11梯度、散度和旋度
▽算子不是一個 矢量，除非你把它 作用在一個函數(shù)上，否則它沒啥意義。但是，它在各個方面的表現(xiàn)確實又像一個矢量，只要你把▽算子的“ 作用”看成矢量的“ 相乘”。 一個 矢量一般來說有3種“ 乘法”：1、矢量 A和一個標(biāo)量a 相乘：a A 。比如我把一個矢量 A大小變?yōu)樵瓉淼?倍，方向不變，那么這時候就可以寫成2 A。2、矢量 A和一個矢量 B進行 點乘： A·B。這個點乘我們上面介紹很多了， A·B=| A|| B|Cosθ，這里就不說了。3、矢量 A和一個矢量 B進行 叉乘： A×B。這個叉乘跟點乘類似，也是我們單獨針對矢量定義的另外一種乘法， A×B=| A|| B|Sinθ。大家可以看到，這個叉乘跟點乘唯一的區(qū)別就是： 點乘是兩個矢量的大小乘以它們的 余弦值Cosθ，叉乘是兩個矢量的大小乘以它們的 正弦值Sinθ（在直角三角形里，角的 對邊和斜邊的比為正弦Sinθ， 鄰邊和斜邊的比值為余弦Cosθ）。 那么，同樣的，我們的 ▽算子也有3種 作用方式：1、▽算子作用在一個 標(biāo)量函數(shù) z上：▽z。這個▽z我們上面說過了，它表示函數(shù)z的 梯度，它表示這個函數(shù)z變化最快的方向。2、▽算子跟一個 矢量函數(shù)E 點乘： ▽·E。這就表示E的 散度，我們開篇講的高斯電場定律的左邊就是電場E的散度，它就是表示成 ▽·E這樣。3、▽算子跟一個 矢量函數(shù)E 叉乘： ▽×E。它叫E的 旋度，這個我們后面會再詳細說。
這樣，我們就以一種很自然的方式引出了這三個非常重要的概念： 梯度（▽z ）、 散度（▽·E）和 旋度（▽×E）。大家可以看到，▽算子的這三種作用跟矢量的三種乘法是非常相似的，只不過▽是一個算子，它必須作用在一個 函數(shù)上才行，所以我們把上面的標(biāo)量和矢量換成了 標(biāo)量函數(shù)和 矢量函數(shù)。 我們在描述山的 高度的函數(shù) z=f(x,y)的時候，不同的點（x,y）對應(yīng)不同的山的高度，而山的高度只有大小沒有方向，所以這是個標(biāo)量函數(shù)，我們可以求它的 梯度▽z。但是， 電場E既有大小又有方向，這是一個矢量，所以我們可以用一個矢量函數(shù) E=f(x,y)表示空間中不同點（x,y）的電場E的分布情況。那么對這種 矢量函數(shù)，我們就不能去求它的 梯度了，我們只能去求它的 散度▽·E和 旋度▽×E。
為了讓大家對這些能夠有更直觀的概念，我們接下來就來仔細看看電場的散度▽·E。
12電場的散度
當(dāng)我們把電場的散度寫成 ▽·E這樣的時候，我們會覺得：啊，好簡潔！但是我們也知道▽算子的定義是這樣的：
也就是說，我們最開始從 無窮小曲面的通量定義來的 散度和我們上面通過 偏導(dǎo)數(shù)定義來的 散度▽·指的是同一個東西。即：
13為何這兩種散度是等價的？
很多人可能覺得難以理解，這兩個東西的表達形式和來源都完全不一樣，它們怎么會是同一個東西呢？但是它們確實是同一個東西，那我們?yōu)槭裁匆獌商讝|西出來呢？在最開始我也說了，通過 無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解，跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯(lián)系，但是這種定義 不好計算（上面的例2，你用這種方式去求它的散度試試？），所以我們需要找一種能方便計算、實際可用的方式，這樣才出現(xiàn)了▽·形式的散度。 至于為什么這兩種形式是等價的，我給大家提供一個 簡單的思路。因為這畢竟是面向大眾的科普性質(zhì)的文章，具體的證明過程我就不細說了。真正感興趣的朋友可以順著這個思路去完成自己的證明，或者來我的 社群（回復(fù)“ 社群”即可）里討論。 證明思路：我們假設(shè)有一個邊長分別為Δx、Δy、Δz的小長方體，空間中的電場為E(x,y,z)，然后假設(shè)在這個長方體的正中心有一個點（x,y,z）,那么這個電場通過這個長方體 前面（沿著x軸 正方向）的 電場就可以表示為： Ex（x+Δx/2,y,z）。Ex表示電場在x方向上的分量（因為我們是考慮長方體上表面的通量，所以只用考慮電場的x分量），因為中心坐標(biāo)為（x,y,z），那么沿著x軸移動到表面的坐標(biāo)自然就是（ x+Δx/2,y,z）。而這個面的 面積為 ΔyΔz，那么通過前面的電通量就可以寫成： Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz。 同樣的，通過長方體 后面（沿著x軸的 負方向）的 電通量，就可以寫成 Ex（x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz。因為這兩個面的方向是 相反的（前面后面，一個沿著x軸正方向，一個沿著負方向），所以，這兩個沿著x軸方向的面的電通量之和 Φx就應(yīng)該是兩者相減： Φx=（ Ex（x+Δx/2,y,z）·ΔyΔz- Ex （x-Δx/2,y,z）·ΔyΔz）。 如果我們兩邊都除以 Δv（其中， Δv=ΔxΔyΔz），那么就得到： Φx/Δv=（Ex（x+Δx/2,y,z）- Ex （x-Δx/2,y,z））/Δx，然后你會發(fā)現(xiàn)等式的右邊剛好就是 偏導(dǎo)數(shù)的 定義（標(biāo)準的極限定義 ）。也就是說， 電場通過沿著x軸的兩個面（前后兩面）的通量之和就等于電場的x分量對x的偏導(dǎo)數(shù)： Φx/Δv=Ex/x。 同樣的，我們發(fā)現(xiàn)電場沿著 y軸的兩面（左右兩面）和 z軸的兩面（上下兩面）的電通量之和分別就等于電場的y分量和z分量對y和z的 偏導(dǎo)： Φy/Δv=Ey/y， Φz/Δv=Ez/z。然后我們把這三個式子 加起來， 左邊就是電場通過六個面的通量除以體積，也就是通過這個長方體的通量除以體積，右邊就是我們▽·E的形式，這分別就是我們上面兩種 散度的表示方式， 證明完成。 這個證明一時半會沒看懂也沒關(guān)系，感興趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通過這種方式讓大家明白 通過某一方向的兩個面的通量跟 這方向的偏導(dǎo)數(shù)之間是存在這種對應(yīng)關(guān)系的，這樣我們就容易接受 無窮小曲面的通量和 ▽·這兩種散度的定義方式了。 這兩種散度的定義方式各有所長，比如我們在判斷某一點的散度是否為零的時候，我用第一個定義，去看看包含這個點的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。 如果這一點有電荷，那么這個無窮小曲面的電通量肯定就不為零，它的散度也就不為零；如果這個無窮小曲面沒有包含電荷，那這一點的散度一定為0，這就是 高斯電場定律的 微分方程想要告訴我們的東西。但是，如果你要計算這一點的散度是多少，那還是乖乖的拿起▽·去計算吧。
14散度的幾何意義
此外，跟梯度一樣，散度這個名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“ 散開的程度”，這種說法很容易讓初學(xué)者誤解或者迷惑，比如一個正電荷產(chǎn)生的產(chǎn)生的如下的電場線，它看起來是散開的，所以很多就會認為這里 所有的點的散度都是不為零的，都是正的。
15方程一： 高斯電場定律
說了這么多，又是證明不同散度形式（ 無窮小曲面的通量和▽·）的 等價性，又是說明不同散度理解方式的 同一性（ 無窮小曲面的通量和 散開的程度），都是為了讓大家從更多的維度全方位的理解 散度的概念，盡量避開初學(xué)者學(xué)習(xí)散度會遇到的各種坑。理解了這個散度的概念之后，我們再來看 麥克斯韋方程組的 第一個方程—— 高斯電場定律的 微分形式就非常容易理解了：
16方程二： 高斯磁場定律
理解了高斯電場定律的微分形式，那么 高斯磁場定律的微分形式就能輕松寫出來了。因為現(xiàn)在還沒有找到磁單極子，磁感線都是閉合的曲線，所以 閉合曲面的磁通量一定恒為0，這就是 高斯磁場定律積分形式的思想：
17旋度
靜電和靜磁的微分形式我們已經(jīng)說完了，那么接下來就是 磁如何生電的 法拉第定律了。關(guān)于 法拉第是如何通過實驗一步一步發(fā)現(xiàn)法拉第定律的內(nèi)容，我在積分篇里已經(jīng)詳細說了，這里就不再多說。對 法拉第定律的 基本思想和 積分形式的內(nèi)容還不太熟悉的請先去看上一篇
積分篇
的內(nèi)容。 法拉第定律是法拉第對 電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一個總結(jié)，他發(fā)現(xiàn)只要一個曲面的 磁通量（B·a）發(fā)生了改變，那么就會在曲面的邊緣感生出一個 旋渦狀的 電場E出來。這個旋渦狀的 感生電場我們是用電場的 環(huán)流來描述的，也就是 電場沿著曲面邊界進行的線積分。
18矢量的叉乘
因為旋度是 ▽算子以 叉乘×的方式作用在 矢量場上，所以這里我們來簡單的看一下 叉乘。兩個矢量 A和 B的 點乘被定義為： A·B=| A|| B|Cosθ，它們的 叉乘則被定義為 A×B=| A|| B|Sinθ，其中θ為它們的夾角。單從這樣看，它們之間的差別好像很小，只不過一個是乘以 余弦Cosθ，另一個是乘以 正弦Sinθ。 從它們的 幾何意義來說， 點乘表示的是 投影，因為|OA|Cosθ剛好就是OA在OB上的投影，也就是OC的長度。如下圖：
19方程三： 法拉第定律
好，知道了矢量的叉乘，知道了 ▽×E可以表示 電場的旋度，而且知道旋度的定義是： 無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看 法拉第定律的 積分形式：
積分篇
里說過，磁通量（ B·a）的變化可以有兩種方式： 磁場（B）的變化和 通過曲面面積（S）的變化，我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內(nèi)。但是，還有的學(xué)者認為只有磁場（B）的變化產(chǎn)生的電場才算法拉第定律，所以法拉第定律還有另外一個版本：
20旋度的幾何意義
我們知道 旋度的定義是 無窮小曲面的環(huán)流和面積的比值，但是它既然取了旋度這個名字，那么它跟 旋轉(zhuǎn)應(yīng)該還是有點關(guān)系的。我們變化的磁場感生出來的電場也是一個 旋渦狀的電場。那么，是不是只要看起來像漩渦狀的矢量場，它就一定有旋度呢？
這個問題我們在討論 散度的時候也遇到過，很多初學(xué)者認為只要看起來發(fā)散的東西就是有散度的，然后我們通過分析知道這是不對的。一個點電荷產(chǎn)生靜電場，只要在電荷處散度不為零的，在其他地方，雖然看起來是散開的，其實它的 散度是 零。如果我們放一個非常輕的橡皮筋在上面，除了電荷所在處，其它地方這個橡皮筋是不會被撐開的（即便會被沖走），所以其他地方的散度都為零。
同樣的，在旋度這里，一個變換的磁場會產(chǎn)生一個旋渦狀的電場，在旋渦的中心，在磁場變化的這個中心點這里，它的旋度肯定是不為零的。但是，在其它地方呢？從公式上看，其它地方的旋度一定為零，為什么？因為其他地方 并沒有變化的磁場啊，所以按照 法拉第定律的 微分形式， 沒有變化的磁場的地方的電場的旋度肯定是0。 跟 散度一樣，我們不能僅憑一個感生電場是不是旋轉(zhuǎn)狀的來判斷這點旋度是否為0，我們也需要借助一個小道具： 小風(fēng)車。我們把一個小風(fēng)車放在某一點上，如 果這個風(fēng)車能轉(zhuǎn)起來，就說明這點的旋度不為0。你只要把風(fēng)車放在 感生電場中心 以外的地方，就會發(fā)現(xiàn)如果外層的電場線讓小風(fēng)車 順時針轉(zhuǎn)，內(nèi)層的電場線就會讓小風(fēng)車 逆時針轉(zhuǎn)，這兩股力剛好 抵消了。最終風(fēng)車不會轉(zhuǎn)，所以旋度為0。
如果大家能理解 靜電場除了中心點以外的地方 散度處處為零，那么理解 感生電場除了中心點以外的地方 旋度處處為零就不是什么難事。在非中心點的地方， 散度的流入流出兩股力量抵消了，旋度順時針逆時針的兩股力量抵消了，為什么剛好他們能抵消呢？本質(zhì)原因還是因為 這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守 平方反比定律，那么你去計算里外的散度和旋度，它們就不再為零。 關(guān)于 旋度的事情就先說這么多，大家如果理解了旋度，對比法拉第定律的積分方程，要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了矢量的 點乘和 散度，作為類比，理解矢量的 叉乘和 旋度也不是什么難事，它們確實太相似了。
21方程四： 安培-麥克斯韋定律
講完了磁生電的法拉第定律，我們麥克斯韋方程組就只剩最后一個電生磁的 安培-麥克斯韋定律了。它描述的是 電流和 變化的電場如何產(chǎn)生 旋渦狀的感生磁場的，因為它電的來源有電流和變化的電場兩項，所以它的形式也是最復(fù)雜的。方程的 積分形式如下（具體過程見
積分篇
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22麥克斯韋方程組
至此，麥克斯韋方程組的 四個方程：描述 靜電的 高斯電場定律、描述 靜磁的 高斯磁場定律、描述 磁生電的 法拉第定律和描述 電生磁的 安培-麥克斯韋定律的 微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：
從思想上來講， 微分形式和 積分形式表達的思想是一樣的，畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在于 積分形式是從 宏觀的角度描述問題，我們面對的 宏觀上的曲面，所以要用 通量和 環(huán)流來描述電場、磁場；而 微分形式是從 微觀的角度來描述問題，這時候曲面縮小都 無窮小，我們面對的東西就變成了一個 點，所以我們使用 散度和 旋度來描述電場、磁場。 這一點是特別要強調(diào)的： 通量和 環(huán)流是定義在 曲面上的，而 散度和 旋度是定義在一個 點上的。我們可以說通過通過一個曲面的 通量或者沿曲面邊界的 環(huán)流，但是當(dāng)我們在說 散度和 旋度的時候，我們都是在說 一個點的 散度和 旋度。
理解了這些，你再回過頭去看看 麥克斯韋方程組的 積分形式：
23結(jié)語
到這里，麥克斯韋方程組的 積分篇和 微分篇就都說完了。 長尾君在這兩篇文章里先從零開始引出了 通量，然后從通量的概念慢慢引出了 麥克斯韋方程組的 積分形式，再從積分形式用“ 把曲面壓縮到無窮小”推出了對應(yīng)的 微分形式。整個過程我都極力做到“ 通俗但不失準確”，所有新概念的引出都會先做層層鋪墊，絕不從天而降的拋出一個新東西。目的就是為了讓多的人能夠更好的了解麥克斯韋方程組，特別是讓 中學(xué)生也能看懂，能理解麥克斯韋方程組的美妙，同時也激發(fā)出他們對科學(xué)的好奇和熱愛之心，打消他們對“高深”科學(xué)的 畏懼之心： 看，這么高大上的麥克斯韋方程組，年紀輕輕的我也能看懂，也能掌握~ 此外，麥克斯韋方程組是真的很美，你掌握的物理知識越多，就會越覺得它美。我也更希望 大家是因為它的美而喜歡這個方程組，而不僅僅是因為它的“重要性”。我們也都知道，麥克斯韋寫出這套方程組以后，就從方程推導(dǎo)出了 電磁波，當(dāng)他把相關(guān)的參數(shù)代入進去算出電磁波的速度的時候，他驚呆了！他發(fā)現(xiàn)這個 電磁波的速度跟人們實驗測量的 光速極為接近，于是他給出了一個大膽的預(yù)測： 光就是一種電磁波。
可惜的是，英年早逝的麥克斯韋（48歲去世）并沒能看到他的預(yù)言被證實，人類直到他去世9年后，也就是1888年才由赫茲首次證實了“光是一種電磁波”。那么， 麥克斯韋是怎么從方程組導(dǎo)出電磁波的呢？既然我們已經(jīng)學(xué)完了 麥克斯韋方程組，想必大家也很知道如何從這套方程組推導(dǎo)出電磁波的方程，然后親眼見證“ 電磁波的速度等于光速”這一奇跡時刻。這部分的內(nèi)容， 長尾科技下篇文章再說。
最后，這篇文章主要參考了《 電動力學(xué)導(dǎo)論》（格里菲斯）和《 麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對麥克斯韋方程組做進一步了解的可以看看這兩本書，需要電子檔的可以在后臺回復(fù)“ 麥克斯韋方程組”。 最美的方程，愿你能懂她的美~
