的曲線，那么我們就在曲線上定義導(dǎo)數(shù)了。這種把y的值固定在某個地方，然后計算函數(shù)在x軸方向上的導(dǎo)數(shù)，叫作關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記做?z/?x。同樣，如果我們把x的值固定，計算函數(shù)在y軸方向上的導(dǎo)數(shù)，那自然就是關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，記做?z/?y。

05全微分

有了偏導(dǎo)數(shù)的概念，我們就有辦法寫出dz和dx、dy之間的關(guān)系了。在一元函數(shù)里，導(dǎo)數(shù)是dy、dt，我們自然就可以寫出dy和dt之間的關(guān)系：

那么，到了二元函數(shù)z=f(x,y)的時候呢？我們想象有個人在山的一點要往另一點爬，我們讓他先沿著x軸的方向爬（也就是固定住y的值），假設(shè)他沿x軸移動了dx。根據(jù)上面偏導(dǎo)數(shù)的定義，如果我們把y 的值固定了，那么他在x軸方向上的導(dǎo)數(shù)是可以用偏導(dǎo)數(shù)?z/?x來表示，那么在他沿著x軸移動的時候，他上升的高度就可以寫成（?z/?x）·dx。同樣，接下來他沿著y軸方向走的時候，他上升的高度就可以寫成（?z/?y）·dy。我們把這兩個部分上升的高度加起來，不就得到了最終爬山的高度變化dz的了么？也就是說：

這個公式我們可以把它做作全微分定理，它其實是對上面一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系的一個自然推廣。它告訴我們，雖然在曲面的一個點上有無數(shù)個方向，但是只要我們掌握了其中x和y兩個方向上的偏導(dǎo)數(shù)，我們就能把握它的函數(shù)變化dz。還原到爬山的這個例子上來，這個公式是在告訴我們：如果我知道你沿著x軸和y軸分別走了多少，然后我知道你這座山在x軸和y軸方向的傾斜度（即偏導(dǎo)數(shù)）是多少，那我就知道你爬山的純高度變化有多少（又是幾近大廢話~）。

我們費了這么多勁就為了推出這個公式，那么這個公式里肯定隱藏了什么重要的東西。不過，現(xiàn)在這種形式還不容易看清楚，我們還得稍微了解一點矢量分析的內(nèi)容，把公式拆成矢量點乘的形式，那就明顯了。

06再談矢量點乘

關(guān)于矢量點乘的事情，我在積分篇的第六節(jié)就已經(jīng)說過一次了，因為電場的通量Φ就是電場E和面積a的點乘：Φ=E·a。因為矢量是既有大小又有方向的量，而我們小時候?qū)W習的乘法它只管大小不管方向，所以兩個矢量之間就得重新定義一套乘法規(guī)則，而最常見的就是點乘（符號為‘·’）。

兩個矢量OA、OB的點乘被定義為：OA·OB=|OA||OB|Cosθ（矢量的表示原本是在它頭頂上加一個箭頭，但是這里不方便這樣表示，那就用黑體表示了）。它表示一個矢量OA在另一個矢量OB上的投影OC（OC=|OA| Cosθ）和另一個矢量的大小的乘積，可見兩個矢量點乘之后的結(jié)果是一個標量（只有大小沒有方向）。

這些內(nèi)容我在上一篇都已經(jīng)說了，這篇文章我們再來看看矢量點乘的幾個性質(zhì)。

性質(zhì)1：點乘滿足交換律，也就是說OA·OB=OB·OA。這個很明顯，因為根據(jù)定義，前者的結(jié)果是|OA||OB| Cosθ，后者的結(jié)果是|OB||OA| Cosθ，它們明顯是相等的。

性質(zhì)2：點乘滿足分配律，也就是說OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。這個稍微復(fù)雜一點，我這里就不作證明了，當做習題留給大家~

性質(zhì)3：如果兩個矢量相互垂直，那么它們點乘的結(jié)果為0。這個也好理解，如果兩個矢量垂直，那么一個矢量在另一個矢量上的投影不就是一個點了么？一個點的大小肯定就是0啊，0乘以任何數(shù)都是0。如果大家學(xué)習了三角函數(shù)，從Cos90°=0一樣一眼看出來。

性質(zhì)4：如果兩個矢量方向一樣，那么它們點乘的結(jié)果就是他們大小相乘。理解了性質(zhì)3，理解4就非常容易了，從cos0°=1也能一眼便知。

此外要注意的是，點乘是不滿足結(jié)合律的，也就是說沒有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC），為什么？因為兩個矢量點乘之后的結(jié)果是一個標量，你再讓一個標量去點乘另一個矢量壓根就沒有意義，點乘是兩個矢量之間的運算。

我們小學(xué)就開始學(xué)的加法、乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，而矢量的點乘除了不能用結(jié)合律以外，其它的都滿足。我這樣寫是為了告訴大家：點乘雖然是一種新定義的運算，但是它和我們平常接觸的加法、乘法還是很類似的，大家不用對這種陌生的運算產(chǎn)生未知的恐懼。

07坐標系下的點乘

一個矢量有大小又有方向，我們通常是用一個箭頭來表示的，箭頭的方向就代表了矢量的方向，而箭頭的長短就代表了矢量的大小。如果我們這時候建立一個坐標系，把這個箭頭的一端移動到坐標原點，那么箭頭的另一端就會固定在坐標系的某個點上，這樣的話，我們就可以用一個坐標點來表示一個矢量了。

如上圖，A點的坐標是（4,3），那么這個矢量OA就可以記為（4,3）。然后，我們把矢量OA沿著x軸y軸做一個分解：

于是，我們的矢量OA就可以表示成：OA=OB+OC（矢量的加法就是把兩個矢量首尾相連，所以OB+BA=OA，而BA=OC，所以有上面的結(jié)論）。這時候，如果我們在x軸上定義一個單位向量x（1,0），那么OB的長度是x長度的四倍，而他們的方向又一樣，所以矢量OB=4x。同樣，在y軸上定義一個單位向量y(0,1)，那么OC=3y。那么，我們的OA就可以重新寫成：OA=OB+OC=4x+3y。

這樣的話，我任意一個矢量（x1,y1）都可以寫成x1x+y1y。于是我就成功的把那個括號給丟了，把坐標表示的矢量變成了我們熟悉的加法運算。這里我們要特別區(qū)分：x1,y1是坐標，是數(shù)，是標量，而黑體的xy代表的是單位矢量。那么矢量的點乘就可以寫成這樣：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）。因為點乘是滿足分配律（見性質(zhì)2）的，所以我們可以把上面的結(jié)果直接完全展開成：x1x2xx+x1y2xy+y1x2yx+y1y2yy。

然后下面是重點：因為矢量x和y是分別沿著x軸和y軸的，所以它們是相互垂直的，而根據(jù)性質(zhì)3，兩個矢量如果相互垂直，它們的點乘結(jié)果就是0。也就是說，xy=yx=0，那么我們展開式的中間兩項x1y2xy+y1x2yx就直接等于0。而根據(jù)性質(zhì)4，xx= yy=1（因為x和y都是長度為1的單位矢量，自己跟自己點乘方向肯定一樣）。

于是，我們就可以發(fā)現(xiàn)兩個矢量點乘之后的結(jié)果只剩下第一項和第四項的系數(shù)部分了，也就是說：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）= x1x2 +y1y2。

08梯度的誕生

對于很多高中生來說，這只是一個熟悉得不能再熟悉的結(jié)論，但是我還是從頭到尾給大家扎扎實實的推導(dǎo)了一遍。長尾科技不喜歡那種憑空突然冒出一個結(jié)論的感覺，所以我也希望讀者看我的文章，每個結(jié)論得出來都是踏踏實實的，都是嚴密的邏輯推導(dǎo)出來的。這個式子有什么用呢？我們看看它的后面一半（帶箭頭的x，y表示矢量，對應(yīng)上面公式里的黑體x,y）：

再對比一下我們上面推導(dǎo)出來的全微分定理：

這個全微分定理的右邊跟矢量點乘的右邊是不是很像？都是兩個量相乘然后把結(jié)果加起來。如果我們把dx看作x2，dy看作y2，兩個偏導(dǎo)數(shù)看作x1和y1，那么我們就可以按照這個點乘的公式把這個全微分定理拆成兩個矢量點乘的樣子，即dz可以寫成這樣：

于是，dz就被我們拆成了兩個矢量點乘的樣子，我們再來仔細看看這兩個矢量：右邊的這個矢量的兩個分量分別是dx和dy，這分別是我沿著x軸和y軸分別移動無窮小的距離，它們相加的結(jié)果用dl來表示:

而左邊呢，左邊這個矢量的兩個分量分別是函數(shù)z=f(x,y)對x和y的兩個偏導(dǎo)數(shù)，這個我們也用一個新的符號來表示它：

繞了這么久，我們現(xiàn)在終于看到這個▽符號了，這個▽z的名字就叫：z的梯度。

把左右兩邊的矢量都單獨拎出來之后，我們就可以把原來的式子寫成更簡單的樣子：

這一段信息量有點大，對于沒接觸過矢量分析的人來說可能會稍有不適。我們前面繞那么大彎子講全微分dz，講矢量的點乘，都是為了引出這個式子，然后從中提煉出梯度▽z的概念。不是很理解的朋友可以好好再看一看上面的文章，再想一下，長尾君基本上是從零開始一步一步寫到這里來的，只要耐心看肯定能看懂~

搞懂了這些事情的來龍去脈之后，我們就來重點看看我們引出來的▽z，也就是z的梯度。

09梯度的性質(zhì)

這個梯度我們要怎么去看呢？首先▽z是一個矢量，是矢量就既有大小又有方向，我們先來看看梯度的方向。

上面我們已經(jīng)得到了dz=▽z·dl，把dz表示成了兩個矢量的點乘，那我們再根據(jù)矢量點乘的定義把它們展開，就可以寫成這樣：

這個dz則表示山的高度的一個微小變化，那么，沿著哪個方向走這個變化是最快的呢？也就是說我選擇哪個方向會使得dz的變化最大？

Cosθ表示的是直角三角形里鄰邊和斜邊的比值，而斜邊總是比兩個直角邊大的，所以它的最大值只能取1（極限情況，θ=0°的時候），最小為0（θ=90°）。而根據(jù)上面的dz=|▽z||dl|cosθ，顯然你要讓dz取得最大值，就必須讓cosθ取最大值1，也就是必須讓▽z和dl這兩個矢量的夾角θ=0°。

兩個矢量的夾角等于0是什么意思？那就是這兩個矢量的方向一樣啊。也就是說：如果我們移動的方向（dl的方向）跟梯度▽z的方向一致的時候，dz的變化最大，我們高度變化最大。這就告訴我們：梯度▽z的方向就是高度變化最快的方向，就是山坡最陡的方向。

假設(shè)你站在一個山坡上四處遙望，那個最陡的地方就是梯度的方向，如果你去測量這個方向的斜率，那這就是梯度的大小。所以，梯度這個名字還是非常形象的。

10▽算子

我們再仔細看一下梯度▽z的表示:

這是一個矢量，但是它看起來好像是▽和一個標量z“相乘”，我們把這個z提到括號的外面來，這時候這個梯度▽z就可以寫成這樣：

所以，如果把▽單獨拎出來，就得到了這樣一個東西：

這個東西就值得我們玩味了，這是啥？▽z表示的是二元函數(shù)z=f(x,y)的梯度，也就是說我們先有一個函數(shù)z，然后我們把這個▽往函數(shù)z前面一放，我們就得到z的梯度。從函數(shù)z得到z的梯度的具體過程就是對這個函數(shù)z分別求x的偏導(dǎo)和y的偏導(dǎo)。

也就是說，單獨的▽是這么個東西：我▽自己本身并不是什么具體的東西，我需要你給我一個函數(shù)，然后我對你這個函數(shù)進行一頓操作（求x和y的偏導(dǎo)），最后返回一個這個函數(shù)的梯度給你。這就像是有一個特定功能的模具：你給我一堆面粉，我一頓處理之后返回你一個餅。但是顯然的，它并不是面粉，也不是餅，它單獨的存在沒有什么意義，它一定要跟面粉結(jié)合才能產(chǎn)生有具體意義的東西。

這種東西叫算子，▽就叫▽算子?；?strong>▽算子的巨大影響力，它又有一大堆其他的名字：從它的具體功能上來看，它被稱為矢量微分算子；因為它是哈密頓引入進來的，所以它又被稱為哈密頓算子；從讀音上來說，它又被稱為nabla算子或者del算子。這些大家了解一下，知道其他人在談?wù)撨@個的時候都是在指▽算子就行了。

11梯度、散度和旋度

▽算子不是一個矢量，除非你把它作用在一個函數(shù)上，否則它沒啥意義。但是，它在各個方面的表現(xiàn)確實又像一個矢量，只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。

一個矢量一般來說有3種“乘法”：

1、矢量A和一個標量a相乘：aA。比如我把一個矢量A大小變?yōu)樵瓉淼?倍，方向不變，那么這時候就可以寫成2A。

2、矢量A和一個矢量B進行點乘：A·B。這個點乘我們上面介紹很多了，A·B=|A||B|Cosθ，這里就不說了。

3、矢量A和一個矢量B進行叉乘：A×B。這個叉乘跟點乘類似，也是我們單獨針對矢量定義的另外一種乘法，A×B=|A||B|Sinθ。大家可以看到，這個叉乘跟點乘唯一的區(qū)別就是：點乘是兩個矢量的大小乘以它們的余弦值Cosθ，叉乘是兩個矢量的大小乘以它們的正弦值Sinθ（在直角三角形里，角的對邊和斜邊的比為正弦Sinθ，鄰邊和斜邊的比值為余弦Cosθ）。

那么，同樣的，我們的▽算子也有3種作用方式：

1、▽算子作用在一個標量函數(shù)z上：▽z。這個▽z我們上面說過了，它表示函數(shù)z的梯度，它表示這個函數(shù)z變化最快的方向。

2、▽算子跟一個矢量函數(shù)E點乘：▽·E。這就表示E的散度，我們開篇講的高斯電場定律的左邊就是電場E的散度，它就是表示成▽·E這樣。

3、▽算子跟一個矢量函數(shù)E叉乘：▽×E。它叫E的旋度，這個我們后面會再詳細說。

這樣，我們就以一種很自然的方式引出了這三個非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。大家可以看到，▽算子的這三種作用跟矢量的三種乘法是非常相似的，只不過▽是一個算子，它必須作用在一個函數(shù)上才行，所以我們把上面的標量和矢量換成了標量函數(shù)和矢量函數(shù)。

我們在描述山的高度的函數(shù)z=f(x,y)的時候，不同的點（x,y）對應(yīng)不同的山的高度，而山的高度只有大小沒有方向，所以這是個標量函數(shù)，我們可以求它的梯度▽z。但是，電場E既有大小又有方向，這是一個矢量，所以我們可以用一個矢量函數(shù)E=f(x,y)表示空間中不同點（x,y）的電場E的分布情況。那么對這種矢量函數(shù)，我們就不能去求它的梯度了，我們只能去求它的散度▽·E和旋度▽×E。

為了讓大家對這些能夠有更直觀的概念，我們接下來就來仔細看看電場的散度▽·E。

12電場的散度

當我們把電場的散度寫成▽·E這樣的時候，我們會覺得：啊，好簡潔！但是我們也知道▽算子的定義是這樣的：

那么▽·E就應(yīng)該寫成這樣：

而我們知道電場E其實是一個矢量函數(shù)（不同點對應(yīng)的電場的情況），那我們還是可以把E分解成x,y兩個分量的和，這兩個分量后面跟一個x和y方向的單位向量就行了。那么，上面的式子就可以寫成這樣：

然后，因為矢量點乘是滿足分配律的，所以我們可以把他們按照普通乘法一樣展開成四項。而x和y是垂直的單位向量，所以x·y=y·x=0，x·x=y·y=1，然后我們最后剩下的就只有這兩項了（這一塊的推導(dǎo)邏輯跟“坐標系下的矢量點乘”那一節(jié)一樣，覺得有點陌生的可以再返回去看看那一部分）：

這就是電場E的散度的最終表達式，它的意思很明顯：我們求電場E的散度就是把矢量函數(shù)E分解成x和y方向上的兩個函數(shù)，然后分別對它們求偏導(dǎo)，最后再把結(jié)果加起來就行了。

為了讓大家對這個有個更直觀的概念，我們來看兩個小例子：

例1：求函數(shù)y=2x+1的導(dǎo)數(shù)。

這個函數(shù)的圖像是一條直線（不信的可以自己去找一些x的值，代入進去算算y的值，然后把這些點畫在圖上），它的斜率是2，也就是說導(dǎo)數(shù)是2。也就是說，對于一次函數(shù)（最多只有x，沒有x的平方、立方……），它的導(dǎo)數(shù)就是x前面的系數(shù)（2x前面的2），而后面的常數(shù)（1）對導(dǎo)數(shù)沒有任何影響。

例2：求電場E=2x+yy的散度。

我們先來看看這個電場E，它在x方向上（2x）的系數(shù)是2，也就是說它的電場強度是不變的，一直都是2。但是，在y方向上（yy）的系數(shù)是y，也就是說當我越來越遠離y軸的時候，這個系數(shù)y也會越來越多，這就表示y方向上的電場強度會越來越大。

所以E=2x+yy描述的是這樣一個在x軸方向上不變，在y軸方向上不斷變大的電場。要求這個電場的散度，根據(jù)上面的式子，我們得先求出電場的偏導(dǎo)數(shù)，那偏導(dǎo)數(shù)要怎么求呢？還記得我們是怎么得到偏導(dǎo)數(shù)這個概念的么？我們是固定y的值，也就是假設(shè)y的值不變，把y看作一個常數(shù)，這時候求得了對x的偏導(dǎo)數(shù)；同樣，把x當做一個常數(shù)，求函數(shù)對y的偏導(dǎo)數(shù)。

那么，當我們求函數(shù)對x的偏導(dǎo)數(shù)?E/?x時，我們可以把y當作常數(shù)（就像例1中后面的1一樣）。如果y是常數(shù)，x方向前面的系數(shù)又是2，也是常數(shù)，所以這整個就變成了一個常數(shù)（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0），所以?E/?x=0。同樣，當我們求y的偏導(dǎo)的時候，就把x都看成常數(shù)（導(dǎo)數(shù)為0），而y方向前面的系數(shù)為y（導(dǎo)數(shù)為1），所以?E/?y=0+1=1。

那么電場E的散度▽·E就可以表示成這兩個偏導(dǎo)數(shù)的和：▽·E=?E/?x+?E/?y=0+1=1，也就是說，電場E的散度為1。

這雖然是一個非常簡單的求電場散度的例子，但是卻包含了我們求偏導(dǎo)，求散度的基本思想。通過這種方式，我們可以很輕松的就把電場E的散度▽·E求出來了。

補了這么多的數(shù)學(xué)和推導(dǎo)，我們現(xiàn)在有了一個定義良好，計算方便的散度▽·表達式了，但是，你還記得我們在開始講到的散度的定義么？我們最開始是怎樣引入散度的呢？

我們是從麥克斯韋方程組的積分形式引入散度的。高斯電場定律說通過一個閉合曲面的電通量跟這個閉合曲面包含的電荷量成正比，而且這個曲面可以是任意形狀。然后我們?yōu)榱藦暮暧^進入微觀，就讓這個曲面不停地縮小縮小，當它縮小到無窮小，縮小到只包含了一個點的時候，這時候我們就說通過這個無窮小曲面的通量和體積的比就叫散度（用div表示）。

也就是說，我們最開始從無窮小曲面的通量定義來的散度和我們上面通過偏導(dǎo)數(shù)定義來的散度▽·指的是同一個東西。即：

13為何這兩種散度是等價的？

很多人可能覺得難以理解，這兩個東西的表達形式和來源都完全不一樣，它們怎么會是同一個東西呢？但是它們確實是同一個東西，那我們?yōu)槭裁匆獌商讝|西出來呢？在最開始我也說了，通過無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解，跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯(lián)系，但是這種定義不好計算（上面的例2，你用這種方式去求它的散度試試？），所以我們需要找一種能方便計算、實際可用的方式，這樣才出現(xiàn)了▽·形式的散度。

至于為什么這兩種形式是等價的，我給大家提供一個簡單的思路。因為這畢竟是面向大眾的科普性質(zhì)的文章，具體的證明過程我就不細說了。真正感興趣的朋友可以順著這個思路去完成自己的證明，或者來我的社群（回復(fù)“社群”即可）里討論。

證明思路：我們假設(shè)有一個邊長分別為Δx、Δy、Δz的小長方體，空間中的電場為E(x,y,z)，然后假設(shè)在這個長方體的正中心有一個點（x,y,z）,那么這個電場通過這個長方體前面（沿著x軸正方向）的電場就可以表示為：Ex（x+Δx/2,y,z）。Ex表示電場在x方向上的分量（因為我們是考慮長方體上表面的通量，所以只用考慮電場的x分量），因為中心坐標為（x,y,z），那么沿著x軸移動到表面的坐標自然就是（x+Δx/2,y,z）。而這個面的面積為ΔyΔz，那么通過前面的電通量就可以寫成：Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz。

同樣的，通過長方體后面（沿著x軸的負方向）的電通量，就可以寫成Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz。因為這兩個面的方向是相反的（前面后面，一個沿著x軸正方向，一個沿著負方向），所以，這兩個沿著x軸方向的面的電通量之和Φx就應(yīng)該是兩者相減：Φx=（Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz- Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz）。

如果我們兩邊都除以Δv（其中，Δv=ΔxΔyΔz），那么就得到：Φx/Δv=（Ex（x+Δx/2,y,z）- Ex（x-Δx/2,y,z））/Δx，然后你會發(fā)現(xiàn)等式的右邊剛好就是偏導(dǎo)數(shù)的定義（標準的極限定義）。也就是說，電場通過沿著x軸的兩個面（前后兩面）的通量之和就等于電場的x分量對x的偏導(dǎo)數(shù)：Φx/Δv=?Ex/?x。

同樣的，我們發(fā)現(xiàn)電場沿著y軸的兩面（左右兩面）和z軸的兩面（上下兩面）的電通量之和分別就等于電場的y分量和z分量對y和z的偏導(dǎo)：Φy/Δv=?Ey/?y，Φz/Δv=?Ez/?z。然后我們把這三個式子加起來，左邊就是電場通過六個面的通量除以體積，也就是通過這個長方體的通量除以體積，右邊就是我們▽·E的形式，這分別就是我們上面兩種散度的表示方式，證明完成。

這個證明一時半會沒看懂也沒關(guān)系，感興趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通過這種方式讓大家明白通過某一方向的兩個面的通量跟這方向的偏導(dǎo)數(shù)之間是存在這種對應(yīng)關(guān)系的，這樣我們就容易接受無窮小曲面的通量和▽·這兩種散度的定義方式了。

這兩種散度的定義方式各有所長，比如我們在判斷某一點的散度是否為零的時候，我用第一個定義，去看看包含這個點的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。如果這一點有電荷，那么這個無窮小曲面的電通量肯定就不為零，它的散度也就不為零；如果這個無窮小曲面沒有包含電荷，那這一點的散度一定為0，這就是高斯電場定律的微分方程想要告訴我們的東西。但是，如果你要計算這一點的散度是多少，那還是乖乖的拿起▽·去計算吧。

14散度的幾何意義

此外，跟梯度一樣，散度這個名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“散開的程度”，這種說法很容易讓初學(xué)者誤解或者迷惑，比如一個正電荷產(chǎn)生的產(chǎn)生的如下的電場線，它看起來是散開的，所以很多就會認為這里所有的點的散度都是不為零的，都是正的。

但是，根據(jù)我們上面分析，散度反映的是無窮小曲面的通量，這直接跟這一點是否有電荷對應(yīng)。那么，這個圖的中心有一個正電荷，那么這點的散度不為零沒毛病，但是其他地方呢？其他地方看起來也是散開的，但是其他地方并沒有電荷，沒有電荷的話，其他點電場的散度就應(yīng)該為0（因為這個地方無窮小曲面的通量有進有出，它們剛好抵消了），而不是你看起來的好像是散開的，所以為正。

也就是說，對于一個點電荷產(chǎn)生的電場，只有電荷所在的點的散度不為0，其他地方的散度都為0。我們不能根據(jù)一個電場看起來是散開的就覺得這里的散度都不為0，那么，這個散開到底要怎么理解呢？

你可以這么操作：你把電場線都想象成水流，然后拿一個非常輕的圓形橡皮筋放到這里，如果這個橡皮筋的面積變大，我們就說這個點的散度為正，反正為負。如果你把橡皮筋丟在電荷所在處，那么這點所有方向都往外流，那么橡皮筋肯定會被沖大（散度為正）；但是在其他地方，橡皮筋會被沖走，但是不會被沖大（散度為0），因為里外的沖力抵消了。這樣的話，這種散開的模型跟我們無窮小曲面的通量模型就不再沖突了。

15方程一：高斯電場定律

說了這么多，又是證明不同散度形式（無窮小曲面的通量和▽·）的等價性，又是說明不同散度理解方式的同一性（無窮小曲面的通量和散開的程度），都是為了讓大家從更多的維度全方位的理解散度的概念，盡量避開初學(xué)者學(xué)習散度會遇到的各種坑。理解了這個散度的概念之后，我們再來看麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的微分形式就非常容易理解了：

方程的左邊▽·E表示電場在某一點的散度，方程右邊表示電荷密度ρ和真空介電常數(shù)的比值。為什么右邊要用電荷密度ρ而不是電荷量Q呢？因為散度是無窮小曲面的通量跟體積的比值，所以我們的電量也要除以體積，電量Q和體積V的比值就是電荷密度ρ。對比一下它的積分形式：

兩邊都除以一個體積V，然后曲面縮小到無窮小：左邊的通量就變成了電場的散度▽·E，右邊的電荷量Q就變成了電荷密度ρ，完美！

麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式是一一對應(yīng)的，理解這種對應(yīng)的關(guān)鍵就是理解散度（和后面的旋度）這兩種不同定義方式背后的一致性，它是溝通積分和微分形式的橋梁。理解了它們，我們就能在這兩種形式的切換之間如魚得水，我們就能一看到積分形式就能寫出對應(yīng)的微分形式，反之亦然。

16方程二：高斯磁場定律

理解了高斯電場定律的微分形式，那么高斯磁場定律的微分形式就能輕松寫出來了。因為現(xiàn)在還沒有找到磁單極子，磁感線都是閉合的曲線，所以閉合曲面的磁通量一定恒為0，這就是高斯磁場定律積分形式的思想：

那么，我們一樣把這個曲面縮小到無窮小，通過這個無窮小曲面的磁通量就叫磁場的散度，那么方程的左邊就變成了磁場的散度，而右邊還是0。也就是說：磁場的散度處處為0。所以，麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的微分形式就是：

17旋度

靜電和靜磁的微分形式我們已經(jīng)說完了，那么接下來就是磁如何生電的法拉第定律了。關(guān)于法拉第是如何通過實驗一步一步發(fā)現(xiàn)法拉第定律的內(nèi)容，我在積分篇里已經(jīng)詳細說了，這里就不再多說。對法拉第定律的基本思想和積分形式的內(nèi)容還不太熟悉的請先去看上一篇積分篇的內(nèi)容。

法拉第定律是法拉第對電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一個總結(jié)，他發(fā)現(xiàn)只要一個曲面的磁通量（B·a）發(fā)生了改變，那么就會在曲面的邊緣感生出一個旋渦狀的電場E出來。這個旋渦狀的感生電場我們是用電場的環(huán)流來描述的，也就是電場沿著曲面邊界進行的線積分。

用具體的公式表示就是這樣：

公式左邊是電場E的環(huán)流，用來描述這個被感生出來的電場，而公式的右邊是磁通量的變化率，用來表示磁通量變化的快慢。

這個法拉第定律是用積分形式寫的，我們現(xiàn)在要得到它的微分形式，怎么辦？那當然還是跟我們上面的操作一樣：從積分到微分，我把它無限縮小就行了。那么，這里我們把這個非閉合曲面縮小縮小，一直縮小到無窮小，那么我們這里就出現(xiàn)了一個無窮小曲面的環(huán)流。

還記得我們怎么定義散度的么？散度就是通過無窮小閉合曲面的通量和閉合曲面體積的比值，而我們這里出現(xiàn)了一個無窮小非閉合曲面的環(huán)流，因為非閉合曲面就沒有體積的說法，只有面積。那么，通過無窮小非閉合曲面的環(huán)流和曲面面積的比值，會不會也有是一個另外什么量的定義呢？

沒錯，這確實是一個全新的量，而且這個量我們在前面稍微提到了一點，它就是旋度。我們把▽算子跟矢量做類比的時候，說一個矢量有三種乘法：跟標量相乘、點乘和叉乘。那么同樣的，▽算子也有三種作用：作用在標量函數(shù)上叫梯度（▽z）,以點乘的方式作用在矢量函數(shù)上被稱為散度（▽·z），以叉乘的方式作用在矢量函數(shù)上被稱為旋度（▽×z）。

也就是說，我們讓▽算子以叉乘的方式作用在電場E上，我們就得到了電場E的旋度▽×E，而這個旋度的另一種定義就是我們上面說的無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個曲面的面積之比。因為旋度的英文單詞是curl，所以我們用curl（E）表示電場的旋度。所以，我們就可以寫下下面這樣的式子：

跟散度的兩種定義方式一樣，我們這里的旋度也有▽×和無窮小曲面的環(huán)流兩種表述方式。在散度那里，我給大家證明了那兩種散度形式等價性，在旋度這里我就不再證明了，感興趣的朋友可以按照類似的思路去嘗試證明一下。

18矢量的叉乘

因為旋度是▽算子以叉乘×的方式作用在矢量場上，所以這里我們來簡單的看一下叉乘。兩個矢量A和B的點乘被定義為：A·B=|A||B|Cosθ，它們的叉乘則被定義為A×B=|A||B|Sinθ，其中θ為它們的夾角。單從這樣看，它們之間的差別好像很小，只不過一個是乘以余弦Cosθ，另一個是乘以正弦Sinθ。

從它們的幾何意義來說，點乘表示的是投影，因為|OA|Cosθ剛好就是OA在OB上的投影，也就是OC的長度。如下圖：

那么叉乘呢？叉乘是|OA|Sinθ，這是AC的長度，那么A×B=|A||B|Sinθ=|AC||OB|，這是啥？這是面積啊，如果我以O(shè)A和OB為邊長作一個平行四邊形，那么AC就剛好是這個平行四邊形的高，也就是說，矢量A和B的叉乘（A×B=|AC||OB|）就代表了平行四邊形OADB的面積。

關(guān)于矢量的叉乘就說這么多，在前面講矢量點乘的時候我還詳細介紹了點乘的性質(zhì)和坐標運算的方法，那是因為為了自然的引出▽算子，不得不講那些。叉乘也有類似的性質(zhì)和坐標運算的法則，這個在網(wǎng)上隨便一搜或者找一本任意矢量分析的書都能找到。而且，你現(xiàn)在不會熟練的進行叉乘運算，并不會影響你對麥克斯韋方程組的微分形式的理解，這里了解一下它的定義和幾何意義就行了。

19方程三：法拉第定律

好，知道了矢量的叉乘，知道了▽×E可以表示電場的旋度，而且知道旋度的定義是：無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看法拉第定律的積分形式：

公式的左邊是電場的環(huán)流，右邊是磁通量的變化率，它告訴我們變化的磁通量會在曲面邊界感生出電場。我在積分篇里說過，磁通量（B·a）的變化可以有兩種方式：磁場（B）的變化和通過曲面面積（S）的變化，我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內(nèi)。但是，還有的學(xué)者認為只有磁場（B）的變化產(chǎn)生的電場才算法拉第定律，所以法拉第定律還有另外一個版本：

這個版本的把原來對整個磁通量（B·da）的求導(dǎo)變成了只對磁感應(yīng)強度B的求偏導(dǎo)，這就把磁感線通過曲面面積變化的這種情況給過濾了。

在積分形式里有這樣兩種區(qū)別，但是在微分形式里就沒有這種區(qū)分了。為什么？你想想我們是怎么從積分變到微分的？我們是讓這個曲面不停的縮小縮小，一直縮小到無窮小，這個無窮小的曲面就只能包含一個沒有大小的點了，你還讓它的面積怎么變？所以我們的微分形式就只用考慮磁感應(yīng)強度B的變化就行了（對應(yīng)后面那個法拉第定律）。

我們現(xiàn)在假設(shè)把那個曲面縮小到無窮小，方程的左邊除以一個面積ΔS，那就是電場的旋度▽×E的定義：

左邊除了一個面積ΔS，那右邊也得除以一個面積，右邊本來是磁感應(yīng)強度的變化率（?B/?t）和面積的乘積，現(xiàn)在除以一個面積，那么剩下的就是磁感應(yīng)強度的變化率?B/?t了。那么，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的微分形式自然就是這樣：

簡潔吧？清爽吧？這樣表示之后，法拉第定律的微分形式看起來就比積分形式舒服多了，而且它還只有這一種形式。直接從方程上來看，它告訴我們某一點電場的旋度等于磁感應(yīng)強度的變化率。簡單歸簡單，要理解這種公式，核心還是要理解左邊，也就是電場的旋度▽×E。

20旋度的幾何意義

我們知道旋度的定義是無窮小曲面的環(huán)流和面積的比值，但是它既然取了旋度這個名字，那么它跟旋轉(zhuǎn)應(yīng)該還是有點關(guān)系的。我們變化的磁場感生出來的電場也是一個旋渦狀的電場。那么，是不是只要看起來像漩渦狀的矢量場，它就一定有旋度呢？

這個問題我們在討論散度的時候也遇到過，很多初學(xué)者認為只要看起來發(fā)散的東西就是有散度的，然后我們通過分析知道這是不對的。一個點電荷產(chǎn)生靜電場，只要在電荷處散度不為零的，在其他地方，雖然看起來是散開的，其實它的散度是零。如果我們放一個非常輕的橡皮筋在上面，除了電荷所在處，其它地方這個橡皮筋是不會被撐開的（即便會被沖走），所以其他地方的散度都為零。

同樣的，在旋度這里，一個變換的磁場會產(chǎn)生一個旋渦狀的電場，在旋渦的中心，在磁場變化的這個中心點這里，它的旋度肯定是不為零的。但是，在其它地方呢？從公式上看，其它地方的旋度一定為零，為什么？因為其他地方并沒有變化的磁場啊，所以按照法拉第定律的微分形式，沒有變化的磁場的地方的電場的旋度肯定是0。

跟散度一樣，我們不能僅憑一個感生電場是不是旋轉(zhuǎn)狀的來判斷這點旋度是否為0，我們也需要借助一個小道具：小風車。我們把一個小風車放在某一點上，如果這個風車能轉(zhuǎn)起來，就說明這點的旋度不為0。你只要把風車放在感生電場中心以外的地方，就會發(fā)現(xiàn)如果外層的電場線讓小風車順時針轉(zhuǎn)，內(nèi)層的電場線就會讓小風車逆時針轉(zhuǎn)，這兩股力剛好抵消了。最終風車不會轉(zhuǎn)，所以旋度為0。

如果大家能理解靜電場除了中心點以外的地方散度處處為零，那么理解感生電場除了中心點以外的地方旋度處處為零就不是什么難事。在非中心點的地方，散度的流入流出兩股力量抵消了，旋度順時針逆時針的兩股力量抵消了，為什么剛好他們能抵消呢？本質(zhì)原因還是因為這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守平方反比定律，那么你去計算里外的散度和旋度，它們就不再為零。

關(guān)于旋度的事情就先說這么多，大家如果理解了旋度，對比法拉第定律的積分方程，要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了矢量的點乘和散度，作為類比，理解矢量的叉乘和旋度也不是什么難事，它們確實太相似了。

21方程四：安培-麥克斯韋定律

講完了磁生電的法拉第定律，我們麥克斯韋方程組就只剩最后一個電生磁的安培-麥克斯韋定律了。它描述的是電流和變化的電場如何產(chǎn)生旋渦狀的感生磁場的，因為它電的來源有電流和變化的電場兩項，所以它的形式也是最復(fù)雜的。方程的積分形式如下（具體過程見積分篇）：

左邊的磁場的環(huán)流，右邊是曲面包圍的電流（帶enc下標的I）和電場的變化率。它告訴我們，如果我們畫一個曲面，通過這個曲面的電流和這個曲面里電通量的變化會在曲面的邊界感生出一個旋渦狀的磁場出來，這個旋渦狀的磁場自然是用磁場的環(huán)流來描述。

可以想象，當我們用同樣的方法把這個曲面縮小到無窮小的時候，如果我們在方程的左右兩邊都除以這個曲面的面積，那么方程的左邊就成了磁場B的旋度▽×B，右邊的兩項除以一個面積會變成什么呢？

電通量的變化率除以面積之后就剩下電場的變化率?E/?t，這個跟法拉第定律的磁通量變化率除以面積類似。那么電流（帶enc的I）那一項呢？電流I除以面積得到的東西是什么？這里我們定義了一個新的物理量：電流密度J。很顯然，這個電流密度J就是電流除以電流通過的曲面的面積（注意不是體積）。相應(yīng)的，電流密度的單位是A/m2（安培每平方米）而不是A/m3。

這樣，麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律的微分形式就自然出來了：

雖然還是有點長，但是相比積分形式已經(jīng)是相當良心了，它告訴我們某一點感生磁場的旋度▽×B等于電流密度J和電場變化率?E/?t兩項的疊加。其實它跟積分形式講的都是一回事，都是在說電流和變化的電場能夠產(chǎn)生一個磁場，只不過積分形式是針對一個曲面，而微分形式只是針對一個點而已。

22麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說電場的散度跟這點的電荷密度成正比。

高斯磁場定律說磁場的散度處處為0。

法拉第定律說感生電場的旋度等于磁感應(yīng)強度的變化率。

安培-麥克斯韋定律說感生磁場的旋度等于電流密度和電場強度變化率之和。

這里最引入注目的就是▽算子了，它以點乘和叉乘的方式組成的散度▽·和旋度▽×構(gòu)成了麥克斯韋方程組微分形式的核心，這也是為什么我要花那么大篇幅從偏導(dǎo)數(shù)、矢量點乘一步步給大家引出▽算子的原因。也因為如此，微分篇的數(shù)學(xué)部分比積分篇要多得多得多，相對也要難以理解一些，所以大家要稍微有耐性一點。

從思想上來講，微分形式和積分形式表達的思想是一樣的，畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在于積分形式是從宏觀的角度描述問題，我們面對的宏觀上的曲面，所以要用通量和環(huán)流來描述電場、磁場；而微分形式是從微觀的角度來描述問題，這時候曲面縮小都無窮小，我們面對的東西就變成了一個點，所以我們使用散度和旋度來描述電場、磁場。

這一點是特別要強調(diào)的：通量和環(huán)流是定義在曲面上的，而散度和旋度是定義在一個點上的。我們可以說通過通過一個曲面的通量或者沿曲面邊界的環(huán)流，但是當我們在說散度和旋度的時候，我們都是在說一個點的散度和旋度。

理解了這些，你再回過頭去看看麥克斯韋方程組的積分形式：

我們只不過把定義在曲面上的通量和環(huán)流縮小到了一個點，然后順勢在這個點上用利用通量和環(huán)流定義了散度和旋度。因為定義散度和旋度分別還除了一個體積和面積，所以我們積分方程的右邊也都相應(yīng)的除了一個體積和面積，然后就出現(xiàn)了電荷密度ρ（電荷Q除以體積V）和電流密度J（電流I除以面積S），電通量和磁通量那邊除以一個體積和面積就剩下電場強度E和磁感應(yīng)強度B的變化率，僅此而已。

如果我們從這種角度去看麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式，你就會覺得非常的自然和諧。給出積分形式，你一想散度和旋度的定義，就可以立馬寫出對應(yīng)的微分形式；給出微分形式，再想一想散度和旋度的定義，也能立刻寫出對應(yīng)的積分形式。當我想從宏觀入手的時候，我看到了曲面上的通量和環(huán)流；當我想從微觀入手的時候，我也能立馬看到一個點上的散度和旋度。積分和微分形式在這里達成了一種和諧的統(tǒng)一。

23結(jié)語

到這里，麥克斯韋方程組的積分篇和微分篇就都說完了。長尾君在這兩篇文章里先從零開始引出了通量，然后從通量的概念慢慢引出了麥克斯韋方程組的積分形式，再從積分形式用“把曲面壓縮到無窮小”推出了對應(yīng)的微分形式。整個過程我都極力做到“通俗但不失準確”，所有新概念的引出都會先做層層鋪墊，絕不從天而降的拋出一個新東西。目的就是為了讓多的人能夠更好的了解麥克斯韋方程組，特別是讓中學(xué)生也能看懂，能理解麥克斯韋方程組的美妙，同時也激發(fā)出他們對科學(xué)的好奇和熱愛之心，打消他們對“高深”科學(xué)的畏懼之心：看，這么高大上的麥克斯韋方程組，年紀輕輕的我也能看懂，也能掌握~

此外，麥克斯韋方程組是真的很美，你掌握的物理知識越多，就會越覺得它美。我也更希望大家是因為它的美而喜歡這個方程組，而不僅僅是因為它的“重要性”。我們也都知道，麥克斯韋寫出這套方程組以后，就從方程推導(dǎo)出了電磁波，當他把相關(guān)的參數(shù)代入進去算出電磁波的速度的時候，他驚呆了！他發(fā)現(xiàn)這個電磁波的速度跟人們實驗測量的光速極為接近，于是他給出了一個大膽的預(yù)測：光就是一種電磁波。

可惜的是，英年早逝的麥克斯韋（48歲去世）并沒能看到他的預(yù)言被證實，人類直到他去世9年后，也就是1888年才由赫茲首次證實了“光是一種電磁波”。那么，麥克斯韋是怎么從方程組導(dǎo)出電磁波的呢？既然我們已經(jīng)學(xué)完了麥克斯韋方程組，想必大家也很知道如何從這套方程組推導(dǎo)出電磁波的方程，然后親眼見證“電磁波的速度等于光速”這一奇跡時刻。這部分的內(nèi)容，長尾科技下篇文章再說。